2025-2026学年江苏怀仁中学高一下册期中考试数学试题 含解析

/数学一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知复数（是虚数单位，），则（）A.1 B. C. D.2.设向量，，，且与平行，则实数的值是（）A.4 B. C. D.不存在3.已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（）A. B. C. D.4.已知的面积为，则边的长度为（）A.3 B.4 C. D.5.已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，，则D.若为异面直线，且，，，则l与m，n中至少一条相交6.已知非零向量满足，且，则与的夹角为（）A. B.C. D.7.如图，棱长为2的正方体中，为棱中点，为棱中点，点在侧面上运动（含边界），若平面，则点的轨迹长度为（）A. B. C.2 D.18.在中，角的对边分别为，，，，则的面积为（）A. B. C. D.二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（）A. B.复数的虚部为C.若复数为纯虚数，则 D.10.已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则为锐角三角形C.若，则为等腰三角形或直角三角形D.若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为11.如图，在长方体中，，，E是棱上的一点，点F在棱DD1上，若四点共面，则下列结论正确的是（）A.四边形为平行四边形 B.C.存在点E，使得平面 D.三棱锥的体积为定值三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知平面向量，是单位向量，与夹角为，则向量在向量上的投影向量为___________.13.如图，小明为了测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，则塔高_______．14.在中，角所对的边分别为是的角平分线，若，则的最小值为_______四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算过程.）15.已知复数在复平面内对应的点位于第一象限，且满足（1）求a；（2）若z是关于x的方程的一个复数根，求pq的值.16.中，角的对边长分别为，满足.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.17.在中，P为AB边上一点，且，，，且，的夹角为．（1）用，表示，；（2）求的值；（3）当与垂直时，求实数t的值．18.如图，在四棱锥中，四边形是正方形，点分别是线段的中点．（1）求证：平面；（2）若是线段的中点，证明：平面平面．19.在锐角中，角所对的边分别为，记，，满足．（1）求角；（2）若，且满足，求的取值范围．

数学一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知复数（是虚数单位，），则（）A.1 B. C. D.答案：A解析：思路：由复数的运算得，即可求解．解答过程：解：，得，得，故选：A2.设向量，，，且与平行，则实数的值是（）A.4 B. C. D.不存在答案：A解析：思路：利用向量共线的条件即可求得.解答过程：因为，，所以.又，，且与平行，所以，解得：=4.故选：A.3.已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据斜二测画法的知识确定正确答案.解答过程：正三角形的高为，根据斜二测画法的知识可知，直观图的面积为.故选：B4.已知的面积为，则边的长度为（）A.3 B.4 C. D.答案：D解析：思路：根据三角形的面积公式以及余弦定理求解.解答过程：因为，可得，所以，故选:D．5.已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，，则D.若为异面直线，且，，，则l与m，n中至少一条相交答案：D解析：思路：根据题意，结合线与线，线与面，以及面与面位置关系的判定与性质，逐项判定，即可求解.解答过程：对于A中，若，，则直线与，可能相交、平行或异面，所以A错误；对于B中，若，，则平面与平面可能相交，所以B错误；对于C中，若，，，则或，所以C错误；对于D中，若为异面直线，且，，，假设直线与直线都不相交，则，所以，这与为异面直线矛盾，所以与中至少一条相交，所以D正确.故选：D.6.已知非零向量满足，且，则与的夹角为（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据给定条件，利用数量积的运算律及垂直关系的向量表示，进而求出向量夹角.解答过程：由，得，则，，而，则，所以与的夹角为.故选：B7.如图，棱长为2的正方体中，为棱中点，为棱中点，点在侧面上运动（含边界），若平面，则点的轨迹长度为（）A. B. C.2 D.1答案：A解析：思路：取的中点分别为，连接，则可证平面平面，故的轨迹为线段，故可求其长度.解答过程：取的中点分别为，连接，在正方形中，因为为中点，故且，由正方体可得且，所以，，故四边形为平行四边形，故，而，故，同理，故，而平面，平面，故平面，同理平面，而平面，故平面平面，而平面平面，结合平面，故的轨迹为线段，其长度为，故选：A.8.在中，角的对边分别为，，，，则的面积为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用正弦定理及二倍角公式可得，再由余弦定理可得，得，利用平方关系可计算的值，再由三角形面积公式即可求解.解答过程：因为，，所以即，，解得，，，，.故选.二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（）A. B.复数的虚部为C.若复数为纯虚数，则 D.答案：AD解析：思路：根据复数的运算可得A,C,D的正误，根据复数虚部的概念可知B的正误.解答过程：因为，A正确；复数的虚部为，B不正确；若，则，，C不正确；设，所以，，D正确.故选：AD.10.已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则为锐角三角形C.若，则为等腰三角形或直角三角形D.若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为答案：ACD解析：思路：利用正弦定理判断A、D；利用余弦定理判断B；利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式判断C.解答过程：对于A，由及由正弦定理，得，则，A正确；对于B，由余弦定理，得为锐角，但无法判断角A和角B是否为锐角，因此无法判断是否为锐角三角形，B错误；对于C，由及正弦定理，得，即，由，得，则或，即或，因此为等腰三角形或直角三角形，C正确；对于D，由三角形有两解，得，即，即的取值范围为，D正确.故选：ACD11.如图，在长方体中，，，E是棱上的一点，点F在棱DD1上，若四点共面，则下列结论正确的是（）A.四边形为平行四边形 B.C.存在点E，使得平面 D.三棱锥的体积为定值答案：ACD解析：思路：A利用面面平行的性质定理求证；B利用A选项以及勾股定理；C点为线段的中点时可利用线面平行的判定定理求证；D利用等体积求证.解答过程：因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，同理可得，，所以四边形为平行四边形，故A正确；由A选项可知，，则，因为，所以，则，故B错误；当点为线段的中点时，由B选项可知，点为线段的中点，此时，则四边形为矩形，有，因为平面，平面，所以平面，故C正确；，故D正确.三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知平面向量，是单位向量，与夹角为，则向量在向量上的投影向量为___________.答案：解析：思路：根据投影向量的定义计算可得答案.解答过程：向量在向量上的投影向量为.故答案为.13.如图，小明为了测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，则塔高_______．答案：解析：思路：设塔高，由题设可得，，再结合余弦定理求解即可.解答过程：设塔高，由，则，，在中，由余弦定理得，则，解得或（舍去）.故答案为.14.在中，角所对的边分别为是的角平分线，若，则的最小值为_______答案：解析：思路：利用张角定理得到，再利用不等式中的妙用来求解最值.解答过程：是的角平分线，，由张角定理得:，即，，，（当且仅当，即时取“=”）.故答案为.四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算过程.）15.已知复数在复平面内对应的点位于第一象限，且满足（1）求a；（2）若z是关于x的方程的一个复数根，求pq的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据列出方程，结合点所在象限可得答案；（2）根据根与系数的关系可求答案.（1）由题意知复数z在复平面内对应的点为，因为点Z在第一象限，所以，由，得，即则所以.（2）由（1）知，由是关于x的方程的一个复数根，可知是的另一个复数根，因此，解得.所以16.中，角的对边长分别为，满足.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）根据正弦定理可得：，代入余弦定理，即可得解；（2）根据内角和为，求出角，解得为直角三角形，即可得解.解答过程：（1）因为，由正弦定理可得：，所以，所以.（2）因为，，所以，所以，可得.方法提示：本题考查了正余弦定理的应用，考查了边化角以及三角形的性质，计算量不大，属于简单题.17.在中，P为AB边上一点，且，，，且，的夹角为．（1）用，表示，；（2）求的值；（3）当与垂直时，求实数t的值．答案：（1），（2）（3）解析：思路：（1）利用平面向量运算法则计算即可得到答案；（2）结合（1），利用平面向量的运算法则及数量积公式计算即可求解；（3）根据与垂直，可得，进而结合（2）即可求出实数t的值．（1）由，则，所以，依题意可得．（2）结合（1）有，，所以．（3）由与垂直，且结合（2）有，则，解得．18.如图，在四棱锥中，四边形是正方形，点分别是线段的中点．（1）求证：平面；（2）若是线段的中点，证明：平面平面．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：思路：（1）利用线面平行的判定定理证明；（2）利用面面平行的判定定理证明.（1）证明：由四边形为正方形可知，连接必与相交于中点，故，面平面，面．（2）由点分别为中点可得：，面平面平面，又由（1）可知，平面，且，平面,故平面平面．19.在锐角中，角所对的边分别为，记，，满足．（