人教版八年级数学上册《13.3三角形的内角与外角》同步练习题（带答案）

第第页第2课时直角三角形的性质与判定【知识梳理】1.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角①.2.直角三角形的判定：有两个角②的三角形是直角三角形.【核心母题】核心母题1直角三角形的两个锐角互余【例1】(1)在△ABC中,∠C=90°,∠B=2∠A,则∠A=()A.30° B.45° C.60° D.75°(2)(教材P₁₄练习T₁变式)如图,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D.若∠A=35°,则∠BCD的度数是.【变式】(教材P₂₂T₆变式)如图,在△ABC中,∠C=∠ABC,∠A=36°,BD是边AC上的高,则∠DBC的度数是.核心母题2直角三角形与角平分线【例2】(教材P₁₄例3变式)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠CAB的平分线AD交BC于点E,BD⊥AB,∠ABC=40°.求∠D和∠CED的度数.【变式】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=2∠B,AD平分∠BAC交BC于点D,CE⊥AD于点E.(1)求∠B的度数;(2)求∠DCE的度数.核心母题3有两个角互余的三角形是直角三角形【例3】(教材P14练习T【变式1】如图,AD⊥BC于点D,BF是△ABC的角平分线,BF,AD交于点E.若∠1=∠2,求证：△ABC是直角三角形.【变式2】(教材P₂₁T₁变式)给出下列条件:①∠A:∠B:∠C=2:3:5;②∠A=∠C-∠B;③∠A=∠B=3∠C;④∠A=∠B=∠C.其中,能确定△ABC是直角三角形的条件有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个核心母题4角平分线结合高【例4】(教材P₂₂T₇变式)如图,在△ABC中,AD是高,AE,BF是角平分线,且AE,BF相交于点O,∠ABC=60°,∠C=70°.(1)求∠AOB的度数;(2)求∠DAE的度数;(3)探究:小明认为如果把条件“∠ABC=60°,∠C=70°”改为“∠C-∠ABC=10°”也能得到∠DAE的度数.你认为能吗?若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由.第3课时三角形的外角【知识梳理】1.三角形的外角的定义：三角形的一边与另一边的①组成的角，叫作三角形的外角.2.三角形的外角的性质：三角形的外角等于与它②的两个内角的③.拓展：三角形的外角大于和它不相邻的任何一个内角.【核心母题】核心母题1三角形外角的概念及三角形外角性质的证明【例1】如图,已知△ABC,∠ACD是△ABC的一个外角,求证:∠ACD=∠A+∠B.核心母题2三角形外角性质的运用①——直接计算【例2】(1)如图1,在△ABC中,D是BC的延长线上的一点,∠B=40°,∠ACD=120°,则∠A=°.(2)图2中∠α=°.【变式】(1)如图1,在△ABC中,D,E分别为AB,AC上的点,点F在BC的延长线上,DE∥BC,∠A=40°,∠1=60°,则∠2=°.(2)如图2,D为△ABC的边BC的延长线上一点,DF⊥AB于点F,交AC于点E,∠A=35°,∠D=42°,则∠ACD=°.核心母题3三角形外角性质的运用②方程思想【例3】如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,∠C=∠DAC,∠B=∠ADB,∠BAC=87°.求∠DAC的度数.【变式】如图,在△ABC中,D是边BC上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°,则∠DAC=°.核心母题4三角形外角性质的运用③——导角思想【例4】(教材P₁₇T₁₁改编)如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,且CE交BA的延长线于点E.若∠B=36°,∠E=24°,求∠BAC的度数.【变式】如图,DE分别交△ABC的边AB,AC于点D,E,交BC的延长线于点F,若∠A=40°,∠B=70°,∠F=30°,求∠AEF的度数.核心母题5三角形外角性质的运用④——添加辅助线【例5】(一题多解)如图,∠A=51°,∠B=20°,∠C=30°,求∠BDC的度数.【变式1】某零件的形状如图所示,按照要求∠B=20°,∠BCD=110°,∠D=30°,则∠A=°.【变式2】在三角形纸片中，点D，E分别在边AC，BC上，将∠C沿DE折叠，点C落在点C'的位置.(1)如图1,当点C'在边BC上时,若∠ADC'=58°,则∠C=°;(2)如图2,当点C'在△ABC内部时,若∠BEC'=42°,∠ADC'=20°,求∠C的度数;(3)如图3,当点C'在△ABC外部时,若∠BEC'的度数为x,∠ADC'的度数为y,请用含x,y的代数式表示∠C的度数.参考答案第1课时三角形的内角【知识梳理】1.三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°.2.证明的概念：证明是由题设(已知)出发，经过一步步的推理，最后推出结论(求证)的正确过程.【核心母题】核心母题1三角形的内角和定理①——直接计算【例1】如图,已知△ABC.求证:∠A+∠B+∠C=180°.证明:过点A作直线l∥BC∴∠B=∠1(两直线平行,内错角相等)∠C=∠2(两直线平行，内错角相等).∵∠1+∠BAC+∠2=180°(平角的定义)∴∠B+∠BAC+∠C=180°(等量代换).【变式】如图,则x=60.核心母题2三角形的内角和定理②——方程思想【例2】(1)在△ABC中,∠B=2∠A,∠C-∠A=20°.求∠A的度数.解:40°.(2)(教材P₁₂例1变式)如图,在△ABC中,∠ABC=∠C=2∠A,BD是∠ABC的平分线,求∠A和∠ADB的度数.解:设∠A=x°,则∠ABC=∠C=2x°.∵∠A+∠ABC+∠C=180°,∴x+2x+2x=180,解得x=36,∴∠A=36°.又∵BD是∠ABC的平分线∴∠∴∠ADB=180°-∠A-∠ABD=180°-36°-36°=108°.【变式】在△ABC中,∠B是∠A的2倍,∠C比∠B大30°,求∠A的度数.解:设∠A=x,则∠B=2x,∠C=2x+30°.∵∠A+∠B+∠C=180°∴x+2x+2x+30°=180°,解得x=30°,∴∠A=30°.【方法总结】运用方程思想解答有关角的度数问题，重点是找到等量关系.核心母题3三角形的内角和定理③——整体思想【例3】如图,点D,E分别在AB,AC上,若∠B=55°,∠C=25°,则∠1+∠2=80°.【变式】如图,若∠1+∠2+∠3+∠4=240°,则∠A=60°.核心母题4三角形的内角和定理④——方位角【例4】(教材P₁₂例2变式)如图，轮船从B处以50nmile/h的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，求∠A的度数.解:根据题意,得∠1=∠2=30°.又∵∠ACD=60°,∴∠ACB=∠1+∠ACD=30°+60°=90°.∵∠CBA=75°-30°=45°∴∠A=180°-∠ACB-∠CBA=180°-90°-45°=45°.【变式】如图，A点在B点的北偏东40°方向，A点在C点的北偏西50°方向，则∠BAC的度数是(C)A.85° B.80°C.90° D.95°核心母题5三角形的内角和定理⑤——设参导角思想【例5】如图,AO,BO分别平分∠CAB,∠CBA,OD⊥AO交AB于点D,探究∠C与∠BOD的数量关系.(1)【特例探究】若∠CAB=48°,∠CBA=70°,则∠C与∠BOD的数量关系为∠C=2∠BOD;(2)【一般情形】对于一般情形，(1)中结论还成立吗?请说明理由.解:(2)成立,理由如下:设∠OAB=x,∠OBA=y∵AO,BO分别平分∠CAB,∠CBA,∴∠CAB=2x,∠CBA=2y∴∠AOB=180°-x-y,∠C=180°-2x-2y=2(90°-x-y).∵OD⊥OA,∴∠AOD=90°,∴∠BOD=∠AOB-90°=90°-x-y∴∠C=2∠BOD.第2课时直角三角形的性质与判定【知识梳理】1.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角①互余.2.直角三角形的判定：有两个角②互余的三角形是直角三角形.【核心母题】核心母题1直角三角形的两个锐角互余【例1】(1)在△ABC中,∠C=90°,∠B=2∠A,则∠A=30°.(2)(教材P₁₄练习T₁变式)如图,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D.若∠A=35°,则∠BCD的度数是35°.【变式】(教材P₂₂T₆变式)如图,在△ABC中,∠C=∠ABC,∠A=36°,BD是边AC上的高,则∠DBC的度数是18°.核心母题2直角三角形与角平分线【例2】(教材P₁₄例3变式)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠CAB的平分线AD交BC于点E,BD⊥AB,∠ABC=40°.求∠D和∠CED的度数.解:∠D=65°,∠CED=115°.【变式】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=2∠B,AD平分∠BAC交BC于点D,CE⊥AD于点E.(1)求∠B的度数;(2)求∠DCE的度数.解:(1)∵∠ACB=90°,∴∠CAB+∠B=90°.∵∠CAB=2∠B,∴3∠B=90°,∴∠B=30°.(2)∵AD平分∠BAC, ∴∠CAB=30°,∴∠ADC=90°-∠CAD=60°.∵CE⊥AD,∴∠DCE=90°-∠ADC=30°.核心母题3有两个角互余的三角形是直角三角形【例3】(教材P₁₄练习T₂变式)如图,CE⊥AD,垂足为E,∠A=∠C,△ABD是直角三角形吗?为什么?解：△ABD是直角三角形.理由如下：∵CE⊥AD,∴∠CED=90°,∴∠C+∠D=90°.∵∠A=∠C,∴∠A+∠D=90°,∴△ABD是直角三角形.【变式1】如图,AD⊥BC于点D,BF是△ABC的角平分线,BF,AD交于点E.若∠1=∠2,求证：△ABC是直角三角形.证明:∵BF是△ABC的角平分线,∴∠ABF=∠CBF.∵AD⊥BC,∴∠CBF+∠BED=90°.又∵∠BED=∠1,∴∠CBF+∠1=90°.∵∠1=∠2,∴∠ABF+∠2=90°,∴∠BAC=90°即△ABC是直角三角形.【变式2】(教材P₂₁T₁变式)给出下列条件:①∠A:∠B:∠C=2:3:5;②∠A=∠C-∠B;③∠A=∠B=3∠C;④∠A=∠B=∠C.其中,能确定△ABC是直角三角形的条件有(B)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个核心母题4角平分线结合高【例4】(教材P₂₂T₇变式)如图,在△ABC中,AD是高,AE,BF是角平分线,且AE,BF相交于点O,∠ABC=60°,∠C=70°.(1)求∠AOB的度数;(2)求∠DAE的度数;(3)探究:小明认为如果把条件“∠ABC=60°,∠C=70°”改为“∠C-∠ABC=10°”也能得到∠DAE的度数.你认为能吗?若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由.解:(1)∵∠ABC=60°,∠C=70°∴∠BAC=50°.∵AE,BF是∧ABC的角平分线∴∠01∵∠AOB=180∘−12∠ABC第3课时三角形的外角【知识梳理】1.三角形的外角的定义：三角形的一边与另一边的①延长线组成的角，叫作三角形的外角.2.三角形的外角的性质：三角形的外角等于与它②不相邻的两个内角的③和.拓展：三角形的外角大于和它不相邻的任何一个内角.【核心母题】核心母题1三角形外角的概念及三角形外角性质的证明【例1】如图,已知△ABC,∠ACD是△ABC的一个外角,求证:∠ACD=∠A+∠B.证明：(证法不唯一)如图，过点C作CM∥BA.∵CM∥BA,∴∠1=∠A(两直线平行,内错角相等)∠2=∠B(两直线平行，同位角相等)∴∠1+∠2=∠A+∠B,即∠ACD=∠A+∠B.核心母题2三角形外角性质的运用①——直接计算【例2】(1)如图1,在△ABC中,D是BC的延长线上的一点,∠B=40°,∠ACD=120°,则∠A=80°.(2)图2中∠α=105°.【变式】(1)如图1,在△ABC中,D,E分别为AB,AC上的点,点F在BC的延长线上,DE∥BC,∠A=40°,∠1=60°,则∠2=100°.(2)如图2,D为△ABC的边BC的延长线上一点,DF⊥AB于点F,交AC于点E,∠A=35°,∠D=42°,则∠ACD=83°.核心母题3三角形外角性质的运用②——方程思想【例3】如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,∠C=∠DAC,∠B=∠ADB,∠BAC=87°.求∠DAC的度数.解:∵∠C=∠DAC,∴设∠C=∠DAC=x,则∠B=∠ADB=∠DAC+∠C=2x.∵∠BAC=87°,∴∠B+∠C=93°,∴x+2x=93°,∴x=31°,∴∠DAC=31°.【变式】如图,在△ABC中,D是边BC上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°,则∠DAC=24°.核心母题4三角形外角性质的运用③——导角思想【例4】(教材P₁₇T₁₁改编)如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,且CE交BA的延长线于点E