2025-2026学年河南省开封市开封五县学校联考高一下册5月期中数学试题 含解析

/数学本试卷共19题，总分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知复数，则的虚部为（）A.3 B. C. D.3.已知的内角所对的边分别是，若，则（）A. B. C. D.4.已知的内角的对边分别为，，，且满足，的三角形有两个，则的取值范围为（）A. B. C. D.5.已知，则（）A. B. C. D.6.已知，，且，则的最大值为（）A.1 B. C. D.7.在中，，分别为内角，的对边，若，则的形状一定是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形8.设，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的有（）A.棱柱的侧面一定是平行四边形B.棱台的侧面一定不是平行四边形C.棱锥的侧面是全等的三角形D.圆柱的侧面沿一条母线展开，则展开图不一定是矩形10.已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（

）A.为实数 B.C.若，则 D.11.“费马点”指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点.在中，当最大内角小于时，费马点满足，当最大内角不小于时，最大内角的顶点为费马点.已知在中，，，点为的费马点，则（）A.B.C.D.在上的射影向量为，三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，则向量在上的投影向量的坐标是__________.13.已知是第二象限角，且，则___________．14.在锐角中，，，分别为内角，，的对边，且，若存在最小值，则实数的取值范围是______.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（1）已知，为第三象限角，求的值；（2）计算：.16.已知向量，满足，，且与的夹角为.（1）求的值；（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.17.已知函数的部分图象如图所示．（1）求的解析式；（2）求的单调递减区间；（3）将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．若函数在上恰有三个零点，求实数的取值范围．18.在中，，，为的中点.（1）求的取值范围；（2）若，为的中点，为平面上一动点，满足.（ⅰ）求证：为定值；（ⅱ）求的最大值.19.“星空摩天轮”是某游乐园的标志性观光设施，游客乘坐座舱沿圆形轮盘圆心O匀速转动，可俯瞰城市全景.该设施的轮盘最高点距离地面100m，轮盘直径为90m，开启后按逆时针方向匀速转动，游客在距离地面最近的位置进入座舱，转一周需要20min.以轮盘圆心为原点，与地面平行的直线为轴，上下方向的直线为轴建立平面直角坐标系：（1）游客甲坐上座舱后，转动时距离地面的高度为（单位：m)，求转动过程中关于的函数解析式；（2）若游客甲在最低点进入座舱时，游客乙恰好位于x轴负半轴与轮盘的交点A处（i）转动过程中，两人首次距离地面高度相等的时间是多少？（ii）当座舱距离地面高度不低于m时，可清晰地看到城市的“灯光秀”这段时间称为“观秀时段”，求游客甲在转动一周过程中，位于“观秀时段”的时长.

数学本试卷共19题，总分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：借助并集与补集定义即可得.解答过程：由，则，由，故.2.已知复数，则的虚部为（）A.3 B. C. D.答案：B解析：解答过程：，故，的虚部为.3.已知的内角所对的边分别是，若，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据已知得，再由正弦边角关系即可得比值.解答过程：由，且，则，所以.故选：D4.已知的内角的对边分别为，，，且满足，的三角形有两个，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解.解答过程：由有两解，得即解得，故选：A．5.已知，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用二倍角的余弦公式，即可求解.解答过程：由，得．6.已知，，且，则的最大值为（）A.1 B. C. D.答案：C解析：思路：直接利用基本不等式求解即可.解答过程：由基本不等式得到，即，当且仅当，即时，等号成立.的最大值为7.在中，，分别为内角，的对边，若，则的形状一定是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形答案：B解析：思路：由同角三角函数基本关系、正弦定理、辅助角公式化简可得，进而可得，由此判断三角形形状.解答过程：若，得，由正弦定理可得，化简可得，即，利用辅助角公式可得，即，所以或，或者（舍），所以一定是直角三角形.8.设，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为函数是减函数，所以，即；因为函数是减函数，所以，即；，，所以.函数是减函数，所以，即.所以.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的有（）A.棱柱的侧面一定是平行四边形B.棱台的侧面一定不是平行四边形C.棱锥的侧面是全等的三角形D.圆柱的侧面沿一条母线展开，则展开图不一定是矩形答案：AB解析：思路：利用棱柱，棱台，棱锥和圆柱的定义和结构特征逐一判断选项即可.解答过程：对于A，由棱柱的结构特征知，其侧面都是平行四边形，故A正确；对于B，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形，故B正确；对于C，棱锥的侧面是三角形，不一定全等，故C错误；对于D，因圆柱的母线垂直于两底面，故圆柱的侧面沿一条母线展开得到的一定是一个矩形，故D错误.10.已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（

）A.为实数 B.C.若，则 D.答案：ABD解析：思路：设复数，然后逐个分析判断即可.解答过程：对于A，设复数，则，则，为实数，故A正确；对于B，，，则，故B正确；对于C，若，不妨取，则不成立，故C错误；对于D，，则，，则，则，故D正确.故选：ABD.11.“费马点”指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点.在中，当最大内角小于时，费马点满足，当最大内角不小于时，最大内角的顶点为费马点.已知在中，，，点为的费马点，则（）A.B.C.D.在上的射影向量为，答案：ACD解析：思路：由正弦定理，求得，结合余弦定理，可判定A正确；再求得，进而得到，证得，求得，可判定C正确；设，在中，由余弦定理列出方程，求得，结合向量的数量积的运算公式，可判定B；由余弦定理求得，作，求得，进而可判定D正确.解答过程：因为，由正弦定理得，可得，又由余弦定理，可得，因为，所以，所以A正确；又由且，可得，解得，由正弦定理可得，可得，所以，所以为直角三角形，且所以点满足，如图所示，因为，可得，又因为，所以，所以，所以，可得，所以C正确；设，则，在中，由余弦定理得，解得，所以，所以，所以B错误；在中，，由余弦定理，求得，过点作，垂足为，可得，所以，所以在上的射影向量为，所以D正确.故选：ACD.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，则向量在上的投影向量的坐标是__________.答案：解析：思路：根据投影向量的计算公式即可求解.解答过程：在上的投影向量为，故13.已知是第二象限角，且，则___________．答案：解析：解答过程：由，得，而是第二象限角，则，，所以.14.在锐角中，，，分别为内角，，的对边，且，若存在最小值，则实数的取值范围是______.答案：解析：思路：由正弦定理化简可得，由正弦定理结合三角恒等变换化简可得，再结合二次函数性质计算求解.解答过程：由正弦定理可知：，故或（舍去），所以，所以，且由，，，可得，当时，存在最小值，故有.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（1）已知，为第三象限角，求的值；（2）计算：.答案：（1）；（2）解析：思路：（1）先利用诱导公式对原式进行化简，将其转化为关于的表达式，代入求值即可；（2）利用指数幂运算性质、对数运算法则及换底公式，对原式逐项化简后再合并求值即可.解答过程：（1）解：原式，由，代入上式;（2）解：原式，，.16.已知向量，满足，，且与的夹角为.（1）求的值；（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.答案：（1）6（2）解析：（1）.（2）向量与的夹角为锐角需满足，且向量与不共线，即，由（1）有，所以，由得，所以的取值范围为.17.已知函数的部分图象如图所示．（1）求的解析式；（2）求的单调递减区间；（3）将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．若函数在上恰有三个零点，求实数的取值范围．答案：（1）（2）（3）．解析：（1）由函数的最大值为，最小值为，结合，得.由图象知，最小值点到零点的距离为，对应个周期，即，解得.由周期公式，得，故，将最小值点代入，得，解得，结合，取得，故.（2）令，解得，故的单调递减区间为.（3）由图像左移​个单位得.在上恰有三个零点，等价于在上恰有三个解，令，当时，，的通解为或，在范围内，从小到大的解为，要恰有三个解，需满足​，解得​，故实数的取值范围为.18.在中，，，为的中点.（1）求的取值范围；（2）若，为的中点，为平面上一动点，满足.（ⅰ）求证：为定值；（ⅱ）求的最大值.答案：（1）（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）10解析：思路：（1）设，根据结合的范围即可求出答案；（2）（ⅰ）取中点，证明为中点，根据得到，进而得到，再求出，再根据即可求出答案；（ⅱ）求出，令，，求出的取值范围，令，再根据求出的范围，，令，根据的范围求出的范围，分为和两种情况，分别求范围，即可求出答案.（1）设，则.因为，所以，所以，所以的取值范围为.（2）（ⅰ）取中点，因为，，所以，即、、三点共线，且为中点，因为，所以，故，在以为直径的圆上，因为，，所以为等边三角形，所以，所以，，，则为定值.（ⅱ）由（ⅰ）可知：，设，.则，由，可知，设，由，有，所以，令，则，①当时，，②当时，，因为，所以，所以，综上所述，，即，所以的最大值为10，当且仅当，即时等号成立，此时，.19.“星空摩天轮”是某游乐园的标志性观光设施，游客乘坐座舱沿圆形轮盘圆心O匀速转动，可俯瞰城市全景.该设施的轮盘最高点距离地面100m，轮盘直径为90m，开启后按逆时针方向匀速转动，游客在距离地面最近的位置进入座舱，转一周需要20min.以轮盘圆心为原点，与地面平行的直线为轴，上下方向的直线为轴建立平面直角坐标系：（1）游客甲坐上座舱后，转动时距离地面的高度为（单位：m)，求转动过程中关于的函数解析式；（2）若游客甲在最低点进入座舱时，游客乙恰好位于x轴负半轴与轮盘的交点A处（i）转动过程中，两人首次距离地面高度相等的时间是多少？（ii）当座舱距离地面高度不低于m时，可清晰地看到城市的“灯光秀”这段时间称为“观秀时段”，求游客甲在转动一周过程中，位于“观秀时段”的时长.答案：（1），；（2）（i）；（ii）解析：思路：（1）根据题意设，，再结合题意求解对应的参数即可得答案；（2）（i）结合（1）考虑游客乙的初始位置得游客乙距离地面的高度关于的关系为，，再解方程即可得答案；（ii）结合题意，解不等式得，进而求时间差即可得答案.（1）根据题意，设关于的函数解析式为，由题知，轮盘最高点距地面100m，直径90m，最低点距离地面为10m，时，游客甲从最低点逆时针匀速转动，即时，周