量子计算与金融第4章 傅里叶变换在金融与量子计算中的应用

量子计算与金融QuantumComputingand

Finance第四章

傅里叶变换在金融与量子计算中的应用CUEB2026年7月4

日1

/

85Contents12傅里叶变换在金融资产定价中的应用傅里叶变换傅里叶变换与热传导方程傅里叶变换在BSM求解中的作用傅里叶级数与离散傅里叶变换3傅里叶级数离散傅里叶变换量子傅里叶变换狄拉克符号下的离散傅里叶变换量子傅里叶变换的电路设计设计原理及推导过程不同教材的差别CUEB2026年7月4

日2

/

85傅里叶变换在金融资产定价中的应用傅里叶变换在金融资产定价中的应用CUEB2026年7月4

日3

/

85傅里叶变换在金融资产定价中的应用

傅里叶变换傅里叶变换的广义定义基本概念函数

h(t)

经变换

T

得到关于

f

的函数

H(f

)，即

T

:

h(t)

→

H(f

)−∞频域形式：H(f

)

=

h(t)e−2πif

t∫︁ ∫︁∞ ∞−∞2πif

tdt

⇔

h(t)

=

H(f

)e

df角频率形式（ω

=

2πf

）：∫︁∞−∞−iωtH(ω)

= h(t)e dt⇔

h(t)=

1

∫︁∞2π

−∞iωtH(ω)e

dω重定义形式

(Redefined)rdf

1

∫︂∞−∞−iωt

1

h(t)e dt⇔h(t)=

√2π∫︂∞−∞Hrdf(ω)eiωtdωH

(ω)=

√2π跨学科通用公式H(ω)

=√︄∫︂∞

|b| (2π)1−a

−∞bωith(t)e dt⇔h(t)

=√︄∫︂∞

|b| (2π)1+a

−∞−bωitH(ω)e

dω参数

a

和

b

的取值因学科（物理、信号、数学等）而异，用于保持学科间的一致性CUEB2026年7月4

日4

/

85傅里叶变换在金融资产定价中的应用

傅里叶变换金融工程中的傅里叶变换约定变换对象在量化金融与衍生品定价中，通常对状态变量

x

做傅里叶变换（结果用

k表示），而非对时间

t（用

ω

表示）主流量子力学与金融教材采用的形式

正变换：

1

F

[f

(x)]

=

F

(k)

:=

√2π∫︂∞−∞f

(x)

exp(−ikx)dx

1

F

[f

(x,

t)]

=

F

(k,

t)

:=√2π∫︂∞−∞f

(x,

t)

exp(−ikx)dx(4-1)逆变换：−11F [F

(k)]

=

f

(x)

:=

√2π∫︂∞−∞F

(k)

exp(ikx)dk−1

1

F [F

(k,

t)]

=

f

(x,

t)

:=√2π∫︂∞−∞F

(k,

t)

exp(ikx)dk

(4-2)CUEB2026年7月4

日5

/

85傅里叶变换在金融资产定价中的应用

傅里叶变换常用性质：线性与微分1.

线性性质FF

−1af

(x)

+

bg(x)

←→

aF

(k)

+

bG(k),a,b∈

C对所有形式的傅里叶变换均成立2.

微分性质对空间

x

求导（转化为乘法）：F[∂xu]=

ikF

[u], F

[∂xxu]

=

−k2F

[u]对时间

t

求导（等价于对变换结果求偏导）：∂∂2F

[∂tu]

=

∂t

F

[u], F

[∂ttu]

=

∂t2

F

[u]CUEB2026年7月4

日6

/

85傅里叶变换在金融资产定价中的应用

傅里叶变换卷积的定义与第一性原则卷积的定义（基于式4-1与4-2）

1

1

∫︂ ∫︂(f

∗

g)(x)

:=

√2π

R

f

(s)g(x

−

s)ds

=

√2π

R

f

(x

−

s)g(s)ds物理意义：一个函数翻转、平移后与另一个函数乘积的积分，并乘以归一化常数第一性原则（核心不变性）

无论傅里叶变换的具体形式如何，以下关系始终成立：性质1：F

[f

∗

g]

=

F

[f

]F

[g]

=

F

·

G性质2：(f

∗

g)

=

F

−1{F

[f

]F

[g]}

=

F

−1[F

G]注意：为保证“第一性”，当傅里叶变换形式改变时，卷积的定义（如归一化参数）必须随之调整。CUEB2026年7月4

日7

/

85傅里叶变换在金融资产定价中的应用

傅里叶变换不同学科约定的对比与卷积的应用主流数学教科书约定对比∫︁∞−∞傅里叶变换：F

(k,

t)

= f

(x,

t)

exp(−2πikx)dx∫︁1

√2π对应卷积：(f

∗

g)(x)

=

f

(x

−

s)g(s)ds（无

参数）对应微分性质：df

(x,t)

FdxF

−1←→

2πikF

(k,

t)卷积在数理统计中的应用两个独立随机变量：Z

=

X

+

Y

的概率密度函数为卷积∫︂∞Z X Yf

(z)

= f(x)f(z−

x)dx−∞多个独立随机变量：Y

=

X1

+

X2

+

·

·

·

+

Xn

的密度函数为fY

(y)

=

fX1

∗

fX2

∗

·

·

·

∗

fXn

(y)CUEB2026年7月4

日8

/

85傅里叶变换在金融资产定价中的应用

傅里叶变换与热传导方程热传导方程柯西问题的数学描述偏微分方程

(PDE)∂tu

=

α2∂xxu, −∞

<

x

<

∞,0

<

t

<

∞默认参数

α

>

0初始条件

(IC)u(x,0)

=

ϕ(x), −∞

<

x

<

∞求解策略对

PDE

和

IC

两边分别进行傅里叶变换采用式

(4-1)

和式

(4-2)

的傅里叶变换形式CUEB2026年7月4

日9

/

85傅里叶变换在金融资产定价中的应用

傅里叶变换与热传导方程求解步骤（一）：变换与常微分方程第一步：对

PDE

左边进行傅里叶变换∂F

[∂tu]

=

∂t

F

[u]第二步：对

PDE

右边进行傅里叶变换α2F

[∂xxu]

=

−α2k2F

[u]第三步：对

IC

两边同时进行傅里叶变换F

[u(x,

0)]

=

F

[ϕ(x)]第四步：综合结果，定义

U

(k,

t)

:=

F

[u(x,

t)]dU

(k,

t)dt2

2=

−αkU(k,t)偏微分方程转化为关于时间

t

的简单常微分方程

(ODE)初始条件：U

(k,

0)

=Φ0(k)，其中

Φ0(k)

:=

F

[ϕ(x)]CUEB2026年7月4

日10

/

85傅里叶变换在金融资产定价中的应用

傅里叶变换与热传导方程求解步骤（二）：频域求解与逆变换第五步：求解常微分方程U

(k,

t)

=

Φ0(k)

exp(−α2k2t)第六步：利用傅里叶逆变换寻找原函数u(x,

t)

=

F

−1[U

(k,

t)]

=

F

−1[Φ0(k)

exp(−α2k2t)]第七步：应用卷积定理卷积定理：(f

∗

g)

=

F

−1{F

[f

]F

[g]}

=

F

−1[F

G]卷积定义：(f

∗

g)(x)

=1

√2π∫︁∞−∞f

(s)g(x

−

s)dsCUEB2026年7月4

日11

/

85傅里叶变换在金融资产定价中的应用

傅里叶变换与热传导方程求解步骤（三）：最终解与热核应用卷积定理u(x,

t)

=

F

−1[Φ0(k)]

∗

F

−1[exp(−α2k2t)]

1

x2−

4α2t[︃ (︃ )︃]︃1u(x,t)=

√2π∞−∞⎡⎣ϕ(s)=ϕ(x)∗

√2α2texp最终积分表达式（式

4-3）

∫︂ (

︂

exp

−(x−s)2

24α

t)︂√2α2t⎤ds⎦物理意义解为初始温度分布

ϕ(x)

与热核函数的卷积体现了热传导过程中的扩散特性CUEB2026年7月4

日12

/

85傅里叶变换在金融资产定价中的应用

傅里叶变换与热传导方程不同傅里叶变换形式对结果的影响另一种常见的傅里叶变换约定∫︁∞−∞正变换：F

(k)

= f

(x)

exp(−ikx)dx逆变换：f

(x)

=1∫︁∞2π

−∞F

(k)

exp(ikx)dk∫︁对应卷积：(f

∗

g)(x)

= f

(x

−

s)g(s)ds

（无归一化参数）求解过程与结果的一致性dtdU

2

2ODE

形式完全相同：

=−αk

U频域解相同：U

(k,

t)

=

Φ0(k)

exp(−α2k2t)逆变换后的卷积表达式：∞−∞∫︂ {︃

1 [︃u(x,

t)

= ϕ(s)√4πα2texp

−(x

−

s)24α2tds]︃ }︃结论：不同傅里叶变换形式不影响最终的物理结果，仅中间常数分配不同。CUEB2026年7月4

日13

/

85傅里叶变换在金融资产定价中的应用

傅里叶变换在BSM求解中的作用傅里叶变换在BSM求解中的作用核心地位：

傅里叶变换是求解边界不受限情况下热传导方程（抛物线型偏微分方程）的重要数学工具，在BSM模型求解中扮演关键角色。BSM偏微分方程（PDE）及定解条件：PDE:C(t,St)

=

r +

(r−

D)S +σ

S2

2t t21

∂C

∂C

1

∂

C∂t

∂S

2

∂S2[︃ ]︃,t∈[0,T),St∈(0,

+∞BC1:

C(t,

0)

=

0

或

C(t,

0)

=

C(T,

0)e−r(T

−t)BC2:C(t,St→∞)

≈

St 或C(t,

St

→

∞)

=

C(T,

St

→

∞)e−D(T

−t)TC:

C(T,

ST

)

=

max(ST

−

K,

0)CUEB2026年7月4

日14

/

85傅里叶变换在金融资产定价中的应用

傅里叶变换在BSM求解中的作用风险中性测度下的动力学假设标的物动力学：欧式看涨期权

C(t,

St)

的标的物

St

在风险中性测度（Q

测度）下运行，满足随机微分方程：dSt

=

(r

−

D)Stdt

+

σStdWt参数说明：漂移项参数采用

(r

−

D)，而非代表个股真实收益率的

(µ

−

D)。r：无风险利率（如3个月国债收益率）。D：标的物分红率。µ：标的物的真实预期收益率。CUEB2026年7月4

日15

/

85傅里叶变换在金融资产定价中的应用

傅里叶变换在BSM求解中的作用时间倒向偏微分方程的金融学意义BSM方程的特殊性：本质为抛物线型偏微分方程，但其时间是倒向（Time-Backward）的，这是与传统物理抛物线型PDE的最大区别。为什么需要研究“时间倒向”？物理世界

vs

金融世界：

真实物理世界中不存在时间倒向，但在金融资产定价中必不可少。核心在于“预期”：

金融/经济学问题高度关注预期。我们需要站在未来时间点，思考（Think）、规划（Plan）、预判（Predict/Forecast）未来情景。反向推演：

通过“预期

E(·)”将未来信息反向投影回当下，以指导当前实践。跨学科共鸣：

人工智能领域的强化学习理论同样在研究时间倒向问题。结论：

无论是在金融学、经济学还是人工智能中，研究倒向时间问题都具有深刻的现实意义，且必须与“预期”紧密结合。CUEB2026年7月4

日16

/

85傅里叶变换在金融资产定价中的应用

傅里叶变换在BSM求解中的作用BSM方程与风险中性预期核心定价公式：

在

t

时刻，欧式看涨期权价格不仅取决于当下标的物

St，更关键的是对未来

ST

的预期：C(t,

St)

=

EQ

[︂e−r(T

−t)

max(ST

−

K,

0)

|

St

=

s]︂预期的三个核心约束：测度约束：

预期必须在风险中性概率测度（Q测度）下进行，标的物遵循dSt

=

(r

−

D)Stdt

+

σStdWt。支付函数约束：

T

时刻的支付关系

CT

=

max(ST

−

K,

0)

决定了期权类型。在PDE语言中，改变终值条件即改变金融衍生品类型。鞅特性约束（最关键）：

贴现后的期权价格构成鞅过程。CUEB2026年7月4

日17

/

85傅里叶变换在金融资产定价中的应用

傅里叶变换在BSM求解中的作用鞅过程与Feynman-Kac公式贴现价格的鞅性质：C(t,

St)

=

EQ

[︂e−r(T

−t)CT

|

St

=

s]︂⇐⇒

e−rtCt

=

EQ

[︁e−rT

CT

|

St

=

s]︁令

Mt

:=

e−rtCt，则

Mt

=

EQ[MT

|

St

=

s]

且

EQ[|Mt|]

<

∞。因此，贴现后的期权价格

Mt

是一个鞅过程（注意：Ct

本身在

Q

测度下不是鞅）。Feynman-Kac公式的桥梁作用：揭示了鞅过程的概率特性与倒向时间偏微分方程（BSM方程）之间的内在联系。建立了倒向时间偏微分方程与伊藤公式（Itˆo’s

Lemma）之间的关联。有了该公式的保证，倒向时间在金融学上具有了严密的数学含义。CUEB2026年7月4

日18

/

85傅里叶变换在金融资产定价中的应用

傅里叶变换在BSM求解中的作用坐标变换：从BSM方程到标准热传导方程21

2τ=σ(T−

t)⇐⇒求解策略：

通过坐标变换将倒向时间转化为正向时间

τ

，并利用已有数学技术求解标准热传导方程。变量代换（假设

λ

=

1）：{︄ {︄t tx=

ln(S

/K) S=

Kext=

T−

τ

σ2/2函数变换：

令

v

=

eαx+βτ

u，其中参数定义为：2

11

124

1α=−

k

, β=−k

−k0k1=r

−

D

−

σ2/2σ2/2,rk0=

σ2/2CUEB2026年7月4

日19

/

85傅里叶变换在金融资产定价中的应用

傅里叶变换在BSM求解中的作用PDE的等价转化与柯西问题函数间的映射关系：C(S,

t)

=

Keαx+βτ

u(x,

τ

)

=

Kv(x,

τ

)偏微分方程的转化：{︄∂τ

v

=

∂xxv

+

k1∂xv

−

k0vv(x,

0)

=

v0(x)

=

e−αxϕ(x)⇆v=eαx+βτ

u{︄∂τu=

∂xxuu(x,

0)

=

u0(x)

=

ϕ(x)通过上述变换，BSM的PDE形式被成功转化为一个时间正向的标准热传导方程（柯西问题）。CUEB2026年7月4

日20

/

85傅里叶变换在金融资产定价中的应用

傅里叶变换在BSM求解中的作用利用傅里叶变换求解及结果还原标准热传导方程的解：

利用傅里叶变换，可得

u(x,

τ

)

的解析解：

1 2π

2τ−∞u(x,

τ

)

=

√

√

ϕ(ε)e−(x−ε)24τ∫︂ ∫︂∞ ∞−∞dε

= ϕ(ε)G(x

−

ε,

τ

)dε

1

−(x−ε)24τ其中，G(x

−

ε,

τ

)

:=

√4πτ

e 为热传导核（Heat

Kernel）。还原至原期权价格：

结合

v(x,

τ

)

=

eαx+βτ

u(x,

τ

)及

C(t,

St)

=

Kv(x,

τ

)，最终可得：∫︂∞−∞αx+βτ

−αεv(x,

τ

)

=

e e ϕ(ε)G(x

−

ε,

τ

)dεt

1K(︃xC(t,

S

)

:=

V

(S,

t)

=

Kv(x,

τ

)

=⇒

v(x,

τ

)

= V Ke,

T−

τ

σ2/2)︃CUEB2026年7月4

日21

/

85傅里叶变换在金融资产定价中的应用

傅里叶变换在BSM求解中的作用坐标系转换与中间变量定义核心目标：将

(x,

τ

)

坐标系下的

u(x,

τ

)

结果转化为

(t,

St)

坐标系下的C(t,

St)

形式。引入中间变量：为便于后续计算，定义以下无量纲参数：

⎧⎪⎪⎩ϑ

=⎨r−

Dσ2/2, ℓ

=

Dσ2/2,1γ

= (ϑ

−

1),2 21θ

= (ϑ

+

1)

=

γ

+

1⇐⇒{︄α=

−γ2β=

−(θ

+

ℓ)函数关系：利用上述中间变量，可建立

v(x,

τ

)

与

u(x,

τ

)

之间的映射关系：2v(x,

τ

)

=

e−γx−(θ

+ℓ)τ

u(x,

τ

)CUEB2026年7月4

日22

/

85傅里叶变换在金融资产定价中的应用

傅里叶变换在BSM求解中的作用第一步：确定初始条件初始值推导：在

τ

=

0

时，代入欧式看涨期权的边界条件：K1u(x,

0)

= eγxV

(Kex,

T

)

1Kγx

x= e max(Ke−K,

0)=

max(e(γ+1)x

−

eγx,

0)化简：利用关系式

θ

=

γ

+

1，并引入下标

“C”

专指欧式看涨期权，初始条件可最终写为：uC(x,

0)

=

ϕ(x)

=

max(eθx

−

eγx,

0)CUEB2026年7月4

日23

/

85傅里叶变换在金融资产定价中的应用

傅里叶变换在BSM求解中的作用第二步：构建积分表达式卷积积分：根据热传导方程的解，uC(x,

τ

)

可表示为初始条件与高斯核的卷积：C

1

4πτ∫︂∞−∞u

(x,

τ

)

=

√

e−(x−ξ)24τϕ(ξ)

dξ

1

4πτ∫︂∞−∞=

√

e−(x−ξ)24τmax(eθξ

−

eγξ,

0)

dξ由于

max

函数在

ξ

<

0

时为

0，积分下限可调整为

0，并拆分为两项之差：C

1

4πτ0u

(x,

τ

)

=

√

e(x−ξ)24τ− +θξIθ

1

4πτ∫︂ ∫︂∞ ∞0dξ

−

√

e(x−ξ)24τ− +γξdξ

⏞ ⏟⏟ ⏞ ⏞

⏟⏟ ⏞IγCUEB2026年7月4

日24

/

85傅里叶变换在金融资产定价中的应用

傅里叶变换在BSM求解中的作用第二步（续）：统一积分形式与变量代换统一形式：

Iθ

与

Iγ

具有完全相同的结构。令

ω

∈

{θ,

γ}，统一记为：ω

1

I=

√

4πτ0(x−ξ)24τe− +ωξ∞ ∞0∫︂ ∫︂ [︃

1

1

2π 2τdξ

=

√

√

e−12x−ξ√2τ(︂ )︂2+ωξ]︃dξ引入中间变量

η：为配方并凑出标准正态分布形式，令：η

=ξ

−

(x

+

2τ

ω)√2τ√

=⇒ ξ

= 2τ

η

+

(x

+

2τ

ω),√

dξ

= 2τ

dη积分限变换：由于

ξ

∈

[0,

+∞)，对应的新积分下限为：η

∈−(x

+

2τ

ω)√2τ,

+∞[︃ )︃CUEB2026年7月4

日25

/

85傅里叶变换在金融资产定价中的应用

傅里叶变换在BSM求解中的作用第三步：换元积分与高斯累积分布函数换元后的积分：将

ξ

替换为

η，配方后提取与

η

无关的项：ωI

=

1

∞2π−x+√2τ

ω∫︂ (︃√

eη22

)︃− ωx+τ

ω2

·

e

dη2τ2将常数因子

eωx+τ

ω

移至积分号外，得到：ωx+τ

ω2∞x+2τ

ω−√2τ∫︂ (︃

1

2πIω

=

e

√

e−η22)︃dη联系标准正态分布：上式积分部分恰好与标准正态分布的累积分布函数

(CDF)形式一致。定义标准正态概率密度函数

φ(·)

与累积分布函数

Φ(·)：

1

Φ(a)

:= φ(η)dη:=

√2π∫︂ ∫︂a a−∞ −∞2−η

/2e dη

=∫︂+∞−aφ(η)

dηCUEB2026年7月4

日26

/

85傅里叶变换在金融资产定价中的应用

傅里叶变换在BSM求解中的作用第三步（续）：利用对称性得出

Iω

的解析解积分限的对称变换：

利用标准正态分布概率密度函数

φ(η)

的偶函数性质，可将积分下限从负无穷大改写为：Iω2=eωx+ω

τ∞x+2τ

ω−

√2τ∫︂ ∫︂x+2τ

ω√−∞2 2τφ(η)dη=

eωx+ω

τ φ(η)

dη引入累积分布函数：

根据标准正态分布的累积分布函数

(CDF)

定义∫︁a−∞Φ(a)

= φ(η)

dη，直接得出：⇒ Iω=

eωx+ω2τΦx

+

2τ

ω√2τ(︃ )︃CUEB2026年7月4

日27

/

85傅里叶变换在金融资产定价中的应用

傅里叶变换在BSM求解中的作用第三步（续）：uC(x,

τ

)

的表达式与

d1,

d2

的引入代回原式：将

Iθ

和

Iγ

的结果代入

uC(x,

τ

)

=

Iθ

−

Iγ

，得到：θx+θ2τuC(x,

τ

)

=

e

Φx

+

2τ

θ(︃ )︃γx+γ2τ−

e

Φ(︃x

+

2τ

γ√2τ √2τ)︃定义关键变量

d1

与

d2：

为简化表达，引入中间变量

d1

=x+2τ

θ√2τ和2d

=√2τx+2τ

γ

x

τ

σ2/2。将

S

=

Ke

和

t

=

T

−

代入，转换为金融变量形式：d1

=21

2(︁ )︁ln(S/K)+r−

D+

σ (T−

t)√oT−

t(︁ln(S/K)+r−

D

21

2)︁−

σ (T−

t)d2

=

√oT−

t注：易证

d2

=

d1

−

σ√T

−

t。因随时间

t变化，后续记为

d1,t

和

d2,t。CUEB2026年7月4

日28

/

85傅里叶变换在金融资产定价中的应用

傅里叶变换在BSM求解中的作用第四步：向

(t,

St)

坐标系的最终转换CV(x,t)=

Ke2e2−γx−(θ

+ℓ)τ θx+θ

τγx+γ2τΦ(d

)

−

e

Φ(d1,t 2,t2还原目标函数：

已知

VC(S,

t)

=

Kv(x,

t)

且

v(x,

τ

)

=

e−γx−(θ

+ℓ)τ

uC(x,

τ

)，代入可得：[︂ )]︂合并同类项，化简为：2 2VC(x,

t)

=

Ke(θ−γ)x−ℓτ

Φ(d1,t)

−

Ke(γ

−θ

−ℓ)τ

Φ(d2,t)系数化简（第一部分）：

由

θ

−

γ

=

1

且

ℓτ

=

D(T

−

t)，推导第一项系数：Ke(θ−γ)x−ℓτ

=

Kex−D(T

−t)

=

Keln(St/K)e−D(T

−t)

=

Ste−D(T

−t)CUEB2026年7月4

日29

/

85傅里叶变换在金融资产定价中的应用

傅里叶变换在BSM求解中的作用第四步（续）：系数化简与

BSM

公式最终形式2 2 r−D2o

/2系数化简（第二部分）：

由

γ

−

θ

=

−

，推导第二项的指数部分：(γ2

−

θ2

−

ℓ)τ

=

−(︃ )︃

[︃r

−

D

D

1σ2/2

σ2/2

22]︃− σ(T−t)=−r(T−

t)2 2因此，第二项系数为：Ke(γ

−θ

−ℓ)τ

=

Ke−r(T

−t)。第五步：Black-Scholes-Merton

(BSM)

公式

综合以上所有推导，欧式看涨期权的最终定价公式为：C(St,

t)

=

Ste−D(T

−t)Φ(d1,t)

−

Ke−r(T

−t)Φ(d2,t)其中，Φ(·)

为标准正态分布的累积分布函数：

1

Φ(a)

= φ(η)dη=

√2π∫︂ ∫︂a a−∞ −∞2−η

/2e dη

=∫︂+∞−aφ(η)

dηCUEB2026年7月4

日30

/

85傅里叶变换在金融资产定价中的应用

傅里叶变换在BSM求解中的作用拓展：傅里叶变换在金融定价中的广泛应用核心作用：

傅里叶变换在

BSM

模型中起到了连接偏微分方程（柯西问题）求解的关键桥梁作用。除此之外，它在现代金融工程研究中应用极为广泛：随机波动率模型：在求解标的物含有随机波动率的复杂金融资产定价问题时，傅里叶变换能够大幅简化计算过程。跳跃扩散模型

(Jump-Diffusion)：当考虑到标的物具有跳跃特性时，无法仅依赖随机过程的概率密度函数构建偏微分方程。此时需要借助概率统计学中的特征函数（定义为

φX

(ω)

:=

E(eiωX

)）进行分析，该过程必须反复使用傅里叶变换。延伸阅读：若对傅里叶变换在金融中的深度应用感兴趣，请参阅参考文献

[9]。CUEB2026年7月4

日31

/

85傅里叶级数与离散傅里叶变换傅里叶级数与离散傅里叶变换CUEB2026年7月4

日32

/

85傅里叶级数与离散傅里叶变换

傅里叶级数傅里叶级数的定义与复数形式基本定义：

一个定义在

[0,

P

]

区间的可积函数

s(x)

可展开为若干复数级数相加的形式，即傅里叶级数：∞∑︂ns(x)

= c

e

nPi2π

xn=−∞其中，cn

为傅里叶系数，计算公式为：cn

=

1P∫︂P0s(x)enP−i2π

xdxCUEB2026年7月4

日33

/

85傅里叶级数与离散傅里叶变换

傅里叶级数傅里叶级数的等价形式与参数意义两种等价展开形式：

将定义域扩展使

s(x)

成为周期函数

sN

(x)，可写为：N∑︂n=1Pn

nP正弦-余弦形式：

sN

(x)

=

a0

+

an

cos

2π

x

+

bn

sin

2π

x[︂ (︂ )︂ (︂ )︂]︂N指数形式：

s(x)

=N∑︂nc

enPi2π

xn=−N参数

P

与

N

的物理意义：P

(基区间)：

决定频率尺度，波长为

P/n，频率为

n/P

（n

=

1

时为基础频率）。N

(项数上限)：

决定近似精度。N

越大，sN

(x)

关于

s(x)

的近似越准确。0 0 n12n n系数对应关系：

a

=

c

；当

n

>

0

时，c

=

(a

−

ib

)；当

n

<

0

时，2n −n −nc

=

1

(a

+

ib

)。CUEB2026年7月4

日34

/

85傅里叶级数与离散傅里叶变换

离散傅里叶变换离散傅里叶变换

(DFT)

与逆变换

(IDFT)适用场景：

针对长度为

N

的离散时间序列数据

x

=

(x0,

x1,

·

·

·,

xN

−1)。变换定义：N

−1∑︂n=0k nDFT:

X

= x

e2πN−i kn, k

=

0,

1,

·

·

·

,

N

−

1nIDFT:x

=

1NN

−1∑︂k=0k2πNi knX

e , n

=

0,

1,

·

·

·

,

N

−

1N注：IDFT

中的

1

为归一化因子。CUEB2026年7月4

日35

/

85傅里叶级数与离散傅里叶变换

离散傅里叶变换DFT

的基本特性线性性：

DFT[ax

+

by]

=

a

·

DFT[x]

+

b

·

DFT[y]循环卷积特性：

若

z

=

x

∗

y（循环卷积），则

Zk

=

XkYk对称性：

实信号的

DFT

满足共轭对称性

XN

−k

=

Xk周期性：

Xk+N

=

Xk，xn+N

=

xn（周期延拓）CUEB2026年7月4

日36

/

85傅里叶级数与离散傅里叶变换

离散傅里叶变换DFT

的数学本质与函数形式正交基与积分核：复指数序列

e2πN−i knN构成

C

的带权重正交基：

1∑︁N

−1N n=02πNi (k−l)nk,le =δ

。DFT

本质上是一种离散积分变换，可视为

Xk∑︁n= x

K(n,

k)，其中K(n,

k)

为积分核。函数映射形式：

将

xn

→

f

(n)，Xk

→

f˜(k)，可写为：˜N

−1∑︂x=0DFT:f

(y)

= f

(x)e−2πixy/NIDFT:

f(x)=

1N

−1∑︂˜f

(y)e2πixy/NN

y=0注：此常规写法并非酉变换。CUEB2026年7月4

日37

/

85傅里叶级数与离散傅里叶变换

离散傅里叶变换酉离散傅里叶变换

(Unitary

DFT)定义：

令

ωN2πi/N 1

√N:=

e

，引入归一化因子

使其满足酉变换性质：˜

1

N

−1∑︂x=0−xyDFT:f

(y)=

√N f

(x)ωN

1

N

−1∑︂y=0˜xyIDFT:f

(x)=

√N f

(y)ωNCUEB2026年7月4

日38

/

85傅里叶级数与离散傅里叶变换

离散傅里叶变换酉

DFT

的矩阵表示向量与矩阵形式：

令

Fx

=

[f

(0),

f

(1),

·

·

·,

f

(N

−

1)]T

，F˜y

=

[f˜(0),

f˜(1),

·

·

·,

f˜(N

−

1)]T

，则：Fx=

UDFTF˜y其中，酉离散傅里叶变换矩阵

UDFT

为：1UDFT:=

√N

⎢⎢⎢⎡1111 11 ωNω2Nω3NωN

−1N1ω2

ω4N Nω6N·

·

··

·

··

·

·ω2(N

−1)Nω3Nω6Nω9N·

·

·ω3(N

−1)N.⎢1.⎣

.

.......1ωN

−1Nω2(N

−1)Nω3(N

−1)N.

.

.·

·

·ω(N

−1)(N

−1)N⎤⎥⎥⎥⎥⎦CUEB2026年7月4

日39

/

85量子傅里叶变换量子傅里叶变换CUEB2026年7月4

日40

/

85量子傅里叶变换

狄拉克符号下的离散傅里叶变换QFT

的基本定义由于历史原因，量子计算视角下的傅里叶变换（Quantum

Fourier

Transform，QFT）定义如下：˜

1

N

−1∑︂f

(y)=

√N f

(x)

e2πixy/Nx=0其中，x,

y

∈

{0,

1,

·

·

·,

N

−

1}。定义

ωN

:=

e2πi/N

，上式可写为：˜

1

N

−1∑︂xyf

(y)=

√N ωNf

(x)x=0对应的离散傅里叶逆变换（IQFT）为：

1

N

−1∑︂y=0−xy

˜f

(x)=

√N ωNf

(y)CUEB2026年7月4

日41

/

85量子傅里叶变换

狄拉克符号下的离散傅里叶变换量子计算中的符号约定为与主流教材保持一致的书写习惯，用

j和

k

分别替代

x

和

y，QFT

写为：˜

1

N

−1∑︂j=0jkf

(k)=

√N ωNf

(j)量子态的线性叠加：设任意量子态

|Ψ⟩

由基态

{|0⟩,

|1⟩,

·

·

·,

|j⟩,

·

·

·,

|N−

1⟩}

构成，其线性叠加关系为：N

−1∑︂j=0|Ψ⟩

= f

(j)|j⟩

=

⎢⎣f

(0)f

(1)..f

(N

−

1)⎡ ⎤⎢ ⎥⎥⎦其中，系数

f

(j)

:=

⟨j|Ψ⟩，且满足归一化条件∑︁N

−1j=02|f

(j)|

≡

1。CUEB2026年7月4

日42

/

85量子傅里叶变换

狄拉克符号下的离散傅里叶变换QFT

算子与态矢变换对态矢

|Ψ⟩

进行

QFT

变换得到新空间的态矢

|Φ⟩，等价于乘上

DFT

算子UQFTN

（简写为

UQF）：|Φ⟩=

UQF|Ψ⟩设

|Φ⟩

由基态

{|0⟩,

|1⟩,

·

·

·,

|k⟩,

·

·

·,

|N−

1⟩}

构成，于是有：N

−1∑︂k=0˜⎢|Φ⟩

= f

(k)|k⟩

=

⎢⎣f˜(0)f˜(1)..f˜(N−

1)⎡ ⎤⎥⎥⎦其中，系数

f˜(k)

:=

⟨k|Φ⟩。CUEB2026年7月4

日43

/

85量子傅里叶变换

狄拉克符号下的离散傅里叶变换QFT

的重要性质

(1/3)性质

1：矩阵元1kj⟨k|UQF|j⟩=

√NωN物理意义：⟨k|UQF|j⟩本质上是提取算子

UQF

矩阵表示的第

(k

+

1,

j

+

1)

个元素。性质

2：算子作用于叠加态QF QFN

−1j=0|Φ⟩

=

U

|Ψ⟩

=

U

⟨j|Ψ⟩|N

−1∑︂ ∑︂j=0QFj⟩

= U

|j⟩⟨j|Ψ⟩（利用了

f

(j)

:=

⟨j|Ψ⟩）CUEB2026年7月4

日44

/

85量子傅里叶变换

狄拉克符号下的离散傅里叶变换QFT

的重要性质

(2/3)性质

3：系数变换推导N

−1∑︂j=0QF QF⟨k|Φ⟩

=

⟨k|U

|Ψ⟩

=

⟨k|U

|j⟩⟨j|Ψ⟩代入性质

1

的结论

⟨k|UQF1

√NkjN|j⟩

= ω

，可得：N

−1∑︂

1

kj⟨k|Φ⟩

= √NωN

⟨j|Ψ⟩j=0因为

f

(j)

:=

⟨j|Ψ⟩

且

f˜(k)

:=

⟨k|Φ⟩，于是得到：˜

1

N

−1∑︂j=0kjf

(k)=

√N ωNf

(j)CUEB2026年7月4

日45

/

85量子傅里叶变换

狄拉克符号下的离散傅里叶变换核心公式总结与积分核目前归纳出的

4

个重要

QFT

公式：

1

N

−1∑︂j=0kj⟨k|Φ⟩

=

√N ωN⟨j|Ψ⟩˜

1

N

−1∑︂j=0kjf

(k)=

√N ωNf

(j)˜

1

N

−1∑︂j=0kjf

(k)=

√N ωN⟨j|Ψ⟩1kj⟨k|UQF|j⟩=

√NωN注意：

DFT

本质是离散积分变换，存在积分核（IntegralKernel）K(k,

j)，使˜得

f

(k)

=∑︁N

−1j=0K(k,

j)f

(j)。因此有：⟨k|UQF|j⟩

≡

K(k,

j)CUEB2026年7月4

日46

/

85量子傅里叶变换

狄拉克符号下的离散傅里叶变换QFT

的重要性质

(3/3)性质

4：基矢的

QFT

变换j QF定义

|ϕ

⟩

:=

U |j⟩，利用完备性关系∑︁N

−1k=0|k⟩⟨k|=

I：N

−1N

−1∑︂ ∑︂(︃ )︃

1

1

N

−1∑︂k=0kj

kj|ϕj

⟩

= |k⟩⟨k|UQF|j⟩

= |k⟩ √N

ωN =

√N ωN|k⟩k=0

k=0性质

5：验证

UQF

的算子表达式由

UQF|j⟩

=

|ϕj

⟩

⇒

UQF|j⟩⟨j|

=

|ϕj

⟩⟨j|，两边对

j

求和并利用投影算子性质∑︁N

−1j=0|j⟩⟨j|=

I：QFN

−1∑︂j=0jU = |ϕ

⟩⟨j|CUEB2026年7月4

日47

/

85量子傅里叶变换

狄拉克符号下的离散傅里叶变换QFT

算子的矩阵表示j将|ϕ⟩

=1

√NN−1

kjk=0

NQFω

|k⟩

代入

U

=∑︁ ∑︁N

−1j=0j|ϕ

⟩⟨j|，可得：

1

UQF=

√NN

−1

N

−1∑︂

∑︂j=0

k=0kjωN

|k⟩⟨j|其对应的矩阵形式为：1UQF=

√N

⎢⎢⎢⎡111111 ωNω2Nω3NωN

−1N1ω2Nω4Nω6N·

·

··

·

··

·

·ω2(N

−1)N⎢1ω3Nω6Nω9N·

·

·ω3(N

−1)N.⎣

.........1ωN

−1Nω2(N

−1)Nω3(N

−1)N.

.

.·

·

·ω(N

−1)(N

−1)N⎤⎥⎥⎥⎥⎦CUEB2026年7月4

日48

/

85量子傅里叶变换

狄拉克符号下的离散傅里叶变换QFT

算子的酉性读者可以自行验证

UQF

具有酉性（Unitarity），即满足：UQFUQ†F=UQ†FUQF=

I总结QFT

将计算基下的量子态映射到频域基下的量子态，其核心在于利用复数单位根

ωN

构造的酉矩阵实现态矢量的线性变换。CUEB2026年7月4

日49

/

85量子傅里叶变换

量子傅里叶变换的电路设计电路设计的核心目标回顾

QFT

对计算基矢的作用：QFT

1

N

−1∑︂k=0kj|j⟩

−→

√N ωN|k⟩核心问题：上述表达式中

j和

k

均为十进制整数。量子电路设计的主要任务，是将该变换从

十进制表示

转化为

二进制表示，以便用基本量子门（如

Hadamard

门、受控旋转门）实现。CUEB2026年7月4

日50

/

85量子傅里叶变换

量子傅里叶变换的电路设计维度与比特数约定维度说明：UQF

∈

CN

×N

，其中

N∈

Z+。比特数选择：若要设计多量子比特系统，量子比特数

n

应满足：n

=

⌈log2

N

⌉简化约定：为讨论简便，以下默认

N=

2n，即仅考虑

N

为

2

的整数幂的情形。此时j,

k

∈

{0,

1,

2,

.

.

.

,

2n

−

1}。CUEB2026年7月4

日51

/

85量子傅里叶变换

量子傅里叶变换的电路设计二进制表示与十进制关系令量子态的二进制表示为：|k⟩

=

|kn−1kn−2

·

·

·

k1k0⟩|j⟩

=

|jn−1jn−2

·

·

·

j1j0⟩,其中

jl,

kl

∈

{0,

1}，0

≤

l

≤

n

−

1。十进制与二进制的关系：n−1n−1j

=

j 2 +

jn−2n−22 +

·

·

·00n−1∑︂l=0+

j

2

=

jl2ln−1n−1k

=

k 2 +

kn−2n−22 +

·

·

·0n−1∑︂s=00 s+k

2

= k

2sCUEB2026年7月4

日52

/

85量子傅里叶变换

量子傅里叶变换的电路设计关键推导：相位指数的二进制展开2πi

QFT

变换中的相位因子为

ωkj

=

(︁e )︁2nkj2n

。2n因此，关键在于弄清楚

kj

的二进制表示。展开过程：=kj

1

2n

2n(︄n−1∑︂s=0ks2s)︄

(︄n−1∑︂l=0)︄jl2l

=n−1∑︂s=0ks[︄ (︄n−1∑︂l=0jl2l+s−n)︄]︄CUEB2026年7月4

日53

/

85量子傅里叶变换

量子傅里叶变换的电路设计指数范围的约束与最终形式约束条件：在二进制小数表示中，指数

l

+

s

−

n

必须小于

0（即对应小数位），故要求l

+

s

−

n

<

0

⇒

l

≤

n

−

1

−

s。最终展开式：kj2n=

k0(︃j+jn−1

n−221 22+

·

·

·

+j02n)︃+

k1(︃jn−221+

·

·

·

+

j0

2n−1)︃+

·

·

·

+

kj0n−1

21=n−1∑︂ks[︄ (︄n−1−s∑︂jl2l+s−n)︄]︄s=0 l=0此式揭示了

QFT

电路中受控旋转门角度的来源，是构建量子电路的直接依据。CUEB2026年7月4

日54

/

85量子傅里叶变换

量子傅里叶变换的电路设计验证示例与二进制小数定义验证示例

(n

=

3)：对于

n

=

3，相位指数展开为：=

k0(︃kj8 2j

j2

1j022 23)︃+ + +

k1(︃j12j022)︃+ +

kj02

2对应的相位因子可分解为：kj8ω =e2πi(︁ )︁0(j2j1k +

+j02122

23)e2πi(︁ )︁1(j1k +j021

22)(︁ )︁k2j0e2πi

2二进制小数形式定义：为简化书写，定义二进制小数如下：021j00.j

:=

,1

02j

j1

022(︃ )︃0.j

j

:=

+

,·

·

·n−1 00.j ···

j:=(︃+j

jn−1

n−221

22+

·

·

·

+j02n)︃CUEB2026年7月4

日55

/

85量子傅里叶变换

量子傅里叶变换的电路设计QFT

态矢的张量积展开

(1/2)将

QFT

变换

|j⟩

→

1

√2n∑︁nk=02−1

kj2nω

|k⟩

展开：

Step

1:

展开求和符号

1

2n√

·

·

·1 1∑︂ ∑︂k0=0

kn−1=0(︁ )︁k0(︂jn−1e2πi

21+···+j0

2n)︂2πi···

e(︁ )︁kn−1j0210

1

n−1|k

k

·

·

·

k

⟩Step

2:

态矢分离为张量积

1

2n√

·

·

·1 1∑︂ ∑︂k0=0

kn−1=0(︁ )︁k0(︂jn−1e2πi

21+···+j0

2n)︂0|k

⟩

⊗

·

·

·

⊗

e(︁ )︁kj02πin−121

|kn−1⟩CUEB2026年7月4

日56

/

85量子傅里叶变换

量子傅里叶变换的电路设计QFT

态矢的张量积展开

(2/2)利用二进制小数定义，上式可紧凑地写为：

1

√2n ·

·

·1 1 n−1∑︂ ∑︂

⨂︂e2πi(︁ )︁k0.j

···jl l 0|kl⟩k0=0 kn−1=0

l=0Step

3:

提取各量子比特的独立求和由于各项相互独立，可将多重求和转化为各量子比特态的张量积：

1

√2n⎝1∑︂kn−1=0(︁ )︁kj0e2πin−121

|kn−1⎛ ⎞⟩⎠

⊗

·

·

·

⊗(︄1∑︂k0=0(︁ )︁k0(︂jn−1e2πi

21+···+j0

2n)︂0|k

⟩)︄最终可统一表示为：

1

√2n[︄n−1 1⨂︂

∑︂l=0

kl=0e2πi(︁ )︁k0.j

···jl l 0|kl⟩]︄CUEB2026年7月4

日57

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85量子傅里叶变换

量子傅里叶变换的电路设计图4-1

双量子比特QFTCUEB2026年7月4

日58

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85量子傅里叶变换

量子傅里叶变换的电路设计图4-2

三量子比特QFTCUEB2026年7月4

日59

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85量子傅里叶变换

量子傅里叶变换的电路设计单量子比特求和化简回顾上一节的张量积形式，首先分析括号内的求和项：1∑︂kl=02πi(︁ )︁k0.j

···jl l 0le |k

⟩展开求和（注意

kl

∈

{0,

1}）：=

(︁e2πi·0)︁0.jl···j0

|0⟩

+

(︁e2πi·1)︁0.jl···j0

|1⟩由于

e0

=1，上式简化为：=

|0⟩

+

e2πi(0.jl···j0)|1⟩CUEB2026年7月4

日60

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85量子傅里叶变换

量子傅里叶变换的电路设计QFT

的最终张量积形式将化简后的结果代回，得到

Q