数学模型第章第五

3.1存贮模型3.2

森林救火3.3

倾倒的啤酒杯3.4

铅球掷远3.5不买贵的只买对的3.6血管分支3.7冰山运输3.8影院里的视角和仰角3.9

易拉罐形状和尺寸的最优设计第三章简单优化模型第一页，共120页。3.1存贮模型问题配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费.该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出.已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元.试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小.要求不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系.第二页，共120页。问题分析与思考

每天生产一次,每次100件,无贮存费,准备费5000元.日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元.

10天生产一次,每次1000件，贮存费900+800+…+100=4500元，准备费5000元，总计9500元.

50天生产一次,每次5000件,贮存费4900+4800+…+100=122500元，准备费5000元，总计127500元.平均每天费用950元平均每天费用2550元10天生产一次,平均每天费用最小吗?每天费用5000元第三页，共120页。

是一个优化问题，关键在建立目标函数.显然不能用一个周期的总费用作为目标函数.目标函数——每天总费用的平均值.

周期短，产量小

周期长，产量大问题分析与思考贮存费少，准备费多准备费少，贮存费多存在最佳的周期和产量，使总费用(二者之和)最小.第四页，共120页。模型假设1.产品每天的需求量为常数r；2.每次生产准备费为c1,每天每件产品贮存费为c2；3.T天(一周期)生产一次,每次生产Q件，当贮存量降为零时，Q件产品立即生产出来(生产时间不计)；建模目的r,c1,c2已知，求T,Q

使每天总费用的平均值最小.4.为方便起见，时间和产量都作为连续量处理.第五页，共120页。模型建立0tq贮存量表示为时间的函数q(t)TQrt=0生产Q件，q(0)=Q,q(t)以需求速率r递减，q(T)=0.一周期总费用每天总费用平均值（目标函数）离散问题连续化一周期贮存费为A=QT/2第六页，共120页。模型求解求T使模型解释定性分析敏感性分析参数c1,c2,r的微小变化对T,Q的影响T对c1的(相对)敏感度c1增加1%,T增加0.5%S(T,c2)=–1/2,S(T,r)=–1/2c2或r增加1%,T减少0.5%第七页，共120页。经济批量订货公式(EOQ公式)

用于订货供应情况:不允许缺货的存贮模型模型应用T=10(天),Q=1000(件),C=1000(元)

回答原问题c1=5000,

c2=1，r=100

每天需求量r，每次订货费c1,每天每件贮存费c2,T天(周期)订货一次,每次订货Q件，当贮存量降到零时，Q件立即到货.思考:为什么与前面计算的C=950元有差别?第八页，共120页。允许缺货的存贮模型ABOqQrT1t当贮存量降到零时仍有需求r,出现缺货，造成损失.原模型假设：贮存量降到零时Q件立即生产出来(或立即到货).现假设：允许缺货,每天每件缺货损失费c3,

缺货需补足.T周期T,t=T1贮存量降到零一周期总费用一周期贮存费一周期缺货费第九页，共120页。每天总费用平均值（目标函数）一周期总费用求T,Q为与不允许缺货的存贮模型相比，T记作T´,Q记作Q´.允许缺货的存贮模型第十页，共120页。不允许缺货模型记允许缺货模型不允许缺货第十一页，共120页。允许缺货模型OqQ

rT1tT注意：缺货需补足Q

~每周期初的存贮量R每周期的生产量R

（或订货量）Q~不允许缺货时的产量(或订货量)第十二页，共120页。存贮模型

存贮模型(EOQ公式)是研究批量生产计划的重要理论基础,也有实际应用.

建模中未考虑生产费用,为什么?在什么条件下可以不考虑?

建模中假设生产能力为无限大(生产时间不计),如果生产能力有限(是大于需求量的常数),应作怎样的改动?第十三页，共120页。3.2森林救火森林失火后，要确定派出消防队员的数量.队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小.综合考虑损失费和救援费，确定队员数量.分析问题记队员人数x,失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,时刻t森林烧毁面积B(t).

损失费f1(x)是x的减函数,由烧毁面积B(t2)决定.

救援费f2(x)是x的增函数,由队员人数和救火时间决定.存在恰当的x，使f1(x),f2(x)之和最小.第十四页，共120页。

关键是对B(t)作出合理的简化假设.分析失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,画出时刻t森林烧毁面积B(t)的大致图形.t1t2OtBB(t2)分析B(t)比较困难,转而讨论单位时间烧毁面积dB/dt(森林烧毁的速度).第十五页，共120页。模型假设3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1(烧毁单位面积损失费）1）0

t

t1,dB/dt

与t成正比，系数

(火势蔓延速度).2）t1

t

t2,

降为

–x

(

为队员的平均灭火速度).4）每个队员的单位时间灭火费用c2,一次性费用c3.假设1）的解释

rB火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径r与t成正比.面积B与t2成正比dB/dt与t成正比第十六页，共120页。模型建立bOt1tt2假设1）目标函数——总费用假设3）4）假设2）第十七页，共120页。模型建立目标函数——总费用模型求解求x使C(x)最小其中c1,c2,c3,t1,

,

为已知参数第十八页，共120页。

c2

x

c1,t1,

x

c3,

x

c1~烧毁单位面积损失费,c2~每个队员单位时间灭火费,c3~每个队员一次性费用,t1~开始救火时刻,~火势蔓延速度,~每个队员平均灭火速度.为什么?结果解释

/

是火势不继续蔓延的最少队员数bOt1t2t第十九页，共120页。模型应用费用参数c1,c2,c3已知

,由森林类型、队员能力等因素决定，可设置一系列数值备查.模型可决定队员数量x开始救火时刻t1可估计

评注在风力的影响较大时“森林烧毁速度dB/dt

与t成正比”的假设需要重新考虑.队员灭火速度

应该与开始救火时的火势有关.第二十页，共120页。不平坦处满杯啤酒容易倾倒.杯子中央稍下一点的位置.重心有一个最低点~啤酒杯容易放稳的位置.饮酒时重心先降低，再升高，回到中央.建立数学模型——描述啤酒杯的重心变化的规律，找出重心最低点的位置，讨论决定最低点的因素.重心太高！满杯时重心在哪里？空杯时重心在哪里？与满杯时重心相同.倒酒时重心先升高，再降低，回到中央.3.3倾倒的啤酒杯第二十一页，共120页。问题分析与模型假设

s(x)1液面x0x最简单的啤酒杯~高度为1的圆柱体.沿中轴线建立坐标轴x，倒酒时液面高度从x=0到x=1.假设：啤酒和杯子材料均匀.w2~空杯侧壁质量w3~空杯底面质量空杯重心由w2和w3决定,与x无关.重心位置沿x轴变化，记作s(x).w1~啤酒(满杯)质量第二十二页，共120页。

s1=x/2

s2=1/2液面高度x时啤酒质量w1x,啤酒重心位置s1=x/2问题分析与模型假设

s(x)1液面x0xw1~啤酒(满杯)质量w2~空杯侧壁质量,w3~空杯底面质量空杯重心位置

s2=1/2忽略空杯底面质量w3建立啤酒杯重心模型一啤酒杯重心s(x)由啤酒重心和空杯重心合成.第二十三页，共120页。啤酒杯重心模型一

s1=x/2

s2=1/2

s(x)1液面x0xs=s(x)~液面高度x的啤酒杯重心啤酒质量w1x空杯质量w2啤酒重心s1空杯重心s2力矩平衡s1=x/2s2=1/2a=w2/w1第二十四页，共120页。啤酒杯重心模型一啤酒杯重心s(x)只与质量比a有关a=w2/w1w1~啤酒质量w2~空杯质量xsa=0.3,x=0.35左右s最小,即重心最低.对于每个a,s(x)有一最小点.x=0.35第二十五页，共120页。啤酒杯重心模型一a=w2/w1微分法求解s极值问题xa液面高度为x时啤酒杯重心处于最低位置.x

由质量比a决定第二十六页，共120页。结果分析半升啤酒杯w1=500g空杯质量w2取决于材料(纸杯、塑料杯、玻璃杯).一杯啤酒约剩1/3时重心最低，最不容易倾倒！设w2=150g(a=w2/w1)xaa=0.3x=0.3245w2↑→a↑→x↑空杯越重,重心最低时的液面越高.重心最低位置x由比值a决定第二十七页，共120页。结果分析(a=w2/w1)=xs(x)x啤酒杯重心与液面高度重合时重心最低.意料之外?情理之中!直观解释x=0时s=s2=1/2x↑→s1=x/2向下作用→s↓x=sx↑→s1=x/2向上作用→s↑x=1时s=1/2第二十八页，共120页。结果分析啤酒杯重心与液面高度重合时重心最低.数学分析ds/dx与(x-s)同号.x<s时ds/dx<0→s↓x>s时ds/dx>0→s↑x=s时ds/dx=0,s达到最小值.x↑

第二十九页，共120页。啤酒杯重心模型二

s1=x/2

s2=1/2

s(x)1液面x0xs3=0

考虑空杯底面质量w3底面厚度<<杯子高度力矩平衡底面重心

s3=0s1=x/2s2=1/2a=w2/w1b=w3/w1b=0时与模型一相同.第三十页，共120页。啤酒杯重心模型二a=w2/w1

b=w3/w1=s(x)啤酒杯重心与液面高度重合时重心最低.与模型一a=0.3时x=0.3245比较设侧壁和底面的厚度和材质相同,侧壁高度h,底面直径d,h=2dw3/w2=d/4h=1/8x=0.3059b=w3/w1=(1/8)

0.3=0.0375第三十一页，共120页。小结与评注对于一个饶有生活情趣的现象建立数学模型：对杯子作适当的简化假设.用基本物理知识构造优化模型.用导数、极限、作图等方法给出求解结果.对结果作数学分析并给予实际解释.第三十二页，共120页。啤酒杯重心模型二啤酒杯重心与液面高度重合时重心最低.啤酒杯重心模型一既在意料之外又在情理之中的结果.函数s=s(x)的最小点x*是不动点，即x*=s(x*)有趣的现象:只要啤酒杯是旋转体(如圆台或球台),上述结果就成立！旋转体~侧壁由任意曲线绕中轴线旋转而成.小结与评注第三十三页，共120页。

3.4铅球掷远铅球掷远起源于14世纪欧洲炮兵推掷炮弹的游戏和比赛.男子铅球早在1896年第1届奥运会上就被列为比赛项目.影响投掷距离的因素：找出最佳出手角度.定量分析投掷距离与这些因素的关系.研究这些因素的微小改变对投掷距离的影响.常识判断初始速度出手角度出手高度第三十四页，共120页。问题分析x男子铅球直径11至13cm,重量为16磅(合7.26kg).在短暂的飞行中所受的阻力可以忽略.将铅球视为一个质点，以一定的初始速度和出手角度投出后，在重力作用下作斜抛运动.影响投掷距离的因素：初始速度v出手角度θ出手高度h第三十五页，共120页。重力vsyxOθ模型一不考虑铅球出手高度θ~初始速度v与x轴的夹角g~重力加速度t=0时铅球从坐标原点O投出.s~投掷距离斜抛运动的基本定律落地第三十六页，共120页。模型一出手角度θ=π/4时最佳出手角度π/4与初始速度v无关.“物体以45度角抛出的距离最远”对任何出手角度θ，投掷距离s与v2成正比.初始速度的提高能使投掷距离大幅度地增加.结果分析投掷距离

最大.第三十七页，共120页。hO

重力vsyxθ模型二铅球出手高度为ht=0时铅球从(0,h)投出h=0时与模型一

相同.第三十八页，共120页。模型二直接用求最佳出手角度计算太繁.最佳出手角度最远投掷距离第三十九页，共120页。模型二最佳出手角度最远投掷距离最佳出手角度θ<π/4θ↑,s↑大致上

s

∝v2s∝h1/2提高v对s的增加远比提高h有效.v↑h↑θ↓,s↑第四十页，共120页。v(m/s)89101112131415最佳角度(度)h=1.8m38.7639.8540.6941.3541.8742.2942.6342.92h=2.0m38.2239.3840.2840.9941.5642.0242.3942.70h=2.2m37.7038.9339.8940.6541.2641.7542.1642.49最远距离(m)h=1.8m8.139.9011.814.0316.4018.9621.7324.69h=2.0m8.2910.0712.0414.2116.5719.1421.9124.88h=2.2m8.4510.2312.2114.3816.7519.3222.0925.06模型二的最佳出手角度及最远投掷距离h≈身高+20cmv≈8~10m/s(普通人)v≈10~13m/s(运动员)最佳出手角度约400h=2.0mv=10m/s

v=12m/s模型二s=12.04ms=16.57m模型一s=10.20ms=14.69m模型二s比模型一约增2m.正是一个出手高度h.第四十一页，共120页。敏感性分析v,θ,h的微小改变对s的影响模型一数值计算v提高5%=1.1025ss增加约10%θ变化5%450→42.750(47.250)s仅减少约0.3%第四十二页，共120页。模型一理论分析∆v/v~v的相对微小改变∆s/s~s的相对微小改变∆v≈dv∆s≈dsθ=42.750敏感性分析v,θ,h的微小改变对s的影响∆θ/θ~θ的相对微小改变∆θ≈dθv的微小改变对s的影响比θ大得多.

微分法第四十三页，共120页。s增加0.2m(1.5%)s提高2m以上(15%)

模型二数值计算v(m/s)89101112131415最佳角度(度)h=1.8m38.7639.8540.6941.3541.8742.2942.6342.92h=2.0m38.2239.3840.2840.9941.5642.0242.3942.70h=2.2m37.7038.9339.8940.6541.2641.7542.1642.49最远距离(m)h=1.8m8.139.9011.814.0316.4018.9621.7324.69h=2.0m8.2910.0712.0414.2116.5719.1421.9124.88h=2.2m8.4510.2312.2114.3816.7519.3222.0925.06h增加0.2m(10%)

v提高1m/s(10%)θ减小0.50

θ增加0.50第四十四页，共120页。模型二理论分析v=12m/s，h=2.0mv的微小改变对s的影响比h大得多.

第四十五页，共120页。敏感性分析是数学建模的重要环节.对于模型y=f(x),x通常难以控制到设定的数值x0.微分法g(x0)越大,x改变dx/x引起y改变dy/y越大(x=x0附近).

研究x的微小改变对y的影响(x=x0附近).用物理定律建模,对影响投掷距离的主要因素(初始速度、出手角度和出手高度)作定性和定量研究.小结与评注第四十六页，共120页。3.5不买贵的只买对的“不买贵的，只买对的”！在琳琅满目的市场里选购商品.哪些商品、买多少才是“对的”？“消费者追求最大效用”——经济学的最优化原理.用数学建模方法帮助决定商品的选择——效用函数.第四十七页，共120页。效用函数U(x)~吃x片面包获得的满足程度(面包产生的效用).△U(x)=U(x)-U(x-1)~吃1片面包所产生效用的增量.x012345678910U(x)010202835404345464644△U(x)

10108753210

U(x)递增,增长渐慢,曲线上凸.△U(x)≥0,递减,曲线下降.定量描述吃下面包、缓解饥饿、满足生理和心理需求程度的变化.012345678901020304050UxU(x)0123456789051015xDU△U(x)第四十八页，共120页。

效用函数(utilityfunction)效用~人们在商品或服务消费中获得的生理、心理上的满足程度.效用函数U(x)~数量为x的某种商品产生的效用.dU(x)/dx~x增加1个单位U(x)的增量.边际效用典型的效用函数U(x)>0,递增渐慢dU(x)/dx>0,递减dU(x)/dx第四十九页，共120页。“边际效用递减”~经济学中普遍、重要的法则.效用函数和边际效用特性的数学表述：dU(x)/dx

效用函数

U(x)现实生活中的诸多表现.效用递增边际效用递减第五十页，共120页。无差别曲线U(x,y)~两个变量x,y的效用函数x片面包和y根香肠的组合几种组合的效用函数相等A1~1片面包加4根香肠A2~4片面包加1根半香肠A3~7片面包加1根香肠A1,A2,A3连成一条曲线U(x,y)=u1(u1常数)无差别曲线~效用函数的几何表示.等效用线第五十一页，共120页。无差别曲线B1(2片面包加5根香肠),B2,B3连成无差别曲线.效用函数

U(x,y)=u的几何表示U(x,y)=u2(u2>u1)C1(1片面包加2根香肠),C2连成无差别曲线.U(x,y)=u3(u3<u1)OyU(x,y)=uxu增加效用函数值u增加无差别曲线上移第五十二页，共120页。无差别曲线

U(x,y)=u典型的效用函数a=1,α=1/3,β=1/2效用递增边际效用递减一元函数U(x)二元函数U(x,y)第五十三页，共120页。无差别曲线的特性下降几何直观下凸互不相交u增加U(x,y)=uOxy“下降”的数学解释无差别曲线上效用函数U(x,y)=u不变隐函数U(x,y)=u求导公式y=y(x)<0x↑→y↓无差别曲线斜率为负第五十四页，共120页。“下降”的经济学解释(△x>0,△y<0）边际效用∂U/∂x,∂U/∂y用△x替代△y后效用不变2种可以相互替代的商品x,y<0△x→dx

△y→dyP△x--△yu增加U(x,y)=u0xy无差别曲线的特性下降下凸互不相交第五十五页，共120页。无差别曲线的特性P1△x1

△y1P2

△y2△x2u增加U(x,y)=uOxy“下凸”的经济学解释

△y2/△x2

(P2的替代率)<

△y1/△x1

(P1的替代率)P1~x少,y多2种可以相互替代的商品x,yP2~x多,y少△x2=△x1(

△y2)<(

△y1)“物以稀为贵”曲线下凸（凸向原点）

dy/dx

对x的导数为负“边际替代率递减”下降下凸互不相交第五十六页，共120页。无差别曲线的特性“互不相交”的解释下降下凸互不相交如果无差别曲线U(x,y)=u1与U(x,y)=u2

相交于P.则交点P的效用函数将取2个不同的数值u1,u2.不可能!u1≠u2

u增加U(x,y)=uOxyU=u1U=u2P第五十七页，共120页。效用最大化模型

p1,p2~甲乙商品的单价x,y

~购买甲乙商品数量已知甲乙两种可替代商品的效用函数,用一定数额的钱购买多少甲、多少乙？问题由效用函数最大确定购买数量.U(x,y)~效用函数效用最大化原理s~准备付出的钱效用最大化模型第五十八页，共120页。模型求解——几何分析U(x,y)=u~下降、下凸、互不相交的无差别曲线.AB必与一条无差别曲线l相切于Q点——消费点效用最大化模型

消费点Q(x,y)的U(x,y)最大AB与l1交点Q1,U(x1,y1)<U(x,y)QABs/p2s/p1·xyyU(x,y)=uxOu增加lQ1x1y1第五十九页，共120页。模型求解——二元函数条件极值效用最大化模型

效用函数最大边际效用之比=价格之比拉格朗日乘子第六十页，共120页。QABs/p2s/p1·xyyU(x,y)=uxOu增加l效用最大化模型

几何分析与条件极值结果的一致

无差别曲线

l~U(x,y)=u斜率AB与l相切于Q斜率相等第六十一页，共120页。购买两种商品费用之比等于参数α与β之比，与商品价格无关.α,β~两种商品效用或消费者偏爱的度量.效用最大化模型

求解第六十二页，共120页。效用最大化模型

推广到n种商品

p1,p2,…,pn~n种商品单价各种商品单位金额的边际效用相等时效用函数最大.s~准备付出的钱U(x1,x2,…,xn)

~效用函数x1,x2,…,xn~购买商品数量求解单位金额的边际效用第六十三页，共120页。效用最大化模型的应用怎样才能“不买贵的，只买对的”？草莓、芒果和桔子每千克价格为15元,10元和5元,准备花100元采购,怎样分配这笔钱？p1,p2,p3~3种水果价格问题分析x1,x2,x3~购买数量效用最大化模型需确定3种水果的效用函数U(x1,x2,x3)或边际效用.第六十四页，共120页。确定效用函数U(x1,x2,x3)或边际效用的办法采用现成的效用函数表达式办法一按照

α:β:γ分配100元60元买4kg草莓,10元买1斤kg芒果,30元买6kg桔子.3种水果的效用或偏爱α=6/10,β=1/10,γ=3/10怎样才能“不买贵的，只买对的”？第六十五页，共120页。给出每买1kg草莓,1kg芒果,1kg桔子效用函数的增加值(边际效用).办法二数量12345678草莓2421201816151310芒果1210986532桔1=15,p2=10,p3=5,p1:p2:p3=3:2:1计算3种水果单位金额的边际效用怎样才能“不买贵的，只买对的”？第六十六页，共120页。数量12345678草莓8720/3616/3513/310/3芒果659/2435/23/21桔子151210976553种水果单位金额的边际效用办法二按照3种水果单位金额边际效用从大到小的顺序，每次增加1kg购买量，直到花完准备付出的100元.p1=15p2=10p3=5151210987720/36665+5+5+5+15+15+5+15+15+10+5=1004kg草莓,1kg芒果,6kg桔子.怎样才能“不买贵的，只买对的”？第六十七页，共120页。对办法一和办法二的分析办法一按照

α:β:γ分配s元购买量x1,x2,x3连续36元买2.4kg草莓,6元买0.6kg芒果,18元买3.6kg桔子.s=60,α=6/10,β=1/10,γ=3/10边际效用在离散点x1,x2,x3=1,2,…得到.办法二购买量离散s=60元不一定恰好花完.第六十八页，共120页。芒果比桔子贵，但芒果买的比桔子少.芒果(单位金额的边际)效用比桔子小.

效用最大化的结果数量12345678草莓8720/3616/3513/310/3芒果659/2435/23/21桔子151210976553种水果单位金额的边际效用p1=15p2=10p3=5100元买4kg草莓,1kg芒果,6kg桔子.“不买贵的，只买对的”！怎样才能“不买贵的，只买对的”？第六十九页，共120页。利用无差别曲线可以通过图形直观,定性地讨论效用最大化原理以及实际应用中的问题.效用函数把对商品主观、感性的偏爱提升为满足生理、心理需求的效率,将效用转化为经济行为.效用最大化原理一定程度上刻画了消费的合理性.小结与评注对于效用是否是一个数值函数仍有争论，一些人主张用“偏爱”代替“效用”，偏爱只有顺序的先后，没有数值大小的区分.第七十页，共120页。3.6血管分支背景机体提供能量维持血液在血管中的流动.给血管壁以营养.克服血液流动的阻力.消耗能量与取决于血管的几何形状.在长期进化中动物血管的几何形状已经达到能量最小原则.研究在能量最小原则下，血管分支处粗细血管半径比例和分岔角度.问题第七十一页，共120页。模型假设一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于同一平面.血液流动近似于黏性流体在刚性管道中的运动.血液给血管壁的能量随管壁的内表面积和体积的增加而增加，管壁厚度d近似与血管半径r成正比.qq1q1ABB´CHLll1rr1

q=2q1r/r1,

?考察血管AC与CB,CB´第七十二页，共120页。黏性流体在刚性管道中运动

p~A,C压力差，

~黏性系数克服阻力消耗能量E1提供营养消耗能量E2管壁内表面积2

rl管壁体积

(d2+2rd)l,管壁厚度d与r成正比模型假设qq1q1ABB´CHLll1rr1

第七十三页，共120页。模型建立qq1q1ABB´CHLll1rr1

克服阻力消耗能量提供营养消耗能量机体为血流提供能量第七十四页，共120页。模型求解qq1q1ABB´CHLll1rr1

第七十五页，共120页。模型解释生物学家：结果与观察大致吻合大动脉半径rmax,毛细血管半径rmin大动脉到毛细血管有n次分叉观察：狗的血管血管总条数推论n=？第七十六页，共120页。3.7冰山运输背景

波斯湾地区水资源贫乏，淡化海水的成本为每立方米0.1英镑.

专家建议从9600km远的南极用拖船运送冰山，取代淡化海水.

从经济角度研究冰山运输的可行性.建模准备1.日租金和最大运量船型小中大日租金（英镑）

最大运量（m3）4.06.28.05105106107第七十七页，共120页。2.燃料消耗（英镑/km）3.融化速率（m/天）与南极距离(km)船速(km/h)01000>400013500.10.300.150.4500.20.6冰山体积(m3)船速(km/h)1051061071358.410.512.610.813.516.213.216.519.8建模准备第七十八页，共120页。建模目的选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立方米水的费用最低，并与淡化海水的费用比较.模型假设

航行过程中船速不变，总距离9600km.

冰山呈球形，球面各点融化速率相同.到达目的地后,每立方米冰可融化0.85m3水.建模分析目的地水体积运输过程融化规律总费用目的地冰体积初始冰山体积燃料消耗租金船型,船速船型船型,船速船型第七十九页，共120页。第t天融化速率模型建立1.冰山融化规律船速u(km/h)与南极距离d(km)融化速率r(m/天）r是u

的线性函数d<4000时u与d成正比d>4000时u与d无关航行t天,d=24ut01000>400013500.10.300.150.4500.20.6urd第八十页，共120页。1.冰山融化规律冰山初始半径R0，航行t天时半径冰山初始体积t天时体积总航行天数选定u,V0,航行t天时冰山体积到达目的地时冰山体积第八十一页，共120页。2.燃料消耗1051061071358.410.512.610.813.516.213.216.519.8Vuq1燃料消耗q1(英镑/km)q1对u线性,对lgV线性选定u,V0,航行第t天燃料消耗q(英镑/天)燃料消耗总费用第八十二页，共120页。

V05105

106107f(V0)4.06.28.0

3.运送每立方米水费用冰山初始体积V0的日租金f(V0)（英镑）航行天数总燃料消耗费用拖船租金费用冰山运输总费用第八十三页，共120页。冰山到达目的地后得到的水体积3.运送每立方米水费用冰山运输总费用运送每立方米水费用

到达目的地时冰山体积第八十四页，共120页。模型求解选择船型和船速,使冰山到达目的地后每立方米水的费用最低求u,V0使Y(u,V0)最小u=4~5(km/h),V0=107(m3)，Y(u,V0)最小V0只能取离散值经验公式很粗糙33.544.551070.07230.06830.06490.06630.06580.22510.20130.18340.18420.179010678.90329.82206.21385.46474.5102V0u5

106取几组（V0，u）用枚举法计算第八十五页，共120页。结果分析由于未考虑影响航行的种种不利因素，冰山到达目的地后实际体积会显著小于V(u,V0).有关部门认为，只有当计算出的Y(u,V0)显著低于淡化海水的成本时，才考虑其可行性.大型拖船V0=107(m3),船速u=4~5(km/h),冰山到达目的地后每立方米水的费用Y(u,V0)约0.065(英镑).虽然0.065英镑略低于淡化海水的成本0.1英镑，但是模型假设和构造非常简化与粗糙.第八十六页，共120页。

模型来自实际问题的可行性研究.

收集数据是建模的重要准备工作.

根据数据得到的经验公式是建模的基础.

冰山形状的球形假设简化了计算,这个假

设的合理性如何?如果改变它呢?小结与评注第八十七页，共120页。前排座位？后排座位？中间座位？前后排主要差别：视角和仰角视角~眼睛到屏幕上、下边缘视线夹角.视角大画面看起来饱满.仰角~眼睛到屏幕上边缘视线与水平线夹角.仰角太大头部过分上仰.总体上使观众视角尽可能大.影院设计对仰角加一定限制.3.8影院里的视角和仰角第八十八页，共120页。c

hbdq地板线屏幕第n排第1排地面垂直于屏幕和地面的影院纵向剖面示意图影响

和

的因素:简化问题ch,q,c基本固定.排数n固定,d改变不大.b和

可在一定范围内调整.hbdq

影院设计某一排观众的视角

和仰角

眼睛至地板距离第八十九页，共120页。简化问题1.观众视角平均值尽量大,各排视角分散程度尽量小.2.各排座位仰角基本不超过300(允许1~2排例外).3.前排观众不遮挡后排观众的视线.h,d,q,c,n固定,确定b和

,使全体观众满意程度最高.c

hbdq地板线屏幕第n排第1排地面视角

，仰角

第九十页，共120页。问题分析座位号k(=1,2,…,n)↑观众视角平均值取1到n排视角的均值.视角分散程度用n个视角均方差度量.观众满意程度定义为各排视角均值与均方差之比.——变异系数视角

,仰角

↓优化问题的目标函数(越大越好)c

hbdq地板线屏幕第n排第1排地面

b,~优化问题的决策变量越大越好越小越好第九十一页，共120页。问题分析仰角

≤300，允许1~2排不满足.优化问题的约束条件k↑

↓前排观众不遮挡后排的视线.条件：设眼睛到头顶的高度c1，使后排观众眼睛到屏幕下边缘的视线在前排观众头顶之上.只需最后一排满足条件.只需检查前3排

的数值.c

qc1后排眼睛前排头顶视线第九十二页，共120页。模型假设固定参数2m≤b≤3m决策变量c=1.1m

h=2.5mbd=6mq=0.8m地板线屏幕第16排第1排地面c1=0.1m

100≤

≤200第九十三页，共120页。模型假设c

hbdq地板线屏幕第n排第1排地面下仰角γ~眼睛到屏幕下边缘视线与水平线夹角.

=

-γ当下边缘视线在水平线之下时γ取负值.上仰角

~眼睛到屏幕上边缘视线与水平线夹角.

γ<0第九十四页，共120页。水平线c

k

k

hbd(k-1)qγk第k排模型建立确定b,

使v(α)最大(h,d,q,c,n为常数)第k排视角视角均值视角均方差目标函数第九十五页，共120页。模型建立约束条件:

仰角约束条件:前排观众不遮挡后排的视线.γn>δc

qγnc1δAB第n排眼睛第n-1排头顶对最后一排：第九十六页，共120页。模型分析b和

的改变对目标函数的影响b↑

k,γk↑

↑

k,γk↓水平线c

k

k

hbd(k-1)qγk第k排图形直观数学分析

k↓

k↑第九十七页，共120页。模型分析b和

的改变对目标函数的影响b↑

k↓

↑

k↑

k↑m(

)↑数学分析b↓,

↑

k↑

k↑s(

)↑

k↑m(

)

↑↓?第九十八页，共120页。约束条件:前排观众不遮挡后排的视线.约束条件:

仰角b↑

k↑

↑

k↓

k≤300容易满足.模型分析b和

的改变对约束条件的影响b↓,

↑

k↓b,

↑条件容易满足.第九十九页，共120页。模型求解

设h=2.5m,

d=6m,q=0.8m,c=1.1m,c1=0.1m,n=16求b(2m≤b≤3m),

(100≤

≤200)使v(

)最大.满足及γn>δ

().

微分法难以求解，转向数值搜索法.第一百页，共120页。模型求解

b(m)1001101201301401501601701801902002.03.14523.14433.14233.13923.13513.13003.12373.11633.10773.09813.08722.13.17953.17893.17723.17453.17073.16583.15983.15263.14433.13483.12402.23.21543.21523.21393.21153.20813.20343.19773.19073.18263.17323.16262.33.25303.25323.25233.25033.24713.24283.23733.23063.22263.21343.20292.43.29243.29303.29253.29083.28803.28403.27873.27223.26453.25543.24512.53.33363.33473.33463.33323.33073.32703.32203.31583.30823.29943.28912.63.37673.37823.37853.37753.37543.37203.36733.36133.35393.34523.33512.73.42173.42363.42433.42383.42203.41893.41453.40873.40163.39313.38312.83.46863.47103.47223.47203.47063.46793.46383.45833.45133.44303.43312.93.51763.52043.52213.52243.52133.51893.51513.50993.50323.49503.48533.03.56863.57203.57413.57483.57423.57213.56863.56373.55723.54923.5396最大值位于b=3.0m.取b,

离散值计算目标函数v(α)b↑v(α)↑3.5748

↑v(α)↑↓最大值在

=130达到.3.0130第一百零一页，共120页。模型求解

计算b=3.0m,

=130的仰角

kk12345678

k36.253831.794727.939024.600521.700519.170116.951214.9951k910111213141516

k13.261511.717310.33509.09167.96846.94946.02145.1730除

1,

2外

k≤300=-2.7685=-6.0433b=3.0m,

=130确是整个模型的最优解.

γn>δ第一百零二页，共120页。模型求解

计算最优解b=3.0m,

=130的视角

kk12345678

k18.682617.637116.552115.497514.506713.592712.757911.9990k910111213141516

k11.310310.685510.11789.60129.13018.69938.30447.9415均值m(α)=12.3135均方差s(α)=3.4445随着k的增加,

k下降很快,

k变化不大.

k

kk观众不妨选择仰角下降变缓的第10排左右.第一百零三页，共120页。结果分析最优解b=3.0m,

=130的敏感性分析b=3.0m处,△b=0.1m时△v≈0.052.93.51763.52043.52213.52243.52133.51893.51513.50993.50323.49503.48533.03.56863.57203.57413.57483.57423.57213.56863.56373.55723.54923.5396

b(m)100110120130140150160170180190200

=130处,△

=10

时△v=0.00073.5748△

/

=1%,△v/v<0.003%△b/b=1%,

△v/v<0.5%b对目标函数的影响比

的影响大上百倍.第一百零四页，共120页。小结与评注影院屏幕和座位设计中的简化问题：视角α均值和均方差为决策目标,高度b和夹角

为决策变量,仰角

和视线遮挡限制为约束条件,建立优化模型.模型定量结果与定性分析的相互印证,决策变量的敏感性分析,以及对各排座位仰角和视角的讨论,丰富了建模的成果,拓广了模型的应用.定性分析决策变量的变化对目标函数和约束条件的影响,结论与直观和常识相符合,是模型检验一部分.第一百零五页，共120页。2.5易拉罐形状和尺寸的最优设计全国大学生数学建模竞赛2006年C题以发表在《工程数学学报》2006年增刊上学生优秀论文和评述文章为基本材料,介绍建模过程.第一百零六页，共120页。赛题原文

我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料(例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等)的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。

现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸