2025-2026学年河南省南阳市高一下册期中质量评估数学试题 含解析

/数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.＝（）A. B. C. D.E.2.已知O是△ABC所在平面上的一点，若，则点O是△ABC的（）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心3.函数的图象的一个对称中心为（）A. B. C. D.4.在边长为1的正方形中，P为BC的中点，则＝（）A. B. C. D.5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝2，，满足条件的△ABC有两个，则b可能为（）A.2 B. C. D.36.若函数在上有最大值没有最小值，则的取值范围为（）A. B. C. D.7.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过t秒后点P距离水面的高度为h米，且，下列结论不正确的是（）A. B.C. D.当点P运动秒时，距水面的高度为米8.关于x的方程在区间有两解，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的有（）A.单位向量都相等B.物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量C.两个非零向量，，若，则与共线且反向D.若，则在上的投影向量为10.在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，，．则（）A.B.若，则C.若为的平分线，则D.若，则11.如图，函数的图象交x轴于点B和点D，交y轴于点C，已知，点E的横坐标为，．则（）A.B.△BCE的面积为C.若在有n个解，则D.把函数的图象向右平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍，再把纵坐标伸长为原来的两倍，横坐标不变，最后向上平移一个单位得到函数的图象．若对任意的，方程在区间上至多有一个解，则正数k的范围为．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则的取值范围为______．13.已知，．当时，，则______．14.已知．对使得成立，则的最小值为______．四、解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1）一个扇形的周长的数值为4，面积的数值为1，求这个扇形圆心角的弧度数；（2）已知角的顶点在坐标原点，始边在x轴非负半轴，终边过点，，求的值．16.已知单位向量的夹角为，向量，向量．（1）若，求的值；（2）若，求的值；（3）若，求的值．17.函数．（1）请用五点作图法画出函数的图象（先填表，再画图）；（2）若有2个根，求实数m的取值范围；（3）若在上的值域为，求的取值范围．18.已知函数，，函数图象的两条相邻对称轴间的距离为．（1）求函数的解析式；（2）若函数在区间上单调递增，求实数m的最大值；（3）若，求的取值范围．19.在中，若点P满足，则点P称为的布洛卡点，角为的布洛卡角．已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点P是的布洛卡点．（1）若△ABC为正三角形，求；（2）已知①求证：；②若，，求面积的最大值．

数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.＝（）A. B. C. D.E.答案：C解析：解答过程：．2.已知O是△ABC所在平面上的一点，若，则点O是△ABC的（）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心答案：C解析：思路：作BD∥OC，CD∥OB，连接OD，OD与BC相交于点G,可得，又=-，则有=-，即AG是BC边上的中线，同理，BO，CO也在△ABC的中线上,即可得出结果.解答过程：作BD∥OC，CD∥OB，连接OD，OD与BC相交于点G，则BG=CG(平行四边形对角线互相平分)，∴，又，可得=-，∴=-，∴A，O，G在一条直线上，可得AG是BC边上的中线，同理，BO，CO也在△ABC的中线上.∴点O为三角形ABC的重心.故选：C.3.函数的图象的一个对称中心为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：根据正切函数的性质，的图象的对称中心的横坐标满足，，解得，，所以的图象的对称中心为，.对照各选项，可知时，对称中心为.4.在边长为1的正方形中，P为BC的中点，则＝（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据平面向量基本定理，选择正方形相邻的两边作为基底，将表示为的形式，利用数量积运算计算即可．解答过程：如图，作出符合题意的图形，因为为边长为1的正方形，故，且；故以为一组基底，因为P为BC的中点故，；故．5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝2，，满足条件的△ABC有两个，则b可能为（）A.2 B. C. D.3答案：B解析：思路：已知边a与其对角A，求边b可利用正弦定理，建立边b与角B之间的关系，因为△ABC有两个，故角B有两个，根据正弦函数图象确定范围即可．解答过程：由正弦定理可得：，因为a＝2，，故，故，因为△ABC有两个，故存在两个不同的角B满足题意，则（否则角B不满足有两个三角形的条件），（否则B只能有直角一个值），故且，则，故，解得．故只有B选项符合题意．6.若函数在上有最大值没有最小值，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用换元法，求出函数在上的两个端点，结合函数在上有最大值没有最小值构造不等式，解不等式求出的取值范围．解答过程：令，，，当时，；当时，；则，函数的最大值在处取得；最小值在处取得；已知函数在上有最大值没有最小值，区间必须包含第一个最大值点，且不能包含第一个最小值点，，解得．7.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过t秒后点P距离水面的高度为h米，且，下列结论不正确的是（）A. B.C. D.当点P运动秒时，距水面的高度为米答案：D解析：解答过程：筒车半径为2米，故振幅为，圆心距水面1米，故平衡位置，故A正确；已知每分钟转4圈，周期秒，角速度，故B正确；时，点在水面，，代入公式，解得，，且在第四象限，，故C正确；秒时，，米，故D错误．8.关于x的方程在区间有两解，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：通过换元法，将方程转化为一元二次方程，讨论方程解的个数对应上的解的个数，从而确定a的取值范围．解答过程：因为，则；令，则可整理为：；故在区间有两解等价于在上的解，对应有两个不同的解；当或时，一个t对应上的一个解，当且时，一个t对应上的两个解；分离参数：，令，对称轴为，；与对称的点为；，，当时，与有一个交点，此时，一个t对应上的两个解；当时，，一个t对应上的一个解，不合题意；当时，或，对应或两个解，符合题意；当时，与有两个交点，即t有两个值，此时，一个t对应上的两个解，则在区间上，x有4个解，不合题意，舍去；当时，，此时对应上的两个解，符合题意；综上，实数a的取值范围为．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的有（）A.单位向量都相等B.物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量C.两个非零向量，，若，则与共线且反向D.若，则在上的投影向量为答案：BC解析：思路：根据向量的定义，既有大小又有方向的量叫做向量，可判断A选项，方向相同或相反为共线向量，可判断BC，根据投影向量公式在上的投影向量为计算．解答过程：单位向量模长相等，方向不确定，故不是相等向量，A错误；力既有大小又有方向是向量，作用力与反作用力方向相反，是共线向量，故B正确；因为，则，整理得：，故；因为，故为，因为，故，则与共线且反向，C正确；在上的投影向量为，与共线，故D错误．10.在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，，．则（）A.B.若，则C.若为的平分线，则D.若，则答案：ABD解析：思路：A选项，已知三边求角，由余弦定理计算即可；B选项，根据为的中点，利用向量的平行四边形法则计算长；C选项，利用等面积法，根据面积等于与的面积和，代入面积公式即可计算；D选项，根据面积公式等于面积，计算h．解答过程：A选项：由余弦定理：，因为，则，故A正确；B选项：当时，D为AC的中点，则，因为，故，故B正确；C选项，因为为的平分线，故，则，代入数据可得：，解得：，故C不正确；D选项，因为，故，因为在上,故，，故D正确．11.如图，函数的图象交x轴于点B和点D，交y轴于点C，已知，点E的横坐标为，．则（）A.B.△BCE的面积为C.若在有n个解，则D.把函数的图象向右平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍，再把纵坐标伸长为原来的两倍，横坐标不变，最后向上平移一个单位得到函数的图象．若对任意的，方程在区间上至多有一个解，则正数k的范围为．答案：ACD解析：思路：A选项，根据图象，给出一个周期的图象，即求出D点坐标即可知道半个周期的长度，求出周期，根据计算，再带点求出的值；B选项，根据可知C与D点关于E点对称，故可以将△BCE拆分为与，根据点的坐标计算长度求面积；C选项，一种方法可以代入求出解的值代入计算，也可通过对称性进行计算；D选项，根据图象的变换写出的解析式，利用翻折，伸缩，平移变换可画出的图象，根据函数的图象性质写出k的范围．解答过程：因为，所以D为CE的中点，因此点D的坐标为，所以，即，从而＝2；因为，故，因为，解得，所以；又，所以，解得A＝1，所以，故A正确；显然，△BCE的面积为．故B错误．对于C：（方法一），．令，则在有4个根，，所以在有4个解，且满足（i＝1，2，3，4），所以，所以．（方法二）作出的图象如图所示，作出直线与相交，交点的横坐标依次即为，由对称性可得：，所以，故C正确；对于D：由图象变换可得：，所以，．令，则，k＞0，作出的图象如图所示：令，当时，解得：．如图，要使在区间上至多有一个解，只需，解得：．故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则的取值范围为______．答案：解析：解答过程：，，．13.已知，．当时，，则______．答案：解析：思路：根据周期性，将转化成在内的值，代入解析式进行计算．解答过程：因为，用替换，可得：，故周期为6，因为，故，因为当时，，故；故．14.已知．对使得成立，则的最小值为______．答案：解析：思路：将不等式化为余弦不等式，其解集为一系列间隔为的区间，给定区间长度为，欲使其与所有解集有交，进而得到不等式即可解答.解答过程：因为，所以可化为．由三角函数的定义（余弦线）解得：，即：．将其解集在数轴上表示如下：对，使得成立，只需的长度大于等于相邻解集之间的长度，所以解得：．又，所以y的最小值为．四、解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1）一个扇形的周长的数值为4，面积的数值为1，求这个扇形圆心角的弧度数；（2）已知角的顶点在坐标原点，始边在x轴非负半轴，终边过点，，求的值．答案：（1）弧度数为2；（2）.解析：思路：（1）由扇形周长和面积公式列方程组，解出半径和圆心角弧度数；（2）利用诱导公式化简三角函数式得正切，再根据终边上点坐标求出正切值.解答过程：（1）设一个扇形的半径为r，圆心角的弧度数为，由题意可得：，解得：，所以这个扇形圆心角的弧度数为2．（2）．因为角的终边过点，所以，所以．16.已知单位向量的夹角为，向量，向量．（1）若，求的值；（2）若，求的值；（3）若，求的值．答案：（1）（2）（3）或解析：思路：（1）根据向量共线定理可得；（2）根据非零向量垂直的充要条件是数量积为零可得；（3）由数量积的定义、运算律及向量模的求法列出方程，求解可得.或根据题意，设的坐标，用坐标法求解.（1）∵单位向量的夹角为，∴与不共线.∵向量，向量，∴由平面向量共线定理可知，存在唯一实数，使得，即，则λ=k−1=2k方法二：∵单位向量的夹角为，∴不妨设，．向量，向量．∵，∴，解得：；（2）．若，则，即，解得．方法二：若，则，解得：．（3）．所以，．因为，所以，解得或．方法二：，因为所以，解得或．17.函数．（1）请用五点作图法画出函数的图象（先填表，再画图）；（2）若有2个根，求实数m的取值范围；（3）若在上的值域为，求的取值范围．答案：（1）答案见解析（2）或（3）解析：思路：（1）依次令取，可得的值，描点并用光滑曲线连接即可；（2）将有2个根，转化为的图象与直线有2个交点，由图象可得实数m的取值范围；（3）令，得或；令，得或；结合图象及函数的单调性，可得的最小值及最大值，从而得到的取值范围.（1）函数．按五个关键点列表：x0210－10130103描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图所示：（2）若有2个根，则的图象与直线有2个交点，由图可知，或．即实数m的取值范围或．（3）在，令，得或；令，得，即，解得：或；由图像可得：当时，函数单调递减；当时，函数单调递增.若在上的值域为，则（或）最小；当时，最大．所以u的取值范围为．18.已知函数，，函数图象的两条相邻对称轴间的距离为．（1）求函数的解析式；（2）若函数在区间上单调递增，求实数m的最大值；（3）若，求的取值范围．答案：（1）；（2）；（3）．解析：思路：(1)根据已知可求出的值，相邻两条对称轴之间的距离为，根据计算的值；(2)利用整体代换的思想，将看作整体，通过，得到整体的范围，根据正弦函数单调区间计算m的最大值；(3)通过x的取值范围计算的取值范围，利用换元法，根据二次函数图象性质求参数取值范围．（1）解：由，得