2025-2026学年湖南株洲市部分校高一下册期中联合测评数学试题 含解析

/数学出题范围：必修一至必修二第八章一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.3.的模=（）A. B. C. D.4.已知向量满足，则向量与夹角的余弦值是（）A. B. C. D.5.在中，角，，所对的边分别为，，，，，则（）A.1 B.2 C.3 D.46.设，，，则，，的大小关系是（）A. B.C. D.7.已知一个正四棱锥的底面边长为，内切球的体积为，则这个正四棱锥的体积为（）A. B. C. D.168.如图一个三棱锥中，，、、分别为所在棱中点，、分别为所在棱靠近端的三等分点，沿平面或平面分割后，截面中均恰好看不见球体.则球与整个三棱锥体积之比为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若有一个，下面说法正确的是（）A.在中，若，则为等腰直角三角形B.在中，，，，若此三角形恰有两解，则实数的取值范围是C.在中，三边之比为，则此三角形的最大内角为D.在中，，且最大边与最小边是方程的两个实根，则的外接圆半径10.三棱锥的四个顶点都在球上，且底面，，，则下列说法正确的是（）A. B.球心在三棱锥的内部C.球心到底面的距离为1 D.球的表面积为11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.的最小值为1 B.的最大值为C.在上单调递减 D.的图象是轴对称图形三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如果向量，，的模分别为，，，则与的夹角为________.13.在锐角中，角，，的对边分别是，，，若，则的取值范围为________.14.已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为，则该正四棱锥内切球的表面积为________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且.（1）求角的值；（2）若，求的取值范围.16.已知分别为三个内角的对边，且．（1）求；（2）若，的面积为，求的周长．17.对于定义在上的函数，若，使得成立，则称为函数的不动点．（1）若，求的不动点；（2）对于二次函数．（i）当时，函数有唯一的不动点，求实数a的取值范围；（ii）若函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值．18.如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点.（1）若为线段上的动点，证明：平面平面；（2）若，分别为线段，的中点，过、、三点的平面交于点，求四棱锥的体积.（3）若图1中，为的中点，是的四等分点，若图2中，，分别为，的中点，求图1中和平面夹角的正弦值与图2中和平面夹角的余弦值之比.19.对于定义域为的函数以及非空数集：若对任意，当时，都有，则称是关联的.（1）设，写出符合条件的三个开区间，使得是关联的；（2）设，若存在一个闭区间使得是关联的，求；（3）证明：是关联的等价于是关联的.

数学出题范围：必修一至必修二第八章）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：首先分别化简集合，，再求交集即可.解答过程：，，所以.故选：B.方法提示：本题主要考查集合的交集运算，同时考查了函数的值域，属于简单题.2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据全称命题否定的结构形式可得正确的选项.解答过程：全称命题的否定为特称命题，故命题“”的否定为：，故选：D.3.的模=（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由复数的模公式计算即得解答过程.4.已知向量满足，则向量与夹角的余弦值是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先求出，再根据夹角公式可求余弦值.解答过程：因为，所以，从而，所以即，故，故选：A.5.在中，角，，所对的边分别为，，，，，则（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：思路：结合题干和正弦定理建立方程求解.解答过程：在中由正弦定理，可得：已知，则，且，代入上式：，解得.6.设，，，则，，的大小关系是（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：根据指数函数与对数函数的性质，分别求得，，取值范围，即可求解.解答过程：由题意，根据指数函数的性质，可得，，根据对数函数的性质，可得，所以.故选：A.方法提示：本题主要考查了指数式与对数的比较大小，其中解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.7.已知一个正四棱锥的底面边长为，内切球的体积为，则这个正四棱锥的体积为（）A. B. C. D.16答案：C解析：思路：由内切球的体积为可求内切球的半径.设球与正四棱锥底面切于点，侧面切于点，设，延长交底面于点.根据正四棱锥的底面边长及即可求解的值，利用棱锥体积公式即可求解.解答过程：因为内切球的体积为，所以内切球的半径为1.如图所示，设球与正四棱锥底面切于点，侧面切于点，设，延长交底面于点.因为正四棱锥的底面边长为，所以.又，所以，即，解得.所以，所以正四棱锥的体积为.故选：C.8.如图一个三棱锥中，，、、分别为所在棱中点，、分别为所在棱靠近端的三等分点，沿平面或平面分割后，截面中均恰好看不见球体.则球与整个三棱锥体积之比为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：设，易知，且，设球半径为，，根据中点可知到的距离，，根据三角形面积公式及内切圆半径公式可得，结合余弦定理可得，进而可得，，可得内切球半径且可知三棱锥为正三棱锥，再根据球的体积公式及三棱锥公式分别求体积及比值.解答过程：

如图所示，取中点为，，为方便计算，不妨设，由，可知，又、分别为所在棱靠近端的三等分点，则，且，、，，平面，即平面，又平面，则平面平面，设球半径为，，由于、、分别为所在棱中点，且沿平面切开后，截面中均恰好看不见球体，则到的距离，，，又，解得：，故，又，解得，，所以，解得，，由以上计算可知：为正三棱锥，故，所以比值为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若有一个，下面说法正确的是（）A.在中，若，则为等腰直角三角形B.在中，，，，若此三角形恰有两解，则实数的取值范围是C.在中，三边之比为，则此三角形的最大内角为D.在中，，且最大边与最小边是方程的两个实根，则的外接圆半径答案：BCD解析：思路：由，可得或，即可判断A；利用正弦定理即可判断B；根据大边对大角结合余弦定理即可判断C；利用韦达定理结合余弦定理求出边，再利用正弦定理即可判断D.解答过程：对于A，因为，，所以或，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误；对于B，因为恰有两解，所以，即，解得，故B正确；对于C，不妨设三边的长分别为，则对应的角最大，设为，则，所以，即三角形的最大内角为，故C正确；对于D，设所对的边分别为，因为最大边与最小边是方程的两个实根，易知两根不相等，故不是等边三角形.若为最大角，则，若为最小角，则，所以角既不是最大角也不是最小角，即边既不是最大边也不是最小边，因为最大边与最小边是方程的两个实根，所以，由余弦定理得，所以，所以的外接圆半径，故D正确.10.三棱锥的四个顶点都在球上，且底面，，，则下列说法正确的是（）A. B.球心在三棱锥的内部C.球心到底面的距离为1 D.球的表面积为答案：ACD解析：思路：选项A，利用余弦定理计算的长度；选项B，结合底面外接圆圆心和球心关系判断即可；选项C，根据外接球的球心位置规律推导距离；选项D，利用外接球半径公式求出球的半径，再使用球的表面积公式计算.解答过程：底面，，，.选项A：由余弦定理：，得，A正确；选项B：底面中，是钝角，钝角三角形的外心（外接圆圆心）在三角形外部，因此三棱锥外接球的球心在三棱锥外部，B错误；选项C：侧棱垂直底面，外接球的球心在过底面外心且垂直于底面的直线上，球心到底面的距离，C正确；选项D：由正弦定理，底面外接圆半径满足：，外接球半径满足，因此球的表面积：，D正确.11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.的最小值为1 B.的最大值为C.在上单调递减 D.的图象是轴对称图形答案：BCD解析：思路：D选项，变形得到，结合关于直线对称，故，D正确；AB选项，换元后，由基本不等式得到值域，得到A错误，B正确；C选项，由同增异减得到函数单调性.解答过程：D选项，函数的定义域为，因为，所以.因为的图象关于直线对称，所以，则的图象关于直线对称，D正确；AB选项，令，则，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，A错误，B正确；C选项，又当时，单调递增，此时，在上单调递减，所以在上单调递减，C正确；故选：BCD.方法提示：关键点点睛：将函数变形为，再结合换元法进行求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如果向量，，的模分别为，，，则与的夹角为________.答案：解析：思路：借助模长与数量积关系计算可得，再利用平面向量夹角公式计算即可得.解答过程：由，则，即，则，故.13.在锐角中，角，，的对边分别是，，，若，则的取值范围为________.答案：解析：思路：先设，得①，由得②再由为锐角三角形，得，，，并将①②代入整理成关于的一元二次不等式组，解之即得的范围，最后由正弦定理即得..解答过程：设，则，由得因为锐角三角形，故，，：，代入得，解得；，代入得，解得；，代入得，对恒成立，综上，，即，.故答案为.14.已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为，则该正四棱锥内切球的表面积为________．答案：解析：思路：根据侧面积求出正四棱锥的棱长，画出组合体的截面图，根据三角形的相似求得四棱锥内切球的半径，于是可得内切球的表面积．解答过程：设正四棱锥的棱长为，则，解得．于是该正四棱锥内切球的大圆是如图△PMN的内切圆，其中，．∴．设内切圆的半径为，由∽，得，即，解得，∴内切球的表面积为．方法提示：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且.（1）求角的值；（2）若，求的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据数量积的坐标表示，利用正弦定理和余弦定理角化边可得；（2）利用正弦定理将表示为关于角的函数，根据二倍角公式化简，由正切函数的性质可得.（1）因为，所以，利用正弦定理角化边得，又，，则，又为锐角三角形，故.（2）由正弦定理得，，由于为锐角三角形，则，又，解得，所以，而，即，，故的取值范围为.16.已知分别为三个内角的对边，且．（1）求；（2）若，的面积为，求的周长．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据题意，由正弦定理得到，结合余弦定理，求得，即可求解；（2）由的面积为，求得，再由余弦定理得到，求得的值，即可求解.（1）解：因为，由正弦定理可得，即，又由余弦定理，可得，又因为，所以.（2）解：由的面积为，可得，即，所以，因为，又由余弦定理，可得，解得，所以的周长为.17.对于定义在上的函数，若，使得成立，则称为函数的不动点．（1）若，求的不动点；（2）对于二次函数．（i）当时，函数有唯一的不动点，求实数a的取值范围；（ii）若函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值．答案：（1）（2）（i）（ii）解析：思路：（1）根据题意得到的解析式，然后根据不动点的定义计算即可；（2）（i）将时，有唯一的不动点转化为函数在上只有一个零点，然后列不等式求解即可；（ii）将有两个不相等的不动点，且转化为方程有两个不相等的正根，然后结合韦达定理和基本不等式求最值即可.（1），则不动点满足，即，整理得，因为，所以，当时，，解得，满足；当时，，无解，所以的不动点为.（2）（i），当时，有唯一的不动点，则方程只有一个解，即函数在上只有一个零点，当时，，，满足要求；当，即时，，解得或，时，，在上只有一个零点1，时，，在上只有一个零点1，所以的取值范围为.（ii）令，整理得，则，解得，，令，则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.方法提示：方法点睛：一元二次方程根的分布问题：（1）图形法：考虑开口、对称轴、和端点处函数值的正负等因素；（2）韦达定理的方法：根据和的正负判断根的正负.18.如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点.（1）若为线段上的动点，证明：平面平面；（2）若，分别为线段，的中点，过、、三点的平面交于点，求四棱锥的体积.（3）若图1中，为的中点，是的四等分点，若图2中，，分别为，的中点，求图1中和平面夹角的正弦值与图2中和平面夹角的余弦值之比.答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：思路：（1）结合图形利用面面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，确定棱锥的高，结合等体积法求解即可；（3）利用空间向量求线面角公式求解正弦值、余弦值，再计算二者的比值.（1）由底面，底面，得，又底面为正方形，，，故平面.因为平面，所以，又，是中点，故.，因此平面，又平面，故平面平面.（2）如图所示，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，，为中点，故.为中点，故，，平面即平面（），的面积.到平面（）的距离为的纵坐标，故体积.（3）如图所示，平面是平面，其法向量为.图1：为靠近的四等分点，得，，和平面夹角满足，图2：为中点，得，，和平面夹角满足，故，所以比值为：19.对于定义域为的函数以及非空数集：若对任意，当时，都有，则称是关联的.（1）设，写出符合条件的三个开区间，使得是关联的；（2）设，若存在一个闭区间使得是关联的，求；（3）证明：是关联的等价于是关联的.答案：（1），，（2），（3）证明见解析解析：思路：（1）根据已知条件，分别考虑和的情况.当，让接近，接近，但要在内，出现矛盾；同理时也矛盾，所以区间中有，再检验三类开区间满足题意即可；（2）由是关联的得出.当时，和能取任意值，也能取任