2025-2026学年河南省青桐鸣高三下册5月考前演练数学试题 含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x|x2A. B. C. D.2.已知复数满足，则复数（）A. B. C. D.3.样本数据、、、、的方差为（）A. B. C. D.4.已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，且的周长为，则的面积的最大值为（）A. B. C.4 D.5.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（）A. B. C. D.6.已知向量，满足，，向量在向量上的投影向量为，则向量（）A. B. C. D.7.已知，，，则（）A. B. C. D.8.已知函数，则函数的极值点个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，分别为双曲线：的左、右焦点，则下列结论正确的有（）A.B.双曲线与双曲线有相同的渐近线C.双曲线与双曲线有相同的离心率D.直线与双曲线有且只有一个公共点10.已知函数，则下列选项正确的有（）A.函数是偶函数B.是函数的最小正周期C.直线是函数的图象的一条对称轴D.函数的值域为11.已知函数及其导函数的定义域均为，且，，，，则下列选项正确的有（）A. B. C.f'99=1 D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，若，则__________.13.在三棱锥中，，点在平面内的射影为棱的中点，三棱锥的体积为1，则三棱锥的外接球的表面积为__________．14.已知函数，记为函数的层复合函数，为函数的层复合函数，以此类推，（，且为正整数）为函数的层复合函数，则除以的余数是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某电子器件生产厂要生产一种标准规格为的电子器件，定义误差为产品实际规格减去标准规格.已知质检部抽检了某批次的件该产品，经统计得下表：产品实际规格频数（1）若以频率估计概率，从该电子器件生产厂生产的该批次产品中随机抽取件，其中至少有件是标准规格产品的概率是多少？（2）以频率估计概率，求该批次产品规格的误差绝对值的分布列和数学期望.16.已知函数fx=ax2+x（1）求实数的值；（2）当时，fx≥kx−217.如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，，，为线段的中点.（1）证明：；（2）求二面角的正弦值.18.已知等差数列的前项和为，，，，其中为常数.数列满足，，.（1）求数列和的通项公式；（2）记数列的前项和为，证明：；（3）集合A=x|x=an,n∈N∗，B=x|19.设抛物线C：的焦点为，直线与抛物线交于，两点，当在上时，与的横坐标之积为.（1）求抛物线的方程；（2）分别过，两点作抛物线的两条切线，两条切线相交于点，若是直线上的动点，证明：直线恒过定点；（3）过点作直线的垂线，直线与抛物线交于点，点与点为不同的两点，证明.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x|x2A. B. C. D.答案：A解析：思路：求出集合再求可得答案.解答过程：集合A=B=则A∪2.已知复数满足，则复数（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：，，∴1−∴z3.样本数据、、、、的方差为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：求出这组数据的平均数，利用方差公式求解即可.解答过程：这组数据的平均数为，故这组数据的方差为.4.已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，且的周长为，则的面积的最大值为（）A. B. C.4 D.答案：B解析：解答过程：由椭圆定义可知，焦距，则，离心率，联立2a+2c，，椭圆上，，当时，的面积最大，最大值为．5.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由余弦定理得，，即a2解得a=43因为，所以.所以S△6.已知向量，满足，，向量在向量上的投影向量为，则向量（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为，，所以，则，，则，则，，，，则投影向量，故选项A正确.7.已知，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用对数函数、指数函数的单调性，结合换底公式比较大小.解答过程：由对数换底公式得：

a=c=因为是增函数，且2.5>5>2所以：

log⁡22.5>指数函数y=0.5x是减函数，因此0<0.综上可得.8.已知函数，则函数的极值点个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：C解析：思路：对函数求导，运用导数的零点来判断函数的极值点.解答过程：f'化简得f'x=1−即ex−1−3h'令g(x)=令k(x)=ex又因为g'(0)=e因此，使，故在内单调递减，在内单调递增，当时，，故时，，h'(0)=e0−1=同理得时，，h'(2)=e且h'故，因此h(x)=ex−1−3x2+x3，在内，h(−1)=e−2−3−1=h(1)=e0−3+1=−1<0故在，，区间分别有一个零点，因此函数的极值点个数有3个.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，分别为双曲线：的左、右焦点，则下列结论正确的有（）A.B.双曲线与双曲线有相同的渐近线C.双曲线与双曲线有相同的离心率D.直线与双曲线有且只有一个公共点答案：BD解析：解答过程：∵双曲线，∴，，则，即，，.对于A选项，∵，∴，故A错误.对于B选项，∵双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，∴两双曲线渐近线相同，故B正确.对于C选项，∵双曲线的离心率，双曲线中，，，离心率，∴二者离心率不相等，故C错误.对于D选项，∵直线的斜率为，与双曲线的其中一条渐近线斜率相同，∴该直线与渐近线平行，与双曲线有且只有一个公共点，故D正确.10.已知函数，则下列选项正确的有（）A.函数是偶函数B.是函数的最小正周期C.直线是函数的图象的一条对称轴D.函数的值域为答案：BCD解析：思路：选项A，利用偶函数的定义判断；选项B，利用周期的定义求解；选项C，利用求解；选项D，因为的最小正周期为，只需研究上的值域，分别求出，，时的的表达式，利用正弦函数的图像和性质求解，利用最小正周期得到的值域.解答过程：选项A：，，则，，，，故A错误.选项B：，再验证是否存在更小的周期，

，，，故不是周期.因此是最小正周期，B正确.选项C：，，因此，C正确.选项D：因为的最小正周期为，只需研究上的值域，当时，，，，故，因为，所以，所以，所以，即.当时，，，，，因为，所以，所以，即.当时，，，，，因为，所以，所以，所以，即.综上可知，当时，，因为的最小正周期为，所以根据周期的定义可以得到的的值域为，D正确.11.已知函数及其导函数的定义域均为，且，，，，则下列选项正确的有（）A. B. C.f'99=1 D.答案：AB解析：思路：对于A选项，能转化成周期函数；对于B、D选项根据A选项求出周期的函数值，再根据周期求和；对于C选项，将f'解答过程：对于A选项，因为，用替换得f2−(x+2)=f同理可得f4−又由，用替换得fx+f(4−故fx+f(x−2)=2，用所以，故，因此，故A选项正确；对于B选项，因为，所以关于中心对称，又因，所以f(3)=2−f1=3，，令则，f2+f(0)=2，解得，因为所以，所以i=1故B选项正确；同理对于D选项，，故D选项错误；对于C选项，，因为，所以−f'2−x=f'对求导得f'x+2+解得f'3+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，若，则__________.答案：解析：解答过程：，，，．13.在三棱锥中，，点在平面内的射影为棱的中点，三棱锥的体积为1，则三棱锥的外接球的表面积为__________．答案：解析：思路：由三棱锥的性质结合已知条件求出，构造空间直角坐标系，求出相关点坐标，利用正三角形的性质求出重心坐标，进而设圆心坐标，利用三棱锥外接球的性质构造方程求出半径，进而利用球的面积公式求解．解答过程：已知，则是等边三角形，面积为，三棱锥的体积，解得，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立下图所示空间直角坐标系，则D0,0,0等边三角形的外接圆圆心为O10,33则OA=OA=OP=R，则，外接球的面积．14.已知函数，记为函数的层复合函数，为函数的层复合函数，以此类推，（，且为正整数）为函数的层复合函数，则除以的余数是__________.答案：解析：思路：令an=fn19，分析可得，推导可知是等比数列，确定该数列的首相和公比，可得出f2119解答过程：由题意可知fn令an=f由题意可得，故an+12所以数列以1172为首项，公比为的等比数列，所以，所以f2119所以2f因为322故2f=1310=1310因为131011−故2f2119除以的余数是四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某电子器件生产厂要生产一种标准规格为的电子器件，定义误差为产品实际规格减去标准规格.已知质检部抽检了某批次的件该产品，经统计得下表：产品实际规格频数（1）若以频率估计概率，从该电子器件生产厂生产的该批次产品中随机抽取件，其中至少有件是标准规格产品的概率是多少？（2）以频率估计概率，求该批次产品规格的误差绝对值的分布列和数学期望.答案：（1）（2）分布列解析：（1）由表可知，产品是标准规格产品的概率为．设随机抽取的件产品中至少有件是标准规格产品为事件，则．（2）的可能取值为，，，用频率估计概率，，，，所以的分布列为所以的数学期望．16.已知函数fx=ax2+x（1）求实数的值；（2）当时，fx≥kx−2答案：（1），（2）解析：思路：（1）利用函数在点处的导数值即曲线的斜率及点在曲线上求得的值；（2）当时，fx≥kx−2恒成立，等价于k≤x（1）已知函数fx=a由题意，得f1=a所以，．（2）由（1）可知，fx由fx≥kx又，所以x+ln设gx=x又，，由，解得，当时，，当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，所以，即实数的取值范围为．17.如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，，，为线段的中点.（1）证明：；（2）求二面角的正弦值.答案：（1）见解析（2）解析：思路：（1）连接交于点，连接、，根据题意，得平面，由线面垂直即可得到线线垂直；（2）根据题意建立空间直角坐标系，通过计算两个平面的法向量即可求解.（1）连接交于点，连接MN,MC，如图所示：因为底面为菱形，所以，且为和的中点，又为线段的中点，所以，又，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以．（2）设的中点为，连接，，因为底面为菱形，且，，所以，，均为等边三角形，所以，，又，，平面，所以平面，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，由上得，又，所以，又，所以cos∠故点在平面中的投影在的延长线上，所以cos∠POH=由，得OH=POcos∠则，D0,3,0，，C则AD→=1,3,0设平面的法向量，则有n→⋅AD→=设平面的法向量，则有m→⋅DC→=2则cosn→,所以二面角的正弦值为．18.已知等差数列的前项和为，，，，其中为常数.数列满足，，.（1）求数列和的通项公式；（2）记数列的前项和为，证明：；（3）集合A=x|x=an,n∈N∗，B=x|答案：（1）an=2n（2）由（1）得，所以，①，②①②，得12T所以.（3）解析：思路：（1）利用和等差数列的定义求出数列的通项公式，再分奇偶项根据等比数列的定义求出数列的通项公式即可；（2）利用错位相减求和可得答案；（3）分cn=2k−1、cn（1）由题意，，1+a两式相减，得an因为，所以，由题意，得，1+a1a2又，所以a1+a3所以a1+a所以，故公差为，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以an因为，b2=a2所以数列的奇数项构成的数列b2m−1m∈N所以b2令，则，为奇数；数列的偶数项构成的数列b2m是首项为，公比为的等比数列，所以b2令，则，为偶数．综上所述，bn（2）略.（3）当cn=2k−1，cn+1=2k+1，且数列H=2×1+由k2>302k+1，得k故当cn≥121，且cn=2k−1，当cn=2kH=2×1+由k2>30×2k，解得，故故当cn≥121，且cn=2k−1，cn当cn==2由，得22m−2+所以2m−1>28+449+2>56>故当cn>64，且cn=2综上，当cn≥121时，当cn=119时，当cn=117时，当cn=115时，当64<cn<115时，设cHn即Hn同理，当cn≤64时，综上，cn=117是使成立的最小，这时Hn且cn=a所以n=59+6=65所以满足条件的的最小值为．19.设抛物线C：的焦点为，直线与抛物线交于，两点，当在上时，与的横坐标之积为.（1）求抛物线的方程；（2）分别过，两点作抛物线的两条切线，两条切线相交于点，若是直线上的动点，证明：直线恒过定点；（3）过点作直线的垂线，直线与抛物线交于点，点与点为不同的两点，证明.答案：（1）