2025-2026学年江苏南通市如东县高一下册期中考试数学试题 含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知扇形的半径为10cm，圆心角为，则该扇形的弧长是（）A. B. C. D.2.（）A. B. C. D.3.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.4.函数，的值域是（）A. B.C. D.5.在一座高的观测台顶测得对面一座水塔塔顶的仰角为，塔底的俯角为，则该水塔的高度是（）A. B. C. D.1033+10m6.已知非零向量满足(a→−3b→)⊥a→A. B. C. D.7.在中，已知，，，则（）A. B. C. D.8.在中，已知，．为的中点，且，则的面积是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在边长为的等边中，，，，则（）A. B.C.DF=15310.已知是复数，则（）A.z1−zC.z1z211.在中，已知内角的对边分别为，其面积为，外接圆的半径为，且．下列说法正确的是（）A.若，则 B.C.若，则 D.若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若复数满足，则的取值范围是______________．13.为了防止电线杆倾斜，在两侧对称地用钢丝绳把它拉紧．已知每条钢丝绳的拉力都是500N，每条钢丝绳与电线杆的夹角都为．经工作人员测量得，则两条钢丝绳拉力的合力大小为______________N．14.在中，已知内角的对边分别为，且，则_______________．若为边上的点，且，，则的最小值是_______________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知点A（1，0），B（0，1），C（2，5），求：（1）的模；（2）．16.如图，在中，，，，，（1）求的长；（2）求的面积.17.如图，有两条相交成角的直路，，交点是.甲、乙分别在，上，起初甲离点3km，乙离点1km，后来甲沿着方向，乙沿着方向，同时以4km/h的速度步行.（1）起初两人间的距离是多少？（2）经过多长时间，两人间的距离是4km？（3）什么时候两人间的距离最短，并求出最短距离.18.在四边形中，，，.（1）若四边形是圆的内接四边形，求①；②；（2）求四边形的面积的最大值.19.在平面直角坐标系中，对于非零向量O→=(xk,yk)（1）若，求的值；（2）求证：与的面积相等；（3）设，，是否存在，使得，不等式u+λv≥23恒成立．若不存在，说明理由；若存在，求出的取值范围．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知扇形的半径为10cm，圆心角为，则该扇形的弧长是（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为，扇形的半径为10cm，所以该扇形的弧长是.2.（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程.3.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为角的终边经过点，所以，所以，所以.4.函数，的值域是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据正弦函数的单调性即可求解.解答过程：由正弦函数性质可知函数在上单调递增，在上单调递减，又时，；时，；时，，所以函数，的值域是.故选：B.5.在一座高的观测台顶测得对面一座水塔塔顶的仰角为，塔底的俯角为，则该水塔的高度是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：作出示意图，结合锐角三角函数的定义求解即可.解答过程：如图所示，DM=AB=10m，易知，所以是等腰直角三角形，所以，，故，因此塔高为CD=6.已知非零向量满足，且，则与夹角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由a−3b⊥a得：由b−3a⊥b得：故a2=b2=3则与的夹角余弦值为：cosa→,7.在中，已知，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据给定条件，利用余弦定理求出，再利用数量积的运算律及定义求解.解答过程：在中，由余弦定理AC2得，即，而，解得，所以.8.在中，已知，．为的中点，且，则的面积是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据BM2=1解答过程：根据题意，，则BM2=1则，又，所以sin∠ABC=所以.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在边长为的等边中，，，，则（）A. B.C. D.答案：ABD解析：思路：等边三角形性质建立坐标系并确定顶点坐标，再利用向量数乘与三角形法则，由给定的比例关系直接算出各分点坐标，随后对每个选项进行验证判断即可.解答过程：如图以点为坐标原点，直线为轴建立平面直角坐标系.则，，，由AF→=1由，得AD→=由，得AE→=选项A：EF→右边=1选项B：DE→右边=−2选项C：DF→，C错误，选项D：，D正确.10.已知是复数，则（）A. B.C. D.答案：ACD解析：解答过程：设，，对于A，z1−z而z1对于B，z1z1对于C，z；而z1对于D，因z1z2z111.在中，已知内角的对边分别为，其面积为，外接圆的半径为，且．下列说法正确的是（）A.若，则 B.C.若，则 D.若，则答案：BCD解析：思路：根据正弦定理，，利用正弦定理可判断A；根据外心性质可得在上的投影向量为，从而判断B；利用余弦定理和基本不等式可得，再根据三角形面积公式判断C；利用余弦定理、面积公式和基本不等式sinC≥21−cosC>0，化简求得，再由正弦定理判断D.解答过程：根据正弦定理，可得，则2sinA+所以，对于A，若，则，所以，A错误；对于B，由点向作垂线，垂足为，因为为外接圆圆心，所以为中点，从而在上的投影向量为，则，B正确；对于C，若，则，根据余弦定理，，即，又根据基本不等式，得4≥2ab则，当且仅当时，等号成立，则Smax当且仅当时，等号成立，C正确；对于D，，则ab=4又，即4=b当且仅当时，等号成立，因为，所以，所以sinC≥21−则sin2C≥4即，解得，，所以，而，所以，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若复数满足，则的取值范围是______________．答案：解析：解答过程：设，由z−1−2i=2，可得所以，所以复数在复平面内对应的点为以为圆心，2为半径的圆上的点，又OM=所以的取值范围是.13.为了防止电线杆倾斜，在两侧对称地用钢丝绳把它拉紧．已知每条钢丝绳的拉力都是500N，每条钢丝绳与电线杆的夹角都为．经工作人员测量得，则两条钢丝绳拉力的合力大小为______________N．答案：解析：解答过程：设两条钢丝绳的拉力分别为，合力为，且，，所以，所以两条钢丝绳拉力的合力大小为N．14.在中，已知内角的对边分别为，且，则_______________．若为边上的点，且，，则的最小值是_______________．答案：①.②.9解析：解答过程：由，可得，所以，所以，所以，所以，又，所以.因为，又，所以.又，所以，所以，所以，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知点A（1，0），B（0，1），C（2，5），求：（1）的模；（2）．答案：（1）（2）解析：思路：（1）先计算的坐标，再利用向量模长的坐标表示，即得解（2）由，代入（1）中计算的的坐标，运算即得解（1）由题意，故故（2）16.如图，在中，，，，，（1）求的长；（2）求的面积.答案：（1）7（2）解析：思路：（1）过点作，垂足为，分别求出，，再由余弦定理即可求出.（2）直接由三角形的面积公式即可求得答案.（1）过点作，垂足为，∵，，，，在中，，在中，，由余弦定理可得，，∴；（2），.17.如图，有两条相交成角的直路，，交点是.甲、乙分别在，上，起初甲离点3km，乙离点1km，后来甲沿着方向，乙沿着方向，同时以4km/h的速度步行.（1）起初两人间的距离是多少？（2）经过多长时间，两人间的距离是4km？（3）什么时候两人间的距离最短，并求出最短距离.答案：（1）（2）小时（3）经过小时后，距离最短，最短距离是2km.解析：思路：（1）利用余弦定理可直接求得；（2）分别在和两种情况下，利用余弦定理可求得两人间的距离，进而计算即可求解；（3）根据（2）中结论，利用二次函数性质可得结果.（1）设两人间的距离为，起初位置时，甲、乙的位置分别为，，起初位置时，，.在中，由余弦定理，得，所以.（2）设经过小时后，甲、乙的位置分别为，.当时，，当时，，所以.若，则，所以或（舍去）.所以经过小时，两人间的距离是4km.（3）由（2）得，所以当时，，所以经过小时后，距离最短，最短距离是2km.答：（1）距离是km.（2）经过小时.（3）经过小时后，最短距离是2km.18.在四边形中，，，.（1）若四边形是圆的内接四边形，求①；②；（2）求四边形的面积的最大值.答案：（1）①；②（2）.解析：思路：（1）由圆内接四边形的性质及余弦定理可得；以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，用数量积的坐标表示求得；或用数量积的定义结合余弦定理求得；（2）用三角形的面积公式，结合余弦定理，可获得四边形的面积与cos∠BAD+∠BCD的关系，由cos∠（1）连接，在圆中，，所以.在中，由余弦定理，得.在中，由余弦定理，得.所以，所以.方法一：以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，D(−2,23)，则，，解得(舍)或x=8因为BC⃗=(−6所以．方法二：在中，由余弦定理，得.在中，由余弦定理，得.所以，所以.所以.延长交于点，则.所以.所以．（2）四边形的面积为．所以S4由（1）得，所以.所以.因为，当且仅当时等号成立，所以，所以.所以四边形的面积的最大值是.19.在平面直角坐标系中，对于非零向量和角，定义变换如下：，且．（1）若，求的值；（2）求证：与的面积相等；（3）设，，是否存在，使得，不等式恒成立．若不存在，说明理由；若存在，求出的取值范围．答案：（1）（2）证明见解析（3）存在，λ解析：思路：（1）代入已知角度到旋转变换公式，得出新向量的坐标，并利用数量积的坐标公式完成计算；（2）结合同角平方关系证得所有向量模长相等，再由向量运算得相邻向量夹角恒为，代入三角形面积公式即可推得面积