2025-2026学年湖南长沙市三峰中学等学校高一下册期中校内检测数学试题 含解析

/数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.在中，角的对边分别为，则（）A. B.2 C. D.3.已知向量，若，则（）A. B. C. D.4.将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，则所得图象的解析式为（）A. B.C. D.5.，且，则（）A. B. C. D.6.如图，由斜二测画法画的水平直观图是的等腰直角三角形，那么它在原平面图形中，顶点到的距离是（）A.1 B. C.2 D.7.已知复数，当时，不等式恒成立，则实数t的最大值是（）A. B. C. D.8.已知的内角，，所对的边分别为，，，，，，若，（），若与相交于点，则当取最小值时，（）A. B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.所有面都是三角形的多面体一定是三棱锥B.棱柱的侧棱平行且相等C.圆台的母线长不一定相等D.半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面为球面10.设，，，则下列说法正确的有（）A.若且，则 B.C. D.11.已知函数，则（）A.是奇函数B.C.在上单调递减D.若，则的最大值为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在中，角所对的边分别为，若，则的面积为__________.13.若，则__________．14.在中，三个内角所对的边分别为，，，则的取值范围为__________．四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.（1）已知，求的最小值；（2）求的最大值．16.已知，，，复数（为虚数单位，）.（1）若复数为非零实数，求；（2）若复数为纯虚数，求在上的投影向量的坐标.17.在中，角所对的边分别为，且（1）求；（2）求内切圆的半径.18.在中，内角的对边分别是，记的面积为，且.（1）求角的大小；（2）若，，分别为的中线和角平分线.（i）若的面积为，求的长；（ii）求长的最大值.19.已知函数是上的奇函数，函数．（1）求实数的值；（2）若函数在上的最小值为，求实数的值；（3）设函数，若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．

数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案：C解析：解答过程：，则复数对应的点为，位于第三象限.2.在中，角的对边分别为，则（）A. B.2 C. D.答案：B解析：思路：由求出再求出，由正弦定理求出.解答过程：∵A，C是三角形内角，∴A,又∵，∴，，，由正弦定理得，故.3.已知向量，若，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由题意得，，因为，所以，得.4.将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，则所得图象的解析式为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据平移变换求出解析式.解答过程：将函数图象向左平移个单位长度得到的函数图象.故选：C．5.，且，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为，所以，即，所以52，所以6.如图，由斜二测画法画的水平直观图是的等腰直角三角形，那么它在原平面图形中，顶点到的距离是（）A.1 B. C.2 D.答案：D解析：思路：先求出直观图的，再由斜二测画法规则求出顶点到的距离即可.解答过程：在中，，，，于是得，且原图中即为顶点到的距离，由斜二测画法规则知，在原平面图形中，顶点到的距离是.故选：D7.已知复数，当时，不等式恒成立，则实数t的最大值是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：分离参数法去转化不等式恒成立，即可求得实数t的最大值.解答过程：因为，又，所以，由时，不等式恒成立，则恒成立，即恒成立，令，因为时，单调递增，所以，所以实数t的取值范围是．故选：B8.已知的内角，，所对的边分别为，，，，，，若，（），若与相交于点，则当取最小值时，（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先利用余弦定理求出，当为线段的中点时，，即取最小值，结合已知条件将用表示，最后根据平面向量基本定理得解.解答过程：因为，，，由余弦定理得：，所以.因为，所以，又因为，所以为正三角形.则当为线段的中点时，，即取最小值，此时；又因为，，三点共线，所以，由平面向量基本定理，得，解得.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.所有面都是三角形的多面体一定是三棱锥B.棱柱的侧棱平行且相等C.圆台的母线长不一定相等D.半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面为球面答案：BD解析：解答过程：对A，因为正八面体每个面都是三角形，所以A错误；对B，棱柱的侧棱平行且相等，所以B正确；对C，圆台的母线长都相等，所以C错误；对D，球面就是半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面，所以D正确.10.设，，，则下列说法正确的有（）A.若且，则 B.C. D.答案：ABD解析：思路：对A，根据复数运算性质即可判断；对BD，利用待定系数法即可判断；对C，举反例即可判断.解答过程：对A，因为，所以，即，又因为，所以，所以，所以选项A正确；对B，设，则，，即，即复数乘法对结合律成立，所以选项B正确；对C，若，则，所以，所以选项C错误；对D，设，则，，所以.所以选项D正确．故选：ABD．11.已知函数，则（）A.是奇函数B.C.在上单调递减D.若，则的最大值为答案：AC解析：思路：求得函数定义域，结合奇函数定义可判断A，由函数定义域可判断B，通过时，，结合和的单调性即可判断C，由得到，再结合基本不等式即可判断D.解答过程：对A：，要使得函数有意义，则，解得且，所以的定义域关于原点对称，且，从而是奇函数，A正确；对B：当时，，由定义域可知无意义，故错误；对C：当时，在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，故在上单调递减，C正确；对D：当，且时，即，化简得，则，当且仅当，即或时取“=”，的最大值为，D错误．故选：AC三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在中，角所对的边分别为，若，则的面积为__________.答案：##解析：思路：先应用余弦定理得出，再应用同角三角函数得出正弦值，最后应用面积公式计算求解.解答过程：由余弦定理得：，所以，所以.13.若，则__________．答案：解析：思路：先求出，再利用二倍角公式及商数关系化弦为切计算即可.解答过程：由，可知，．故答案为.14.在中，三个内角所对的边分别为，，，则的取值范围为__________．答案：解析：思路：根据已知利用余弦定理和基本不等式，可以求出的表达式，对进行化简，最后求出的取值范围．解答过程：因为，，由余弦定理得，所以，当且仅当时等号成立．∴，又∴，又因为，所以，即取值范围为．故四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.（1）已知，求的最小值；（2）求的最大值．答案：（1）7；（2）解析：思路：（1）根据基本不等式求解即可.（2）求出的范围，结合基本不等式求解即可.解答过程：（1）因为，所以，，当且仅当时，即时取等号，所以的最小值是7.（2）由题意知，即，解得，所以，当且仅当，即时取得等号，所以的最大值是；16.已知，，，复数（为虚数单位，）.（1）若复数为非零实数，求；（2）若复数为纯虚数，求在上的投影向量的坐标.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）利用数量积的坐标运算得，从而且，即可得解；（2）根据纯虚数和投影向量的概念求解.（1）由题意得，若复数为非零实数，则且，解得.此时，则，所以；（2）若复数为纯虚数，则且，解得，此时，则，所以在上的投影向量为.17.在中，角所对的边分别为，且（1）求；（2）求内切圆的半径.答案：（1）（2）解析：思路：（1）应用余弦定理得出，再应用余弦定理得出；（2）应用同角三角函数关系得出，再应用面积公式结合内切圆半径的面积公式计算求解.（1），，，解得，（2）由（1）知，得，，设内切圆半径为，则，则.18.在中，内角的对边分别是，记的面积为，且.（1）求角的大小；（2）若，，分别为的中线和角平分线.（i）若的面积为，求的长；（ii）求长的最大值.答案：（1）（2）（i）；（ii）解析：思路：（1）根据三角形的面积公式结合余弦定理即可得解；（2）（i）先根据三角形的面积公式求出，再利用余弦定理求出，再向量化求解即可；（ii）利用等面积法将用表示出来，再利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，进而可得出答案.（1）因为，所以，所以，又因为，所以；（2）（i）由，得，由余弦定理得，所以，因为为的中线，所以，则，所以；（ii）由余弦定理得，所以，因为为的角平分线，所以，由，得，所以，因为，所以，当且仅当时取等号，因为函数在上都是增函数，所以函数在上是增函数，所以当时，取得最大值，即长的最大值为.19.已知函数是上的奇函数，函数．（1）求实数的值；（2）若函数在上的最小值为，求实数的值；（3）设函数，若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．答案：（1）1（2）1（3）或.解析：思路：（1）根据求出，再利用奇函数的定义检验；（2）先利用复合函数求出在上的值域，再结合一元二次函数求的最小值即可；（3）令，画出其函数图