2025-2026学年江苏省南通市海安高级中学高二下册期中考试数学试题 含解析

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合，，则（）A. B. C. D.3.设在处可导，则（）A. B. C. D.4.已知甲、乙、丙、丁、戊五位司机中，甲、乙既能开大客车也能开小客车，丙、丁、戊只能开小客车．现从这五位司机中选两人，分别去开一辆大客车和一辆小客车，则不同的安排方案有（）A.20种 B.6种 C.8种 D.5种5.已知圆锥的母线长为13，侧面积为，则该圆锥的内切球的表面积为（）A. B. C. D.6.已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（）A. B. C. D.7.若甲盒中有3个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有个白球个红球，2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若事件“从甲盒中取出的球和从乙盒取出的球颜色相同”的概率不小于，则的最小值为（）A.5 B.6 C.7 D.88.《孙子算经》对同余除法有较深的研究，设，，为整数，若和被除得余数相同，则称和模同余，记为，如12和7被5除得余数都是2，则记为.若，且，则可以为（）A.2024 B.2025 C.2026 D.2027二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.关于空间向量，以下说法正确的有（）A.向量，，若，则B.若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面C.设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底D.若空间四个点，，，，满足，则，，三点共线10.下列选项正确的是（）A.若随机变量，则B.一组不全相等的数的平均数为，方差为，若再插入一个数，则这个数的方差为，则C.若随机变量，，则D.若，，，则11.棱长为1的正方体中，，，分别为棱，，的中点（如图1），则下列结论正确的是（）A.直线与底面所成角的正切值为B.异面直线与的距离为C.若点为平面上的动点，且直线与所成角为，则动点的轨迹长度为D.若，交于点，正方形的四个顶点在其所在平面内绕着点逆时针旋转，得到一个十面体（如图2），则该十面体的体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设，则.13.如图，已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱长为，且，若异面直线和所成角的大小，则______.14.三门问题（MontyHallproblom）也称蒙提霍尔问题，是比较著名的一种游戏，某个综艺节目利用这个规则进行了适当修改制定了一个抽奖游戏，有4扇编号为1，2，3，4的四个外观相同的门，只有一扇门后面有奖品，其余的门后面都没有奖品，主持人知道奖品在哪扇门后面，当抽奖人选择了某扇门后，在门打开之前，主持人先随机打开了另一扇没有奖品的门，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率.现在已知某嘉宾选择了2号门，用表示号门后有奖品，用表示主持人打开号门，则________；若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.如图，平行六面体的底面是菱形，且（1）求证：（2）当的值为多少时，平面？请给出证明.16.已知函数在处取得极值．（1）求的值；（2）讨论函数的单调性．17.若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为.（1）求展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值；（2）求展开式中所有的有理项；（3）求展开式中系数最大的项.18.如图，在正四棱台中，，且．（1）若．（i）求证：平面；（ii）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．（2）若正四棱台的8个顶点均在球M的表面上，求球M体积的最小值．19.第八届中国国际进口博览会于2025年11月5日至10日在国家会展中心（上海）举办某公司对参加本届进博会的服务人员开展专项培训，为庆祝服务人员培训合格，该公司设置了一个闯关小游戏，规则如下：在一个不透明的盒子里放入3个大小与质地均相同的小球，其中1个白球，2个黑球，每次有放回地从中任取1个小球，连续取两次，以上过程记为一轮闯关，如果两次取到的都是白球，则闯关成功，闯关者结束闯关，否则闯关失败，然后往盒子里再放入1个黑球，进行下一轮闯关，如此不断继续下去，直至闯关成功．（1）已知某人参加闯关游戏，且最多进行3轮闯关（即使第3轮闯关不成功，也停止闯关）．（ⅰ）记该人闯关的轮数为，求的分布列和数学期望；（ⅱ）在该人闯关成功的条件下，求该人第1轮闯关失败的概率．（2）记闯关者前轮闯关成功的概率之和为，证明：．

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：D解析：解答过程：复数在复平面内的点为，位于第四象限.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：已知，由，解得，则，又，故.3.设在处可导，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：变形，结合导数的定义，计算出结果.解答过程：因为在处可导,由导数的定义可得：，所以，.故选：A.4.已知甲、乙、丙、丁、戊五位司机中，甲、乙既能开大客车也能开小客车，丙、丁、戊只能开小客车．现从这五位司机中选两人，分别去开一辆大客车和一辆小客车，则不同的安排方案有（）A.20种 B.6种 C.8种 D.5种答案：C解析：解答过程：第一步，为大客车选司机．从甲、乙两位司机中选1人，有2种选法．第二步，为小客车选司机．从剩下的四位司机中选1人，有4种选法．由分步乘法计数原理，得不同的安排方案有种，5.已知圆锥的母线长为13，侧面积为，则该圆锥的内切球的表面积为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据圆锥的特征先计算其高与底面圆半径，再利用相似的性质计算内切球半径，计算其表面积即可.解答过程：设该圆锥底面圆半径为r，高为h，根据题意有，设其内切球半径，所以内切球的表面积，故选：C.6.已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：设向量在基底下坐标为，用该基底表示出向量，再由在基底下坐标为，表示出向量，建立等式求出即可.解答过程：设向量在基底下坐标为，则.已知在基底下坐标为，即.所以，即，则：，所以向量在基底下的坐标是，故选：B.7.若甲盒中有3个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有个白球个红球，2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若事件“从甲盒中取出的球和从乙盒取出的球颜色相同”的概率不小于，则的最小值为（）A.5 B.6 C.7 D.8答案：B解析：思路：根据题意，结合全概率公式得，再解不等式即可得答案.解答过程：设从甲盒中取出白球、红球、黑球的事件分别为，从甲盒中取出的球与乙盒中取出的球的颜色相同为事件，则，，，所以，根据全概率公式得：，所以，整理得：，解得，所以满足题意的的最小值为.8.《孙子算经》对同余除法有较深的研究，设，，为整数，若和被除得余数相同，则称和模同余，记为，如12和7被5除得余数都是2，则记为.若，且，则可以为（）A.2024 B.2025 C.2026 D.2027答案：D解析：思路：利用二项式定理算出除17余数，再根据题意求解即可.解答过程：

，，因为，则

除以的余数为，因此除以余数也应为.，余数为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.关于空间向量，以下说法正确的有（）A.向量，，若，则B.若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面C.设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底D.若空间四个点，，，，满足，则，，三点共线答案：BD解析：思路：选项A根据向量垂直的前提是两向量均为非零向量；选项B根据空间四点共面的充要条件，即向量表达式中系数和为1来判断；选项C根据共面向量定理结合基底的概念即可判断；选项D根据共线向量定理的推论，通过系数和为1判断三点共线，从而确定正确选项；解答过程：选项A：若，可能或，零向量与任意向量的点积为0，但零向量没有垂直的定义，因此不能推出，故A错误；选项B：空间四点共面的充要条件是：对空间任意一点，存在实数，使得，且，所以，因此四点共面，故B正确；选项C：因为，所以为共面向量，因此不能作为基底，故C错误；选项D：若，且，则根据共线向量定理的推论，三点共线，故D正确.10.下列选项正确的是（）A.若随机变量，则B.一组不全相等的数的平均数为，方差为，若再插入一个数，则这个数的方差为，则C.若随机变量，，则D.若，，，则答案：ABD解析：思路：对A，根据二项分布的方差公式求出，再根据方差的性质求出；对B，根据平均数和方差的计算公式分别求出，然后比较大小；对C，根据正态分布的性质分别计算和，再比较大小；对D，根据条件概率公式和全概率列出关于的方程，进而求解.解答过程：已知随机变量，根据二项分布的方差公式可得，所以，故A正确；一组不全相等的数的平均数为，所以方差，若再插入一个数，则这个数的方差，因为，所以，所以，故B正确；因为随机变量，则正态分布曲线关于对称，所以，所以，同理，随机变量，则正态分布曲线关于对称，所以，所以，由正态分布的性质可知，，所以，故C错误；由，，可得，，又，所以，又，所以，解得，故D正确.11.棱长为1的正方体中，，，分别为棱，，的中点（如图1），则下列结论正确的是（）A.直线与底面所成角的正切值为B.异面直线与的距离为C.若点为平面上的动点，且直线与所成角为，则动点的轨迹长度为D.若，交于点，正方形的四个顶点在其所在平面内绕着点逆时针旋转，得到一个十面体（如图2），则该十面体的体积为答案：ACD解析：思路：A建立空间直角坐标系计算线面角正弦，再应用同角三角函数关系即可求解判断；B应用空间向量计算异面直线间距离即可；C求证平面，即可确定轨迹为圆；D将图形分割为三棱锥进行求解.解答过程：对于A，如图建立空间直角坐标系.则，，又平面的一个法向量显然为，设与平面夹角为，则，所以，故A正确；B选项，因为，，设异面直线公垂向量，又因为，所以，令，则，设异面直线与的距离为，B选项错误；C选项，因为平面，平面，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以，因为，所以，同理可得，，因为平面，所以平面，设平面，因为平面，所以，因为直线与所成角为，所以，则动点Q的轨迹是半径为的圆，故其长度为，故C正确；D选项，连接，因为平面，所以三棱锥的高为，则，同理可得，，因为，且，所以，所以，，因为，所以，所以，因为，所以十面体的体积为，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设，则.答案：0解析：思路：就是展开式中的系数，利用通项公式求解即可.解答过程：展开式通项为，所以，故答案为0.方法提示：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.13.如图，已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱长为，且，若异面直线和所成角的大小，则______.答案.解析：思路：由图形结合向量夹角公式找到关系式，从而求解.解答过程：根据已知，，由于，，，则，则与所成角的大小，所以，得，则.故14.三门问题（MontyHallproblom）也称蒙提霍尔问题，是比较著名的一种游戏，某个综艺节目利用这个规则进行了适当修改制定了一个抽奖游戏，有4扇编号为1，2，3，4的四个外观相同的门，只有一扇门后面有奖品，其余的门后面都没有奖品，主持人知道奖品在哪扇门后面，当抽奖人选择了某扇门后，在门打开之前，主持人先随机打开了另一扇没有奖品的门，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率.现在已知某嘉宾选择了2号门，用表示号门后有奖品，用表示主持人打开号门，则________；若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为________.答案：①.②.##0.375解析：思路：根据条件概率即可求得第一空答案；结合全概率公式即可求得第二空答案.解答过程：奖品在2号门后，嘉宾选择了2号门，主持人可打开1，3，4号门，则；若奖品在2号门后，其概率为，嘉宾更改了选择，则其选中奖品的概率为0；若奖品不在2号门后，其概率为，主持人随机打开不含奖品的两扇门中的1个，若此时嘉宾更改选择，其选中奖品的概率为；∴若嘉宾更改选择，其中奖的概率为.故；四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.如图，平行六面体的底面是菱形，且（1）求证：（2）当的值为多少时，平面？请给出证明.答案：（1）证明见解析（2），证明见解析解析：思路：（1）利用空间向量数量积的运算律证明即可；（2）首先利用线面垂直的性质定理证明，若

平面

，只需满足

，然后利用空间向量数量积的运算律即可证明.（1）设，，，因为底面

是菱形，所以，且，

.由题知

，且

，因此

，即，故.（2）当时，

平面

，证明如下：设

，，则

，，

，

，因为底面是菱形，所以，又因为，平面，，所以平面，因为平面，所以.若

平面

，需满足

，

，，令

，即

，展开整理：

，代入

，得

：

，由于

，，因此

，即

.此时

且

，，平面，故

平面

.16.已知函数在处取得极值．（1）求的值；（2）讨论函数的单调性．答案：（1）（2）答案见解析解析：思路：（1）求出函数的导函数，依题意，解得即可；（2）由（1）可得，求出函数的导函数，再分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调区间.（1）因为，所以，依题意，解得，经检验符合题意.（2）由（1）得且定义域为，又，对任意都成立，令，解得，，①当即时，恒成立，则函数在上单调递减；②当即时，令，解得，则函数在上单调递增，令，解得或，则函数在和上单调递减；③当即时，令，解得，则函数在上单调递增，令，解得或，则函数在和上单调递减．综上可得：当时在上单调递减；当时在上单调递增，在和上单调递减；当时在上单调递增，在和上单调递减.17.若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为.（1）求展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值；（2）求展开式中所有的有理项；（3）求展开式中系数最大的项.答案：（1）（2）.（3）第4项和第5项解析：思路：（1）先根据题意求出的值，再求出展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和即可；（2）求出展开式的通项公式求解，令为整数即可；（3）设展开式中第项的系数最大，列出不等式求出结果.（1）由题，可得，即，即，又，所以，令，得，故系数和为，各项的二项式系数和为，故展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值为.（2）因展开式的通项公式为，，当时，为整数，即，，，所以展开式的有理项为.（3）因为展开式的通项公式为，，设展开式中第项的系数最大，则，即，解得或，故展开式的第4项和第5项的系数最大，又，，所以展开式系数最大的项为第4项和第5项.18.如图，在正四棱台中，，且．（1）若．（i）求证：平面；（ii）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．（2）若正四棱台的8个顶点均在球M的表面上，求球M体积的最小值．答案：（1）（i）证明见解析；（ii）；（2）.解析：思路：1）（i）建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证；（ii）求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量法及线面角的向量法求解.（2）由（1）中坐标系，设出球心坐标，利用空间两点间距离公式列式，借助基本不等式求出最小球半径即可.（1）（i）在正四棱台中，连接，过作平面，则直线必过正方形中心，设正四棱台的高为，则，，因此，即，而，则，又平面，平面，所以平面.（ii）由（i）得，设平面的法向量，则，取，得，而平面的法向量，由二面角为，得，解得，，又，设平面的法向量，则，取，得，所以直线与平面所成角的正弦值为.（2）由正四棱台的8个顶点均在球M的表面上，得球心在直线上，设，正方形的外