专题4.1 成比例线段-北师大版九年级《数学》上册培优讲义

内容内容概览知识点01线段的比知识点02成比例线段知识点03比例的性质知识点04黄金分割题型01求线段的比题型02由比例尺求距离题型03判断四边是否成比例线段题型04已知成比例线段求其中一边长题型05利用比例的性质进行求解题型06利用比例中的等比性质进行求解题型07黄金分割强化训练知识清单教学目标、教学重难点教学目标、教学重难点2.熟练掌握比例的基本性质，包括性质内容及变形应用，能根据性质进3.通过实际案例，学会判断四条线段是否成比例教学重难点1.重点(1)清晰理解成比例线段的概念，掌握比例线段的基本性质，如比例的基本性质、合(2)能够熟练应用比例线段的性质，解决几何图形中线段比例关系的问题，如计算线2.难点(1)理解比例线段性质的推导过程，尤其是涉及到数学推理和证明部分，引导学生掌(2)培养学生运用成比例线段解决实际问题的能力，帮助学生学会将实际情境转化为数学模型，准确运用比例知识求解。知识点01线段的比线段的比：求线段的比时，首先要检查单位是否一致，不一致的应先统一单位，再求比.【即学即练1】已知a=2b,求下列各式的值.【知识点】比例的性质、分式化简求值【分析】本题主要考查比的性质，掌握比的性质计算是解题的关键.(1)将a=2b代入，结合分式的性质化简计算即可；(2)将a=2b代入，结合分式的性质化简计算即可.知识点02成比例线段我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段.(1)把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等做出判断；(2)把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断.【即学即练2】下列四组线段中，成比例线段的是()∴3,4,5,6不是成比例线段，不符合题意；(4)比例中项：若a:b=b:c,则b²=ac,b称为a、c的比例中项.【即学即练3】已知a,b,c,d为四个不为0的数.(3)求出(3)求出bc=ad,进而可得(3)证明：7知识点04黄金分割如图，若线段AB上一点C,把线段AB分比例中项(即AC²=AB·BC),则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB(AC<CB),若AB=40cm,求AC的长.【典例1】如果线段a=2cm,b=3cm,那么【变式1】已知线段a=10cm,b=25cm,则的值为()【变式2】如果线段a=5mm,b=10mm,那么的值为()【变式3】若线段a=1m,b=50cm,利用比例的性质易求得利用比例的性质易求得x的值，注意单位统一.故答案为：20.【变式1】【变式1】在比例尺为1:10000000的地图上量得两个城市间的距离是5cm,那么这两个城市的实际距离是【答案】500x的值后，把单位化为km即可.解得x=4000000(cm),故答案为：40.题型03判断四边是否成比例线段A.1,2,2,4B.3,4,9,12C.7,5,3,2故选：C.A.3cm,6cm,7cm,9cmB.2cm,5cC.3cm,9cm,1.8dm,6cmD.B、因为0.6dm=6cm,所以2:5≠6:8,所故选C.【变式2】a,b,c,d是四条线段，下列各组中四条线段成比例的是()A.a=2cm,b=5cm,c=5cm,D.a=5cm,b=0.2cm,c=7cm【分析】本题考查比例线段的概念.把四条线段的长度按大小顺序排列，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等即可.B.3×10=5×6,成比例，符合题意；故选B.A.5cm,6cm,7cm,8cmB.C.2cm,4cm,6cm,8cmD.12cm,8cm,15cm,10cm【答案】【答案】D【答案】【答案】【答案】【答案】题型05利用比例的性质进行求解【典例5】已知线段a、b满足a:b=3:2,且a+2b=14.【答案】(1)线段【答案】(1)线段a的长为6,线段b的长为4.∴线段a的长为6,线段b的长为4.(2)解：∵线段c是线段a、b的比例中项，a=6,b=4,【变式1】若【答案】【答案】【知识点】比例的性质【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的内项之积与外项之积相等是解题关键.根据题意得出5x=4y,即可得解.【详解】解：故答案为：【变式2】已知线段【变式2】已知线段a=0.3m,b=60cm,c=12dm.(1)求线段a与线段b的比和线段b与线段c的比；(2)如果线段a、b、C、d成比例(3)在比例式a:b=b:c或b²=ac中，我们把b称为a、c的比例中项，那么本题中b是a和c的比例中项吗?为什么?【答案】(1)a:b=1:2;b:c=1:2(3)b是a和C的比例中项，理由见解析【分析】本题比例线段，掌握比例线段的定义和比例中项是解题的关键.(2)根据线段a、b、c、d是成比例线段，可得,再根据c=12dm=120cm,即可得出线段d的长；(3)根据(3)根据b²=3600,ac=30×120=3600,可得b²=ac,进而得出b是a和c的比例中项.(2)解：∵线段a、b、C、d是成比例线段，∴b是a和c的比例中项.【变式3】已知线段a,b,c满足,且a+2b+c=26.(2)若线段x是线段6a,b【答案】(1)6;4;12【答案】(1)6;4;12用k表示出a、b、c可以使计算更加简便.(1)设则a=3k,b=2k,c=6k,代入a+2b+c=26,求得k的值，即可求出a、(2)由线段x是线段6a、b的比例中项，可得x²=6ab=6×6×4=144,计算即可.【详解】(1)解：设则a=3k,b=2k,c=6k所以3k+2×2k+6k=26,解得k=2,(2)解：②线段x是线段6a、b的比例中项，题型06利用比例中的等比性质进行求解【典例6】已知,且b+d+f≠0.【详解】(1)解：(2)解：由得a=2b,c=2d,e=2f,Ba-5c+6e=2b-10c+12f=2(b-5c+6f)=2×3=6.(2)设然后用k表示a,b,c,再代入a+b+c=48,求解得到k,即可得到a,b,c的值(2)解：设,求的值.(厘米).故VABC的周长为15厘米.(2)解：【变式3】已知a,b,c,d,e,f2a=bk,c=dk,e=fk(第一步)(第二步)①如果②已知的值.题型07黄金分割身高165cm,下半身长x与身高l的比值是0.6.(2)设需要穿的高跟鞋是ycm,列方程求解即求证：矩形ABCD是黄金矩形.(提示：设MN的长为2)如图1,在线段AB上找一点C(AC>BC),若BC:AC=AC:AB,则称点C为线段AB的黄金分割点，这我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2,在交OE于点P.【分析】(1)由题意知，EF=FH,OH=OP,然后作答即可；(2)由勾股定理得OF=√OE²+EF²=√5,根据OP=OH=OF-FH,计算求解即可；【详解】(1)解：由题意知，EF=FH,OH=OP,(2)解：BEF⊥OE,(3)证明：BOP=√5-1,⑧OP²=(√5-1)²=6-2√5,PE=OE-OP=2-(√5-1)=3-√5,OE·PE=2(【变式3】材料一：如图①,点C把线段AB分成两部分(AC>BC),若,那么称线段AB被点C点C作一条直线交BD边于点E,过点D作DF//EC交VABC的一边于点F,连接EF,交CD于G.①②【详解】(1)解：Pa为0,1的黄金数，且实数0<a<1,(2)解：设点F到CE的距离为h,(3)解：是理由如下：2EF是VABC的黄金分割线.一、单选题1.已知线段a=3cm,b=1.5cm,c=7cm,若,则线段d的长为()A.2cmB.3.5cm【分析】本题考查比例线段，由条件得到3:1.5=7:d,然后利用比例的性质求d即可.2.下列各线段的长度成比例的是()2.下列各线段的长度成比例的是()A.2cm,6cm,5cm,8cmB.3cm,1cm,2cm,4cmC.3cm,6cm,7cm,9cmD.2cm,16cm,4cm,8cm长度的乘积的情况，若存在则成比例.C、由于3cm,6cm,7cm,9cm任意两条线段长度的乘积均不能与另外两条线段乘积相等，故这四条线D、由于2×16=32=4×8,则2cm,16cm,4cm,8cm四条线段的长度成比例，符合题意；但a=2,b=5并非唯一解(如a=4,b=10也满足),b,,再把圆心，线段DE长为半径作圆，交BC的延长线于点F,过点F作FG⊥AD,交AD的延长线于点G,得到矩形CDGF.根据黄金分割的意义：矩形ABFG满足,若AB=1,则CF的长是()【分析】本题主要考查了黄金分割，正方形的性质，矩形的性质，依据题意，设CF=x,根据正方形的性算即可解答.熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键.【详解】解：设CF=x,由题意，根据黄金分割的意义：矩形ABFG满足二、填空题则则若m是5和4的比例中项，则m=【答案】【答案】根据3a=2b,通过设k法表示a=2k,b=3k,再代入求值即可；根据比例中项的定义得到m²=4×5=2【答案】75【答案】75故答案为：75.根据矩形的性质求出AB的长度，再代入即可.【答案】4【答案】4或-2【分析】本题考查比例的性质.当x+y+z≠0当x+y+z=0时，根据题意可得a=-(b+c),B2b+2c+2a+2c+2a+2b=k综上所述，k=4或-2,分别代入，即可求解.11.已知a,b,c为VABC的三边，且a+b+c=69,,求VABC的三边a,b,c的长.【答案】【答案】a=18,b=24,c=27【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键.设a=6k,b=8k,c=9k,代入a+b+c=69可求出k的值，由此即可得.解得k=3,(2)利用(1)的结论，以及设k法进行计算，即可解答.(2)设a=2k,b=3k,根据a+b=15可求得k的值，进而得到a和b的值，代入计算即可.(2)解：设a=2k,b=3k,14.已知线段a、b、c满足a:b:c=2:3:4,且2a+b+c=2(1)根据题意可设a=2k,b=3k,c=4k,由2a+b+c=22得到方程4k+3k+4k=22,解方程即可得到答(2)根据比例中项的定义得到x²=ab=4×6,解之可得答案.【详解】(1)解：2a:b:c=2:3:4,(2)解：2线段x是线段a、b的比例中项，图x=2√