湖北省孝感市楚天教科研协作体2025-2026学年高一下学期6月期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页湖北省孝感市楚天教科研协作体2025-2026学年高一下学期6月期末数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若z1+i=i2(i为虚数单位)，则复数A.−1+i2 B.−12 C.12.已知角α的终边过点P−3,4，则sin2α=(

)A.725 B.−725 C.243.已知平面α，β和直线m,n，下列结论正确的是(

)A.α⊥β,m⊂α，则m⊥β

B.BC⊥平面SAB，则m//α

C.m//n,m//α,n//β，则α//β

D.若n与m是异面直线，n⊂α，m⊂β，则α//β4.孝感红茶是国家地理标志产品，是全发酵工夫红茶.泡茶时讲究高冲低斟、均分茶汤.茶壶聚香锁味，小杯小口品茶，一壶分多杯是工夫茶“分茶奉客、礼敬宾朋”的习俗.如图，一把圆台形茶壶，上口半径4cm，下口半径6cm，高12cm；配套圆柱形品茗杯，底面半径2cm，高5cm.装满一壶茶水，最多能倒满(    )杯．A.13 B.14 C.15 D.165.已知平行四边形ABCD的三个顶点B､C､D的坐标分别是−1,3､3,4､2,2，那么AC在ABA.5534,3334 B.1156.已知ω>0，在函数y=sinωx与y=cosωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为3，则A.π B.π2 C.2 D.7.享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度OP，他选取了与该楼底部O在同一水平面内三个共线的测量基点A,B,C，分别测得塔顶P点的仰角为45∘,60∘,45∘，且A.302m B.60m C.30m8.已知AB⊥AC,AB=t,AC=1t，若点P是A.13 B.5−22 C.5−2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.有A,B,C三种个体按3:1:2的比例分层随机抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30

B.数据0,1,2,2,3,4的极差与众数之和为6

C.一组数据5,6,4,2,8，在这组数据中插入一个数5，方差变大

D.数据1,3,5,6,8,9,11,16的上四分位数是1010.在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，则下列结论正确的是(

)A.若A>B，则sinA>sinB

B.若A=30∘，b=5,a=2，则▵ABC有两解

C.若a3=b3+11.已知正三棱柱ABC−A1B1C1的高为4，且有内切球O(球O位于三棱柱的内部且与各个面有且只有一个公共点)，若过O，A，B三点的平面截该三棱柱所得截面为α，则(

)A.AB=6

B.平面OAB⊥平面OA1B1

C.截面α是等腰梯形

D.该三棱柱被截面α三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图，水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图为直角梯形O′A′B′C′，已知OA′=2B′C′=6，O′C′=3，则原四边形OABC的面积为

．13.已知函数fx=sinωx+φω∈N,0≤φ<2π，fx是奇函数且在0,π14.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当▵ABC的三个内角均小于120∘时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120∘的点O即为费马点；当▵ABC有一个内角大于或等于120∘时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且cos2B+cos2C−cos2A=1，则A=

.若点P四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)某校AI社团组织全校学生参加AI伦理与法治素养主题知识竞赛，旨在引导同学们深入学习人工智能伦理规范与相关法律知识，争做负责任的AI技术传播者.竞赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩(满分100分，最低分50分)中，随机调查了部分同学的测试成绩，按50,60,60,70，70,80,(1)求图中的x值，并估计考核得分的第70百分位数；(2)已知落在80,90内的平均成绩是85分，方差是6，90,100内的平均成绩是97分，方差是4，求两组成绩合并后的平均数w和方差s2附：设两组数据的样本量､样本平均数和样本方差分别为m､x1､s12；n､16.(本小题15分)在复平面内，O是坐标原点，向量OZ1、OZ2对应的复数分别为

(1)z1z(2)当OZ1⊥OZ2时，以OZ1、OZ2分别为正四棱柱ABCD−A1B117.(本小题15分)行列式是线性代数的一个重要研究对象，本质上，行列式描述的是n维空间中，一个线性变换所形成的平行多面体的体积，它被广泛应用于解线性方程组，矩阵运算，计算微积分等.把符号abcd称为二阶行列式，规定它的运算法则为a(1)当x∈0,π时，求f(2)若对任意的x∈0,π2，fx18.(本小题17分)在△ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c，且满足cosA(1)求角A的大小；(2)若D是线段BC的中点，且a=2,AD=2，求(3)若△ABC为锐角三角形，a=2，求b2−19.(本小题17分)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，其中AB=4，PC=2，AC=2(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)求二面角B−PA−C的余弦值；(3)M为PC上的动点，以AM为直径作球O1，设CM=x0≤x≤2，若球O1被平面PAB截得的截面圆的面积为S，求S1.【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】BD

10.【答案】ACD

11.【答案】BCD

12.【答案】2713.【答案】1

14.【答案】π2

；

；

；

；

；；−415.【答案】解：(1)由频率分布直方图，得(0.005+x+0.035+0.03+0.01)×10=1，因此x=0.020；成绩在[50,80)的频率为(0.005+0.02+0.035)×10=0.6，成绩在[50,90)的频率为0.6+0.03×10=0.9，因此考核得分的第70百分位数m∈(80,90)，由0.6+(m−80)×0.03=0.7，解得m=250所以考核得分的第70百分位数为2503(2)依题意，成绩落在80,90的频率为0.03×10=0.3，成绩落在90,100的频率为0.01×10=0.1，所以w=0.30.3+0.1

16.【答案】解：(1)由题意可得z1因为z1z2的对应点在第四象限，则3−故实数a的取值范围是−3(2)由复数的几何意义可得OZ1=因为OZ1⊥OZ2，则所以OZ1=故正四棱柱ABCD−A1B1C连接BD、B1D1

因为E、F分别为BC、DC的中点，所以EF//BD，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D所以B1D1所以异面直线EF与AD1所成角为因为BB1⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD则AB同理可得AD1=由余弦定理可得cos∠A因此异面直线AD1与EF所成角的余弦值为

17.【答案】解：(1)f=2

正弦函数y=sinu的单调递增区间满足令u=2x+π6，则：解得kπ−π3≤x≤kπ+当k=0时，得区间0,π6；当k=1时，得区间2π3,π，故f(x)

(2)方程[f(x)]2−2f(x)−a=0有解等价于a=[f(x)]2−2f(x)，即a的取值范围为函数g(t)=t2−2t因此fx=2sin2x+π该二次函数开口向上，对称轴为t=1：当t=1时，g(t)取最小值−1；当t=−1时，g(t)取最大值3，即g(t)∈[−1,3]，故a的取值范围为[−1,3]。

18.【答案】解：(1)由正弦定理cosAsinB=a3b=sinA3sinB，

∴tanA=3，

又0<A<π，∴A=π3;

(2)依题意AD=AB+AC2，

∴|AD|2=14(|AB|2+2AB⋅AC+|AC|2)

即14(c2+bc+19.【答案】解：(1)证明：因AB是圆O的直径，则BC⊥AC，因PC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，则PC⊥BC，又PC∩AC=C,PC,AC⊂平面PAC，故BC⊥平面PAC．(2)过点C作CH⊥PA于点H，连接BH，由(1)BC⊥平面PAC，PA⊂平面PAC，则BC⊥PA，因BC∩CH=C,BC,CH⊂平面BCH，故PA⊥平面BCH，又BH⊂平面BCH，则PA⊥BH，∠BHC即二面角B−PA−C的平面角，因BC=42−(23)在R