2025-2026学年河南信阳市普通高中高一下册期中教学质量检测数学试题 含解析

/数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数的定义域为（）A. B. C. D.2.设复数在复平面内对应的点位于第三象限，则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.下列向量运算错误的是（）A. B.C. D.4.的最小值为（）A.1 B.2 C.4 D.55.已知是复数的共轭复数，（为虚数单位），则的虚部是（）A. B. C. D.6.已知正方形的边长为，点、分别为边、上的动点，则的最小值是（）A. B. C. D.7.设函数，则不等式的解集是（）A. B. C. D.8.已知，则（）A. B. C. D.二､多选题；本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题正确的是（）A.“”是“”的充分不必要条件B.若命题，则命题的否定为：C.若，则或D.若，且，则10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期为B.直线是的图象的一条对称轴C.在区间上单调递增D.在区间上有个零点11.悬链线是工程中常见的曲线（如两端固定的柔软链条），在某一悬链线拱桥的桥面设计中，三个锚点位于悬链线上，且悬链线内部一点满足向量关系.根据平面向量的知识，下列结论正确的是（）A.点在的内部B.点是的重心C.D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，若，则__________.13.已知函数为奇函数，则实数的值为__________.14.已知定义在上的函数的图象连续不断，若存在非零常数，使得对于任意的实数恒成立，则称是“回旋函数”.若函数是的“回旋函数”，则在上至少有__________个零点.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知集合，.（1）当时，求；（2）已知，求实数的取值范围.16.在中，分别为内角的对边，且.（1）求角的大小；（2）若在（1）的条件下，有，求边的最小值.17.已知在中，为中点，.（1）若，求；（2）若线段上一动点满足，试确定点的位置.18.如图，是函数图象的一部分.（1）求函数的解析式.（2）将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象.①求函数在上的单调递增区间；②若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围.19.定义：设向量，我们称为向量的“伴随函数”；称向量.为函数的“伴随向量”.（1）已知向量的“伴随函数”为，求的最大值.（2）设向量，，函数，求函数的“伴随向量”.（3）已知向量、满足，且“伴随函数”分别为和，设，且的“伴随函数”为，其最大值为.①若，求的取值范围；②求证：向量的充要条件是.

数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数的定义域为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由题意可得，解得，故函数的定义域为.2.设复数在复平面内对应的点位于第三象限，则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案：D解析：思路：设，利用复数的乘法化简复数，结合复数的几何意义可得结论.解答过程：根据题意，设，则，且，，故复数在复平面内对应的点位于第四象限.3.下列向量运算错误的是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：利用平面向量的线性运算逐项判断即可.解答过程：对于A选项，，A对；对于B选项，，B对；对于C选项，，C错；对于D选项，，D对.4.的最小值为（）A.1 B.2 C.4 D.5答案：C解析：思路：根据基本不等式求解即可.解答过程：因为，所以.所以，当且仅当，即时，等号成立.5.已知是复数的共轭复数，（为虚数单位），则的虚部是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义和复数的概念可得结果.解答过程：因为，所以，故复数的虚部是.6.已知正方形的边长为，点、分别为边、上的动点，则的最小值是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：设，其中，利用平面向量的数量积的运算性质可得出的最小值.解答过程：设，其中，由题意可知，则，所以，故的最小值为.7.设函数，则不等式的解集是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据函数的单调性求解即可.解答过程：当时，，为单调递减函数，且，当时，，也为单调递减函数，，所以在上单调递减.因为，所以，解得，所以.故该不等式的解集为.8.已知，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由确定的范围，再令，利用二倍角正切公式把已知条件转化为关于的一元二次方程，结合的范围确定的值．最后利用齐次化即可得解．解答过程：因为，所以．令，则．由二倍角正切公式得．将其代入已知条件，得．因为．所以，即，整理得，解得或．又因为，所以，即．因为，且，所以．二､多选题；本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题正确的是（）A.“”是“”的充分不必要条件B.若命题，则命题的否定为：C.若，则或D.若，且，则答案：AB解析：思路：对于选项A，判断充分性和必要性是否成立；对于选项B，根据特称命题的否定规则进行判断；对于选项C，通过举反例来判断；对于选项D，根据不等式的性质，举例即可进行判断.解答过程：对于A选项，当时，，此时成立，所以充分性成立，由，可得，解得或，所以当时，不一定等于，所以必要性不成立，故选项A正确；对于B选项，根据特称命题的否定规则，可知命题“”的否定为：“”，故选项B正确；对于C选项，设，，则，但且，故选项C错误；对于D选项，设，，，，满足且，则，，此时，故选项D错误.综上所述，故选项AB正确.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期为B.直线是的图象的一条对称轴C.在区间上单调递增D.在区间上有个零点答案：ABD解析：思路：利用辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断B选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；数形结合可判断D选项.解答过程：对于A选项，，则函数的最小正周期为，A对；对于B选项，因为，所以直线是的图象的一条对称轴，B对；对于C选项，当时，，故函数在区间上不单调，C错；对于D选项，由可得，在同一直角坐标系中作出函数、在区间上的图象如下图所示：由图可知，函数、在区间上的图象有个交点，故函数在区间上有个零点，D对.11.悬链线是工程中常见的曲线（如两端固定的柔软链条），在某一悬链线拱桥的桥面设计中，三个锚点位于悬链线上，且悬链线内部一点满足向量关系.根据平面向量的知识，下列结论正确的是（）A.点在的内部B.点是的重心C.D.答案：AC解析：思路：设分别为的中点，整理可得，可知点为线段的三等分点（靠近点），进而逐项分析判断即可.解答过程：设分别为的中点，因为，即，则，即，可知点为线段的三等分点（靠近点），所以点在的内部，点不是的重心，故A正确，B错误；不妨设，则，，可得，，，则，，所以，故C正确，D错误.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，若，则__________.答案：##1.5解析：思路：根据向量垂直的坐标表示求解即可.解答过程：，因为，所以，即，解得.13.已知函数为奇函数，则实数的值为__________.答案：1解析：思路：分析可知函数的定义域为，根据奇函数的定义结合对数运算求解即可.解答过程：令，解得，可知函数的定义域为，若函数为奇函数，则，即，可得，结合x的任意性可知.14.已知定义在上的函数的图象连续不断，若存在非零常数，使得对于任意的实数恒成立，则称是“回旋函数”.若函数是的“回旋函数”，则在上至少有__________个零点.答案：解析：思路：根据已知可得：，当时利用零点存在定理，可以判定区间内至少有一个零点，进而判定，，…，上均至少有一个零点，得到在上至少有1013个零点；当时，可以得到，此时在上至少有1014个零点．解答过程：因为对任意的实数恒成立，令，得．若，则与异号，即，由零点存在定理得在上至少存在一个零点．由于，得到，进而，所以在区间，，…，内均至少有一个零点，所以在上至少有1013个零点．若，则，此时在上至少有1014个零点．综上所述，在上至少有1013个零点.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知集合，.（1）当时，求；（2）已知，求实数的取值范围.答案：（1）或（2）或解析：思路：（1）分别求出集合和，再根据交集的定义求解即可.（2）由条件可知，再分和两种情况求解即可.（1）或，当时，，所以或；（2）因为，所以，当时，，解得；当时，或，解得或，综上实数的取值范围为或.16.在中，分别为内角的对边，且.（1）求角的大小；（2）若在（1）的条件下，有，求边的最小值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）借助正弦定理将边化为角后，结合两角和的正弦公式计算即可得；（2）借助数量积公式可求出，再利用余弦定理结合基本不等式计算即可得.（1）由正弦定理可得，即，又，故，故，则；（2）由，故，由余弦定理可得，当且仅当时，等号成立，故边的最小值为.17.已知在中，为中点，.（1）若，求；（2）若线段上一动点满足，试确定点的位置.答案：（1）（2）点为线段的中点解析：思路：（1）将用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值；（2）设，其中，将用基底表示，利用平面向量的基本定理可求出的值，即可得出结论.（1）因为，所以，可得，因为，，，由平面向量数量积的定义可得，所以，.（2）因为点在线段上的一点，设，其中，则，所以，，又因为，且、不共线，所以，解得，此时点为线段的中点.18.如图，是函数图象的一部分.（1）求函数的解析式.（2）将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象.①求函数在上的单调递增区间；②若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围.答案：（1）（2）①；②解析：思路：（1）根据最值可得；根据最小正周期可得，求得，由此可得解析式；（2）①将整体代入正弦函数单调递增区间中，即可构造不等式求得递增区间；②根据正弦函数的图像求解即可.（1）由图像可知，函数最大值为，最小值为，且，得.，所以周期.又，，因此.将最高点代入得：，则，解得.因为，所以.因此函数解析式为.（2）①向右平移​个单位，则，再纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），则.令，解得.因为，所以在上的单调递增区间为.②当时，令​，则.因为方程在区间上恰有两个不同的实数解，则​在上恰有两个不同解.由在的图象可知，当时，方程恰有两个不同解，解得.因此的取值范围为.19.定义：设向量，我们称为向量的“伴随函数”；称向量.为函数的“伴随向量”.（1）已知向量的“伴随函数”为，求的最大值.（2）设向量，，函数，求函数的“伴随向量”.（3）已知向量、满足，且“伴随函数”分别为和，设，且的“伴随函数”为，其最大值为.①若，求的取值范围；②求证：向量的充要条件是.答案：（1）（2）（3）①；②证明见解析.解析：思路：（1）利用辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的有界性可求得函数的最大值；（2）化简函数的解析式，利用“伴随向量”的定义可得结果；（3）①设，，，，其中，求出向量的坐标，结合题中定义化简函数的解析式，利用辅助角公式结合三角恒等变换、正（余）弦型函数的有界性可求得的取值范围；②先证明必要