2025-2026学年河南汝州市第二高级中学等校高考考前自测数学试题 含解析

/数学本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知，（为虚数单位，），且，则的值为（）A. B. C.2 D.3.已知向量，满足，在上的投影向量为，则（）A. B. C. D.4.已知双曲线的渐近线方程为，则C的右焦点到C的两条渐近线距离之和为（）A.1 B.2 C.4 D.55.如图，正方体的棱长为2，E是的中点，F是侧面内的一个动点（含边界），且平面，则的最小值为（）.A. B. C. D.6.“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方部分对应的函数解析式可能为（）A. B.C. D.7.已知等比数列的前n项和为，且，，若对任意的恒成立，则的最小值为（）A. B. C. D.18.已知抛物线C：的焦点为F，过点作直线l；的垂线，垂足为B，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为（）A. B. C.14 D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知某AI软件公司为迎合市场需求开发了一款新型智能AI写作软件，现将该软件上市后的月份x以及每个月获得的利润（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据得到经验回归方程，则（）月份x12345利润y58101215A.B.可以估计每增加1个月份，月利润提高2.4万元C.可以估计10月份的利润为25万元D.5月份利润的残差为0.4万元10.已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.，B.在区间上单调递增C.将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象D.直线与的图象的所有交点的横坐标之和小于311.已知函数的定义域为，为的导函数，对任意，均有，且，则（）A. B.函数的图象关于点对称C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列的前n项和为，且满足，，则________．13.中国七大古都是指西安、洛阳、北京、南京、开封、杭州、安阳这七座古代都城.为弘扬民族文化，某校社团开展“中国七大古都”讲座活动，每座古都安排1次讲座，共安排7次.讲座次序要求“西安”“洛阳”讲座不相邻，“南京”和“杭州”讲座也不相邻，则“中国七大古都”讲座不同的次序共有________种.14.如图所示的半圆扇环是一个圆台的侧面展开图（B为扇形所在圆的圆心），且该圆台的母线长为4，若该圆台存在内切球O（球O和圆台底面、侧面均相切），则该圆台的表面积为________；球O的表面积为________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.为了解关注“苏超”赛事与性别是否有关系，某机构随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下列联表.

不关注赛事关注赛事合计男性25150175女性5075125合计75225300（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为关注“苏超”赛事与性别有关？（2）现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取6名市民参加“苏超”赛事知识问答，再从这6名市民中抽取2人参加抽奖活动，记这2人中男性人数为X，求X的分布列和数学期望.附：，0.010.0050.0016.6357.87910.82816.记的内角的对边分别为，已知．（1）求C；（2）若，为锐角三角形，求的取值范围．17.如图1，在边长为4的菱形中，，点分别是边的中点，与交于点与交于点.沿将翻折到的位置，连接，得到如图2所示的五棱锥.（1）证明：平面；（2）若平面平面，线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.18.已知函数，其中．（1）若为增函数，求m的取值范围；（2）若关于x的不等式在区间内有解，求m的取值范围；（3）证明：．参考数据：，．19.已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，E的短轴长为2．（1）求E的方程；（2）已知E上的动点P位于第一象限，延长，分别交于点A，B，M是线段AB的中点，O为坐标原点．（ⅰ）求证：直线AB和OM的斜率乘积为定值；（ⅱ）分别记直线OP，AB的斜率分别为，，当直线PA，PB的斜率都存在时，求的最小值．

数学本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程.，或，.2.已知，（为虚数单位，），且，则的值为（）A. B. C.2 D.答案：B解析：解答过程.，，.3.已知向量，满足，在上的投影向量为，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：，则，因在上的投影向量为，所以，所以，所以．4.已知双曲线的渐近线方程为，则C的右焦点到C的两条渐近线距离之和为（）A.1 B.2 C.4 D.5答案：B解析：思路：根据题意先求出双曲线方程，然后求出右焦点坐标，利用点到直线的距离公式分别计算右焦点到两条渐近线的距离，然后求和即可.解答过程：由题意，.双曲线的渐近线方程为，，，.，，双曲线的右焦点坐标为.右焦点到渐近线的距离.右焦点到渐近线的距离.右焦点到双曲线的两条渐近线距离之和为.5.如图，正方体的棱长为2，E是的中点，F是侧面内的一个动点（含边界），且平面，则的最小值为（）.A. B. C. D.答案：D解析：思路：先判断点的轨迹，然后根据最小距离的求法求得正确答案.解答过程：设分别是的中点，连接，根据正方体的性质可知，由于平面，平面，所以平面，同理可证得平面，由于平面，所以平面平面.由于平面，所以点的轨迹是线段，设是的中点，连接，由于都是等腰三角形，则，所以此时最小，，同理可得，所以的最小值为.故选：D6.“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方部分对应的函数解析式可能为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据图象的对称性，结合“心形”图形横坐标的取值范围、函数的最大值逐一判断即可.解答过程：因为由图象可知“心形”在轴上方部分是关于纵轴对称的，所以“心形”在轴上方部分对应的函数是偶函数,且定义域为，且值域为.A：由，所以本选项函数的定义域为，令，因为，所以该函数是偶函数，符合题意，，即，当且仅当时取等号，即当时取等号，所以，所以该函数的值域不符合题意，因此本选项函数解析式不符合题意；B：令，因为，所以该函数不是偶函数，不符合题意；C：由，所以本选项函数的定义域符合题意，令，因为，所以该函数是偶函数，符合题意，又，当时，即当时，该函数有最大值，因此该函数的值域为，因此本选项函数解析式符合题意；D：，不符合题意，故选：C7.已知等比数列的前n项和为，且，，若对任意的恒成立，则的最小值为（）A. B. C. D.1答案：B解析：思路：先根据题意求出等比数列的首项和公比，进而得到，再分析的取值范围，最后根据不等式恒成立求出的最小值.解答过程：设等比数列的公比为，由题意，解得..当为偶数时，，，此时随着的增大而增大，且，，此时.当为奇数时，，则，此时随着的增大而减小，且，，.综上，的取值范围是.对任意的恒成立，即恒成立.令，，，在和分别单调递增.，即.8.已知抛物线C：的焦点为F，过点作直线l；的垂线，垂足为B，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为（）A. B. C.14 D.答案：D解析：思路：由题意得点轨迹方程，再由抛物线的定义转化后数形结合求解可得答案.解答过程：由l：得，由，得，，所以直线，过定点．所以点的中点坐标为，连接AM，则，由题意知点B在以AM为直径的圆上，所以点B的轨迹方程为（不包含点），记圆的圆心为，过点P，N分别作准线的垂线，垂足分别为D，H，则，当且仅当P，D，N，H四点共线且点Q在P，N之间时等号同时成立，所以的最小值为．故选：D.方法提示：关键点点睛：解题的关键点是数形结合.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知某AI软件公司为迎合市场需求开发了一款新型智能AI写作软件，现将该软件上市后的月份x以及每个月获得的利润（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据得到经验回归方程，则（）月份x12345利润y58101215A.B.可以估计每增加1个月份，月利润提高2.4万元C.可以估计10月份的利润为25万元D.5月份利润的残差为0.4万元答案：AB解析：思路：先求出经验回归方程，再对每个选项逐一分析.解答过程.，A选项正确.，其斜率为，其含义为月份每增加1，月利润增加约万元，B选项正确.令，可以估计月份的利润万元，C选项错误.令，可以估计月份的利润，由表格可得月份的实际利润为万元，故月份利润的残差万元，D选项错误.10.已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.，B.在区间上单调递增C.将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象D.直线与的图象的所有交点的横坐标之和小于3答案：BCD解析：思路：A.由图像求出解析式，可知A错误；B．求出函数的单调递增区间，当时，恰好是该区间；C．利用诱导公式化简函数；D．求出所有交点的横坐标，再作和与3判断大小.解答过程：由图像最大值为，最小值为，且，得,由图像得，所以，因此,将点代入，得，解得，所以，选项A：，A错误；选项B：由,得,当时，递增区间为,B正确;选项C：将的图像向右平移个单位长度后得到的图像,C正确;选项D：解方程，即，得,解得,即或,因为，所以的解为，，所有交点横坐标之和为：，D正确.11.已知函数的定义域为，为的导函数，对任意，均有，且，则（）A. B.函数的图象关于点对称C. D.答案：BD解析：思路：通过对给定的抽象函数等式进行赋值，结合导数的运算法则和函数的性质来逐一分析选项.解答过程：令，可得，又，.令，可得，解得，A选项错误.令，得，，说明是奇函数，关于对称.而的图象是由的图象向右平移一个单位得到的，的图象关于点对称，B选项正确.令，则，的图象关于对称，故是周期函数，且周期.，D选项正确.取，，，，.，，，，C选项错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列的前n项和为，且满足，，则________．答案：4051解析：思路：由题意得数列是等差数列，由等差数列的前项和及性质求得后再求出，然后由通项公式计算．解答过程：因为，所以，所以是等差数列，且公差为，所以，，从而，所以．13.中国七大古都是指西安、洛阳、北京、南京、开封、杭州、安阳这七座古代都城.为弘扬民族文化，某校社团开展“中国七大古都”讲座活动，每座古都安排1次讲座，共安排7次.讲座次序要求“西安”“洛阳”讲座不相邻，“南京”和“杭州”讲座也不相邻，则“中国七大古都”讲座不同的次序共有________种.答案：2640解析：思路：先算7个不同古都的全排列数，再算至少有一对相邻的排列数，最后得到两对都不相邻的排列数.解答过程：7个不同古都的全排列:,西安与洛阳相邻的排列数:,同理，南京与杭州相邻的排列数也是1440,西安洛阳相邻且南京杭州相邻的排列数:,至少有一对相邻的排列数:两对都不相邻的排列数:.14.如图所示的半圆扇环是一个圆台的侧面展开图（B为扇形所在圆的圆心），且该圆台的母线长为4，若该圆台存在内切球O（球O和圆台底面、侧面均相切），则该圆台的表面积为________；球O的表面积为________．答案：①.②.解析：思路：利用圆台的侧面展开图确定圆台上下底面半径与母线长之间的数量关系，利用圆台内切球的性质建立方程求解.解答过程：设圆台的上底面半径为，下底面半径为.由题意，圆台的母线长.由于圆台的侧面展开图是半圆扇环，其圆心角.设大扇形的半径为，小扇形的半径为.可得圆台的下底面周长为，，同理.圆台的母线长等于大扇形半径与小扇形半径之差，即，①.设圆台的高为.当圆台存在内切球时，圆台的轴截面是一个等腰梯形且该梯形有一个内切圆.如图所示，，，②.联立①②解得.，内切球半径.圆台的表面积.球的表面积四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.为了解关注“苏超”赛事与性别是否有关系，某机构随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下列联表.

不关注赛事关注赛事合计男性25150175女性5075125合计75225300（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为关注“苏超”赛事与性别有关？（2）现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取6名市民参加“苏超”赛事知识问答，再从这6名市民中抽取2人参加抽奖活动，记这2人中男性人数为X，求X的分布列和数学期望.附：，0.010.0050.0016.6357.87910.828答案：（1）依据小概率值的独立性检验，能认为关注“苏超”赛事与性别有关（2）的分布列为012解析：思路：（1）计算卡方，即可与临界值比较求解，（2）根据超几何的概率公式求解概率，即可得分布列.（1）零假设：关注“苏超”赛事与性别无关，则，故依据小概率值的独立性检验，能认为关注“苏超”赛事与性别有关，（2）关注赛事的男女的比例为，故抽取的6个人中，男生抽取了4人，女生抽取了2人，故可取0,1,2，,故的分布列为01216.记的内角的对边分别为，已知．（1）求C；（2）若，为锐角三角形，求的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理将边角关系进行转化，结合余弦定理求出角.（2）利用正弦定理将边转化为角的三角函数，结合锐角三角形的条件确定的取值范围，进而利用换元法或三角函数性质求出代数式的取值范围.（1），.中，由余弦定理可得.又.（2）中，，.为锐角三角形，，得.中，由正弦定理得，令，将代入得.令且.，，，.17.如图1，在边长为4的菱形中，，点分别是边的中点，与交于点与交于点.沿将翻折到的位置，连接，得到如图2所示的五棱锥.（1）证明：平面；（2）若平面平面，线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.答案：（1）证明见解析（2）存在，为上靠近的三等分点解析：思路：（1）根据题设先得到，进而求证即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.（1）证明：折叠前，四边形是菱形，所以，..由于分别是边的中点，所以，故，.折叠过程中，平面.所以平面.（2）当平面平面时，由平面平面，平面，，所以平面，又平面，故，建立如下图空间直角坐标系，则.所以，设则.，，设平面的法向量为，则，取，则，而，设直线与平面的夹角为，则，解得，所以为上靠近的三等分点，满足题设要求.18.已知函数，其中．（1）若为增函数，求m的取值范围；（2）若关于x的不等式在区间内有解，求m的取值范围；（3）证明：．参考数据：，．答案：（1）（2）（3）证明：．由参考数据，可得，所以当时，,又因为，所以，原不等式得证.解析：思路：(1)利用分离参数法，问题转化为对恒成立，从而求出的取值范围；(2)令，不等式等价转化为,接着等价转化为存在，使得,再对进行分类讨论；(3)根据可得题设中的不等式.（1）函数的定义域为，因为为增函数，所以恒成立，即对恒成立，令，则，故，当时，，单调递增;当时，，单调递减,所以在处取得最大值为，所以，故的取值范围为