2025-2026学年江津中学校高三下册考前适应性考试数学试题 含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.的展开式中的系数为（）A.5 B.10 C.15 D.204.若抛物线的准线为，则截圆所得的弦长为（）A. B. C. D.5.在平行四边形ABCD中，E为线段BC的中点，则（）A.9 B.11 C.13 D.156.已知均为锐角，且，则（）A. B. C. D.或7.随着新能源汽车产业的迅速发展，高阶智能驾驶功能逐渐成为消费者购车时的重要考量.某汽车行业协会为了解不同年龄段购车者对高阶智能驾驶功能的偏好，随机抽取了一批近期计划购买新能源汽车的购车者进行问卷调查.统计结果如下表所示：年龄段人数占样本的比例组内最看重高阶智能驾驶的比例A组(30岁及以下)40%60%B组(31--45岁)50%30%C组(46岁及以上)10%10%现从这批被调查的购车者中随机抽取1人，发现该购车者购车时最看重高阶智驾，则其属于A组的概率为（）A.0.24 B.0.40 C.0.60 D.0.808.椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆内壁反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆的左、右焦点分别为从发出的一条光线交椭圆于点A，在点A处反射后交椭圆于点B，在点B处反射后再次经过点.若且则C的离心率为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3道小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.某学校开展了一次国防知识测试活动，满分为10分，用纸质统计了40名学生的成绩，如下表所示，最低分为5分，有部分格子破损．成绩／分5678910人数87107关于这40名学生的成绩，则（）A.众数为9 B.极差为5C.第30百分位数为6 D.平均数小于中位数10.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.B.f(x)的图象关于中心对称C.f(x)在上有4个零点，则实数a的取值范围是D.将的图象向右平移个单位长度，可以得到函数的图象11.在棱长为1的正方体中，M为正方形内(包含边界)的动点，N为线段上的动点，若直线AM与AB的夹角为，则下列说法正确的是（）A.线段的长度为定值 B.的最小值为C.直线与直线始终为异面直线 D.的最小值为1三、填空题：本大题共3道小题，每小题5分，共15分.12.已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列，则__________.13.如图，将张长为，宽为的长方形纸板按图中方式剪裁并废弃阴影部分，若剩余部分恰好能折叠成一个长方体纸盒(接缝部分忽略不计)，则此长方体体积的最大值为________________.14.在某智能机器人路径规划实验中，机器人初始位于平面直角坐标系的原点O处，每次移动，该机器人都等可能地向上、下、左、右四个方向之一移动1米，则经过6次移动后，机器人与原点O的距离等于米的概率为__________.四、解答题：本大题共5道小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求C；（2）若D在AB边上，且AD=2DB，CD=2，求△ABC面积的最大值.16.已知椭圆E经过点且直线过椭圆E的焦点.（1）求椭圆E的标准方程；（2）斜率为的直线l与椭圆E交于P，Q两点.已知O为坐标原点，若直线OP，OQ的斜率分别为求的值.17.如图，三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，分别为，的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.18.已知函数(a为常数，e为自然对数的底数)，曲线y=f(x)在点(0，f(0）处的切线方程为x+y=0.（1）求a的值及函数y=f(x)的单调区间；（2）证明：当x>0时，；（3）证明：当时，.19.某信息源仅发射信息A，B，C，且第n次发射A，B，C的概率分别为首次发射概率由二项分布生成，.第一次信息发射后遵循如下规则：若第次发射信息为，则第次发射信息A，B，C的概率分别为；若第次发射信息为，则第次发射信息A，B，C的概率分别为，若第次发射信息为，则第次发射信息A，B，C的概率分别为当发射信息的次数足够多后，若该信息源发射信息A，B，C的概率分别趋近于定值a，b，c，则称该信息源存在发射稳定期.（1）写出值(用表示)；（2）当时，（i）用表示和，并证明：；（ii）当时，该信息源是否存在发射稳定期?若存在，求a，b，c的值；若不存在，请说明理由.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：解不等式，得，则，而，所以.2.设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：解答过程：即中至少有一个是零；复数为纯虚数，故为小范围，故为必要不充分条件.3.的展开式中的系数为（）A.5 B.10 C.15 D.20答案：C解析：思路：先求出项式的展开式的通项为，进而可以求出的展开式中含的项，由此即可求出结果.解答过程：因为二项式的展开式的通项为，所以的展开式中含的项为，所以的系数为.故选：C．4.若抛物线的准线为，则截圆所得的弦长为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：求出抛物线的准线方程，再利用几何法求出弦长.解答过程：抛物线的准线，圆的圆心，半径，圆心到直线的距离，所以圆截直线所得弦长为.5.在平行四边形ABCD中，E为线段BC的中点，则（）A.9 B.11 C.13 D.15答案：B解析：思路：由可得，然后由表示，结合数量积运算律可得答案.解答过程：因，则.又，，则6.已知均为锐角，且，则（）A. B. C. D.或答案：A解析：思路：由两角和的正切公式分别求出，，再判断角的范围即可求解．解答过程：由题可知，，由于均为锐角，且，故，同理有，故，所以，故选：A．7.随着新能源汽车产业的迅速发展，高阶智能驾驶功能逐渐成为消费者购车时的重要考量.某汽车行业协会为了解不同年龄段购车者对高阶智能驾驶功能的偏好，随机抽取了一批近期计划购买新能源汽车的购车者进行问卷调查.统计结果如下表所示：年龄段人数占样本的比例组内最看重高阶智能驾驶的比例A组(30岁及以下)40%60%B组(31--45岁)50%30%C组(46岁及以上)10%10%现从这批被调查的购车者中随机抽取1人，发现该购车者购车时最看重高阶智驾，则其属于A组的概率为（）A.0.24 B.0.40 C.0.60 D.0.80答案：C解析：思路：设抽到组为事件，抽到组为事件，抽到组为事件，抽到的购车者购车时最看重高阶智驾为事件，先根据全概率公式求得，再根据贝叶斯公式求解即可.解答过程：从这批被调查的购车者中随机抽取1人，设抽到组为事件，抽到组为事件，抽到组为事件，抽到的购车者购车时最看重高阶智驾为事件，则，，所以，则.8.椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆内壁反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆的左、右焦点分别为从发出的一条光线交椭圆于点A，在点A处反射后交椭圆于点B，在点B处反射后再次经过点.若且则C的离心率为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据题意利用椭圆的定义得到线段之间的关系，再结合余弦定理建立关于的方程，进而求出离心率.解答过程：设，所以，故，，则在中，，即，化简为，解得：，在中，根据余弦定理，，即，化简为两边同时除以得：，则离心率.二、选择题：本题共3道小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.某学校开展了一次国防知识测试活动，满分为10分，用纸质统计了40名学生的成绩，如下表所示，最低分为5分，有部分格子破损．成绩／分5678910人数87107关于这40名学生的成绩，则（）A.众数为9 B.极差为5C.第30百分位数为6 D.平均数小于中位数答案：ABD解析：解答过程：A.9分人数为10人，是已知各分数段中最多，由于5分（设为x人）与6分（设为y人）总人数为8人（），任一分数人数最多为8，不可能超过10，因此众数必为9，故正确；B.最低分为5分，最高分为10分，极差为，故正确；C.总人数40，第30百分位数位置为，即取第12和第13个数据的平均值，前8个数据为5分或6分，第9至16个数据均为7分第12、13个数据均为7第30百分位数为7，故选项错误.D.中位数：第20、21个数据位于8分区间（前16个为5/6/7分，第17–23为8分）中位数为8，平均数计算：，因，故，即平均数小于中位数.10.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.B.f(x)的图象关于中心对称C.f(x)在上有4个零点，则实数a的取值范围是D.将的图象向右平移个单位长度，可以得到函数的图象答案：AD解析：思路：根据函数图象确定函数表达式，再结合正弦函数的图象与性质，涉及函数的对称性，单调性，零点以及函数图象的平移变换.解答过程：由图象可知，，根据，则，故，得，A正确；此时，将代入可得，得，则，因为，所以，则，因为，所以B错误；因为，所以，因为在上有4个零点，所以，解得，C错误；，向右平移个单位长度后，得到，D正确.11.在棱长为1的正方体中，M为正方形内(包含边界)的动点，N为线段上的动点，若直线AM与AB的夹角为，则下列说法正确的是（）A.线段的长度为定值 B.的最小值为C.直线与直线始终为异面直线 D.的最小值为1答案：ABD解析：思路：对于A，分析易得，结合直线与的夹角为，可知，进而判断即可；对于B，易得点M的轨迹是以为圆心，1为半径的圆弧，进而求解判断即可；对于C，举特例，当与点重合时即可判断；对于D，过N作平行线交于，根据三角形相似可得，进而得到，即可判断.解答过程：对于A，由点在侧面上，而平面，平面，所以，又直线与的夹角为，可知，故A正确；对于B，由A知，则点M的轨迹是以为圆心，1为半径的圆弧，即，则的最小值为，故B正确；对于C，由B知，点M的轨迹是以为圆心，1为半径的圆弧，当与点重合时，，故C错误；对于D，由于，过N作平行线交于，则，即，则，从而，当且仅当三点共线时取等号，则的最小值为1，故D正确.三、填空题：本大题共3道小题，每小题5分，共15分.12.已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列，则__________.答案：12解析：思路：根据等比中项性质，结合等差数列通项公式，建立等量关系，求出公差，从而求出.解答过程：解：由，，成等比数列，则，又是公差不为零的等差数列，设公差为，则，化简整理得，解得或（舍），所以.13.如图，将张长为，宽为的长方形纸板按图中方式剪裁并废弃阴影部分，若剩余部分恰好能折叠成一个长方体纸盒(接缝部分忽略不计)，则此长方体体积的最大值为________________.答案：解析：思路：设阴影部分长为，宽为，则，故，求导得到单调性得到最值.解答过程：设阴影部分长为，宽为，则，则，，则，故函数在上单调递增，在上单调递减，故.故答案为.方法提示：本题考查了利用导数其最值，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.14.在某智能机器人路径规划实验中，机器人初始位于平面直角坐标系的原点O处，每次移动，该机器人都等可能地向上、下、左、右四个方向之一移动1米，则经过6次移动后，机器人与原点O的距离等于米的概率为__________.答案：解析：思路：先确定机器人经过6次移动后与原点距离等于的所有可能情况，再结合古典概型概率公式求解即可.解答过程：解：机器人每一次有4种移动方向，共移动6次，根据分步乘法计数原理，总路径数为种，若机器人到原点的距离为，原点到该点的距离的平方为，设机器人向右移次，向左移次，向上移次，向下移次，则，，总步数，要满足，即，因为都是非负整数，可能的组合必须满足，此时，，且，设左右移动总次数为，上下移动总次数为，则，又需为整数，则与同时为奇数或同时为偶数，又，所以为奇数，则也为奇数；因为，所以可能的组合有；；.当时，左右移动1次，满足的方式有2种，即左或右，上下移动5次，满足的方式有或，共有种，即选3次向上移，剩下2次向下移，或选2次向上移，剩下3次向下移，其次，在6步中选1步用于左右移动，其余5步用于上下移动，有种，因此，此情况的路径数为；当时，左右移动3次，满足的方式有或，共种，上下移动3次，满足的方式有或，共有种，此外，6步中选3步左右移动，剩余上下移动，有种，因此，此情况的路径数为；当时，与路径对称，路径数也为240，所以满足条件的总路径数为，因此，经过6次移动后，机器人与原点O的距离等于米的概率为.四、解答题：本大题共5道小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求C；（2）若D在AB边上，且AD=2DB，CD=2，求△ABC面积的最大值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据正弦定理进行边化角，得到利用两角和的正弦公式求解即可得解.（2）由题意在边上一点，且，可得，将此式子两边平方，通过计算，结合基本不等式得到的最大值，从而得到的最大值.（1）（1）由题意，根据正弦定理得，∵，∴，∴，∵，即：，∵，∴.（2）（2）由题意在边上一点，且，可得，∴，∴，故，，∴当且仅当时取到等号，故，∴的最大值为，当且仅当时取到等号.16.已知椭圆E经过点且直线过椭圆E的焦点.（1）求椭圆E的标准方程；（2）斜率为的直线l与椭圆E交于P，Q两点.已知O为坐标原点，若直线OP，OQ的斜率分别为求的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）易得F−3, 0为椭圆的焦点，得到，再由椭圆经过点（2）设直线平行的方程为，与椭圆的方程联立，结合韦达定理求解.（1）因为椭圆E的焦点在x轴上，且直线过椭圆E的焦点，所以F−3, 0∴，∵椭圆经过点3, 12解得故椭圆的标准方程为.（2）∴设直线的方程为，点，.将直线的方程代入椭圆的方程得，，解得，由韦达定理得.∴.17.如图，三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，分别为，的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.答案：（1）取中点，连接、，由分别为，的中点，则、，又平面、平面且平面、平面，故平面，平面，又且、平面，所以平面平面，又平面，所以平面；（2）解析：思路：（1）取中点，连接、，则可借助、得到平面平面，再利用面面平行性质得到平面；（2）建立适当空间直角坐标系后，设A1=x, y, （1）略（2）以为坐标原点，为轴建立如图所示空间直角坐标系，设A1=x由题意可得AA解得，则AA1=−有，故，又平面，所以平面，所以平面的一个法向量，设平面的法向量为n⃗则，令，则，设平面与平面夹角为，则cosθ所以平面与平面夹角的余弦值为.18.已知函数(a为常数，e为自然对数的底数)，曲线y=f(x)在点(0，f(0）处的切线方程为x+y=0.（1）求a的值及函数y=f(x)的单调区间；（2）证明：当x>0时，；（3）证明：当时，.答案：（1）；单调递减区间为，单调递增区间为（2）由（1）知，所以，即，令，则，所以在上单调递增，所以，即.令，则，又当时，，则，所以，所以在上单调递增，所以，