2025-2026学年河南省郑州市中牟县河南衡水高考复读学校高三下册模拟预测（二）数学试题 含解析

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，，则的子集个数为（）A.2 B.3 C.4 D.82.若复数满足，则（）A. B. C. D.3.已知函数，则的值为（）A. B. C. D.54.已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.5.的展开式中的系数是（）A.270 B. C.630 D.6.已知函数，设，，，则（）A. B. C. D.7.已知函数，若为在区间上的两个零点，则（）A. B. C. D.8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且与其渐近线垂直的直线交C的左支于点P，若，则C的离心率为（）A.2 B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某科技公司为了研究在大语言模型（LLM）领域每月的研发投入x（单位：百万元）与模型推理性能得分y（单位：分）之间的关系，技术团队收集了近12个月的实验数据作为样本，得到经验回归方程．已知平均每月研发投入为20百万元，平均推理性能得分为130分，则下列说法正确的是（）A.B.x与y正相关C.当某月研发投入为30百万元时，推理性能得分约为170分D.根据该模型，若研发投入翻倍，推理性能得分也一定翻倍10.已知函数，若方程有四个不同的零点，，，，且，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.11.在矩形中，，，将沿折叠至，得到三棱锥，设球为三棱锥的外接球，则下列说法正确的是（）A.若平面平面，则三棱锥的体积为B.球的半径为1C.若与BD的夹角的正切值为，则二面角的大小为D.设分别为的中点，则直线被球所截长度的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知抛物线上一点P到x轴的距离为，则点P到C的焦点的距离为_________．13.在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的斜边BC经过点，直角边AB，AC分别经过点，，则面积的最大值为_________．14.若直线与函数和的图象均相切，则实数b的最大值为_________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在数列中，，，且数列是公差为2的等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）求证：．16.已知函数，其中，．（1）当时，若在上是增函数，求a的取值范围；（2）若对任意的，均存在两个极值点，求a的取值范围．17.如图，在四棱锥中，底面,，，，点分别在棱上，，，平面与棱交于点．（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．18.已知椭圆的长轴长为4，点在C上．（1）求C的方程；（2）点P是C上一动点，过点P作两条直线分别交C于M，N两点，直线PM，PN与圆都相切，设直线PM，PN的斜率分别为，．（ⅰ）证明：为定值，并求出该定值；（ⅱ）若直线MN的斜率为，求弦长．19.现有编号分别为1，2，…，的n个箱子，每个箱子中均有除颜色外完全相同的红球和黑球各一个．现往1号箱子中随机放入一个红球或黑球，再从1号箱子中，随机取一个球放入2号箱子，再从2号箱子中，随机取一个球放入3号箱子，…，重复此操作，最后从n号箱子中，随机取出一个球，一轮操作结束．（1）在第一轮操作结束后，求2号箱子中是2个红球的概率；（2）在第一轮操作结束后，求n号箱子中红球个数X的数学期望；（3）在第一轮操作结束后，把1，2，…，n号箱子中是两个红球或两个黑球的箱子剔除，将剩下的箱子重新从1开始编号，进行第二轮操作，重复此操作，直至剩下的箱子里的两个小球均同色，终止操作．求第二轮操作结束后终止操作的概率．（用含n的式子表达）

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，，则的子集个数为（）A.2 B.3 C.4 D.8答案：C解析：解答过程：，则，解得，，，的子集个数为：．2.若复数满足，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：设，两边取模可得，所以，故.3.已知函数，则的值为（）A. B. C. D.5答案：A解析：思路：对求导得，代入，求解即可.解答过程：，故，所以．4.已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据向量数量积运算公式，求得，结合向量的投影向量的定义，即可求解.解答过程：由，可得，所以，所以在方向上的投影向量为．5.的展开式中的系数是（）A.270 B. C.630 D.答案：D解析：思路：表示5个因式相乘的乘积，分类讨论因式的搭配即可得解.解答过程：表示5个因式的乘积，的项可以是：从5个因式中选1个提供，1个提供，3个提供3，此时的系数为；从5个因式中选3个提供，0个提供，2个提供3，此时的系数为，所以展开式中的系数为．6.已知函数，设，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据解析式得关于直线对称，利用导数判断在上单调性，再应用对称性和单调性判断函数值的大小即可.解答过程：由，所以关于直线对称，当时，，则，所以在上单调递增，由，则，而，所以，故，即，由，故，即，综上，.7.已知函数，若为在区间上的两个零点，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先将原式辅助角变形为，由零点得；根据的性质，结合取值范围排除，得到，再配凑，利用诱导公式与余弦二倍角代入求值．解答过程：由题意得，其中，，所以，因为，所以，所以，所以．8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且与其渐近线垂直的直线交C的左支于点P，若，则C的离心率为（）A.2 B. C. D.答案：C解析：思路：利用正弦定理把用表示，然后利用余弦定理求得关系，从而求得离心率．解答过程：设的半焦距为，，渐近线的斜率的绝对值为，所以，因为又，所以，故解得，，则．在中，由正弦定理，得，解得，故，由余弦定理，得，整理得，所以的离心率．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某科技公司为了研究在大语言模型（LLM）领域每月的研发投入x（单位：百万元）与模型推理性能得分y（单位：分）之间的关系，技术团队收集了近12个月的实验数据作为样本，得到经验回归方程．已知平均每月研发投入为20百万元，平均推理性能得分为130分，则下列说法正确的是（）A.B.x与y正相关C.当某月研发投入为30百万元时，推理性能得分约为170分D.根据该模型，若研发投入翻倍，推理性能得分也一定翻倍答案：ABC解析：思路：利用回归直线过样本中心点算出，由判定正相关，代入预测，再根据一次函数非正比例特征排除D．解答过程：对于A，，，所以，解得，A正确；对于B，因为，所以x与y正相关，B正确；对于C，令，可得，C正确；对于D，由题意得时，，而时，，推理性能得分并没有翻倍，D错误．10.已知函数，若方程有四个不同的零点，，，，且，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.答案：BD解析：思路：利用分段函数零点问题转化为方程的解的问题，再利用数形结合，来分析四个零点的分布，再结合对数运算即可判断各选项.解答过程：当时，令，得；当时，令，解得或；画出函数的大致图象如图所示.若方程有四个不同的零点，，，，且，则由图象可知，故A错误．由图象可知，且，所以，故，故B正确.因为，所以，又，由，根据对勾函数的单调性可知：在上单调递减，则，所以，故C错误．由的两根为，，且，则，又因为，所以，故D正确.11.在矩形中，，，将沿折叠至，得到三棱锥，设球为三棱锥的外接球，则下列说法正确的是（）A.若平面平面，则三棱锥的体积为B.球的半径为1C.若与BD的夹角的正切值为，则二面角的大小为D.设分别为的中点，则直线被球所截长度的取值范围是答案：BCD解析：思路：作和分别垂直，得到，结合体积公式，可判断A错误；取为的中点，且为外接球的球心，求得球的半径，可判定B正确；取，连接，在中，利用余弦定理，求得，可判定C正确；根据向量的运算法则，求得的取值范围，得到球心到的距离的取值范围，结合圆的弦长公式，可判定D正确.解答过程：对于A，作垂直于点，垂直于点，所以，当平面平面时，三棱锥的体积，所以A错误；对于B，设为的中点，根据直角三角形的性质，可得，即为外接球的球心，可得球的半径为，所以B正确；对于C，如图1所示，取，且，连接，则，且与BD的夹角，即为，因为，所以，在中，，且，由余弦定理得，又因为，所以，所以C正确．对于D，取的中点，连接，如图2所示，过点分别作垂足分别为因为分别为的中点，且，在直角中，可得，同理可得，所以，设向量夹角为，可得，又因为，可得，因为，可得，所以，即又由球心到的距离为，可得，则截得的弦长为，所以直线被球所截得的长度的取值范围为，所以D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知抛物线上一点P到x轴的距离为，则点P到C的焦点的距离为_________．答案：3解析：解答过程：由题设，不妨设，所以，又，则，故准线方程为，所以点P到C的焦点的距离为．13.在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的斜边BC经过点，直角边AB，AC分别经过点，，则面积的最大值为_________．答案：##解析：思路：分别在以及中利用正弦定理表示，再利用正弦函数的性质求解即可.解答过程：因为三角形为等腰直角三角形，所以.如图，设，则．在中，由正弦定理得，，所以．在中，由正弦定理得，，所以．所以，等号在时取到，此时面积的最大值为．14.若直线与函数和的图象均相切，则实数b的最大值为_________．答案：2解析：思路：利用切点导数相等结合切点在直线上的截距列等式，利用换元法得出参数约束方程及，再利用隐含条件，找到所有零点，再代入比较大小．解答过程：设直线l与的图象相切于点，直线l与的图象相切于点，则，，得，得，令，则，，，故，设，显然为的一个零点，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故，而，，，的两根位于两侧，已知一根为1，另一根位于区间内，当时，，，求导得，当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，的最大值为2．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在数列中，，，且数列是公差为2的等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）求证：．答案：（1）（2）证明见解析解析：思路：（1）根据等差数列的定义，求出，再利用累加法求通项即可；（2）对进行放缩，再利用裂项相消法求和，即可完成证明．（1）由数列是公差为2的等差数列，且，，则，所以，又满足上式，所以．（2）由（1）得，，当时，，当时，．综上，．16.已知函数，其中，．（1）当时，若在上是增函数，求a的取值范围；（2）若对任意的，均存在两个极值点，求a的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）求导后，参变分离，构造函数求最值即可．（2）转化为的最小值小于0，得到，再求以b为自变量的函数的最大值即可.（1）当时，，，依题意，等价于，．设，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，所以a的取值范围是．（2），设，则，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，又时，，时，，所以，所以．设，则，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，解得，所以a的取值范围是．17.如图，在四棱锥中，底面,，，，点分别在棱上，，，平面与棱交于点．（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．答案：（1）证明：因为平面，且平面，所以，又因为，，所以，因为，且平面，所以平面，又因为，所以平面，因为平面，所以，在直角中，，，所以，因为，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，因为且，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）．解析：思路：（1）根据题意，证得平面，得到平面，证得，再由，证得，得到平面，结合面面垂直的判定定理，即可证得平面平面；（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，得到，根据，求得，得到，再求得平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.（1）略（2）解：过点作直线，以为坐标原点，所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得，，，，，则，，，设，则，由（1）知，所以，即，得，所以，设平面的法向量为，则，令，可得，所以，设直线与平面所成的角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为．18.已知椭圆的长轴长为4，点在C上．（1）求C的方程；（2）点P是C上一动点，过点P作两条直线分别交C于M，N两点，直线PM，PN与圆都相切，设直线PM，PN的斜率分别为，．（ⅰ）证明：为定值，并求出该定值；（ⅱ）若直线MN的斜率为，求弦长．答案：（1）（2）（ⅰ）设，直线PM的方程为，直线PN的方程为，因为直线PM、PN均与圆相切，所以，将上式两边同时平方后整理得，，，为方程的两根，所以，又，所以，所以．（ⅱ）解析：思路：（1）根据题中条件求解即可；（2）（ⅰ）设出直线PM方程，根据相切构造同解方程即可求出；（ⅱ）设出直线MN方程，代入，再联立直线与椭圆的方程，求得，最后求解出．（1）由题意得，，故，将点代入椭圆方程，解得，所以C的方程为.（2）（ⅰ）略（ⅱ）设，直线，则，化简得，．（*）．由消去y，得，由，可得，则，代入（*）式，得，化简得，，所以m=0或，若，则直线过点，这意味着三点共线，那么直线与为同一条直线，这与题设‘过点作两条（不同的）直线’矛盾，故舍去.所以，所以．19.现有编号分别为1，2，…，的n个箱子，每个箱子中均有除颜色外完全相同的红球和黑球各一个．现往1号箱子中随机放入一个红球或黑球，再从1号箱子中，随机取一个球放入2号箱子，再从2号箱子中，随机取一个球放入3号箱子，…，重复此操作，最后从n号箱子中，随机取出一个球，一轮操作结