量子计算与金融第6章 数论与抽象代数基础

量子计算与金融QuantumComputingand

Finance第六章

数论与抽象代数基础CUEB2026年7月4

日1

/

111Contents1数论基础知识2初识抽象代数3抽象代数与群论应用4综合应用CUEB2026年7月4

日2

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111目录—

第一部分12数论基础知识模的含义模的二元运算与同余关系常用的同余关系欧拉函数与欧拉定理中国剩余定理初识抽象代数群论群的定义与性质常见的群对称群与置换群陪集（Coset）商群与共轭关系拉格朗日定理与群同态群同构与半直积环论基础环的基础知识与概念特征与子环理想子环商环环同态与环同构多项式环环上的左模一般线性群与特殊线性群正交群与特殊正交群酉群与特殊酉群李群

(Lie

Group)CUEB2026年7月4

日3

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111目录—

第二部分3抽象代数与群论应用剩余类模n剩余类环模n加法群与模n乘法群模n加法群模n乘法群与循环群的关系原根与欧拉函数:从模乘法群到模加法群中国剩余定理与模n乘法群N

次单位根群

µN基本要件核心性质Z

×

Z∗N

群与直积群Z×Z∗N

群4综合应用对称群

S3

综合举例非对称加密与RSA算法离散对数问题基本性质在密码学中的应用:Diffie-Hellman协议(DHP)隐藏子群问题

(HSP)CUEB2026年7月4

日4

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111数论基础知识数论基础知识CUEB2026年7月4

日5

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111数论基础知识

模的含义模的二元运算与同余关系模（Module）的两种表示：二元运算符：表示求余数运算。例如

a

mod

p

=

b。同余关系：表示两个数除以模数后余数相同。同余关系的定义：

若

a

≡

b

(mod

N

)，等价于

a

mod

N

=

b

mod

N

，也等价于

N

|

(a

−

b)（即

(a

−

b)

能被

N

整除），或

(a

−

b)

mod

N

=

0。模运算与同余关系的严格区分：

从模运算的角度看，对任意整数，恒有：a

=aN⌊︂ ⌋︂×

N

+

(a

mod

N

)CUEB2026年7月4

日6

/

111数论基础知识

模的含义常用模运算的性质对于正整数

p

和

N：当

0

<

p

<

N

时：p

mod

N

=

p。当

N

<

p

<

2N

时：p

mod

N

=

p

−

N

。例如

11

mod

7

=

4。对于

−p

mod

N

的情况（假设

0

<

p,

0

<

N

且

p

mod

N

=

x）：−p

mod

N=

(iN

−

x)

mod

N (i

=

1,

2,

3,

·

·

·

)示例：−11

mod

7

=

(7

−

(11

mod

7))

mod

7

=

(7

−

4)

mod

7

=

3

mod

7

=

3CUEB2026年7月4

日7

/

111数论基础知识

模的含义常用的同余关系性质同余关系是一种等价关系，具备以下基本性质：等价关系：①自反律：a

≡

a

(mod

N

)；②对称律：a

≡

b

⇔

b

≡

a；③传递律：a

≡

b,b

≡

c

⇒

a

≡

c。代数运算律：可加律：a≡

b,

c

≡

d⇒

(a

+

c)

≡

(b

+

d)数乘律：a≡

b

⇒

ka

≡

kb可乘律：a≡

b,

c

≡

d⇒

ac

≡

bd乘幂律：a≡

b

⇒

al

≡

bl消去律：若

l,

m

互质，则

la

≡

lb

(mod

N

)

⇒

a

≡

b

(mod

N

)。CUEB2026年7月4

日8

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111数论基础知识

模的含义同余关系的高级应用多项式的同余替换：设整系数多项式：n∑︂i=0f

(x)

=

aiin∑︂i=0x 和

g(x)

=

bixi若对任意

i

皆有系数同余：ai

≡

bi

(mod

N

)，则对于任意满足

a

≡

b

(mod

N

)

的整数

a

和

b，均有：f

(a)

≡

g(b)

(mod

N

)CUEB2026年7月4

日9

/

111数论基础知识

欧拉函数与欧拉定理欧拉函数

φ(n)

的定义与计算定义：

φ(n)

表示小于

n且与

n互质的正整数的个数。φ(7)=

6

（1,2,3,4,5,6

均与

7

互质）φ(8)=

4

（仅

1,3,5,7

与

8

互质）φ(6)=

2

（仅

1,5

与

6

互质）1

2k

k

k1 2 mm计算公式：

若

n

的质因数分解为

n

=

p

p

·

·

·

p

，则：m∏︂i=1(︃

1φ(n)=

n

· 1−

pi)︃（注：仅需考虑

n

的不同质因数，指数

ki

不影响公式形式）CUEB2026年7月4

日10

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111数论基础知识

欧拉函数与欧拉定理欧拉函数计算示例与特殊情形计算示例：(︁12)︁

(︁13)︁φ(12)=12·

1

− 1

− =

4（212

=

2

·

3，互质数为

1,5,7,11）(︁17)︁

(︁113)︁6

127

13φ(91)=91·

1

− 1

− =

91

· · =

72特殊情形：当

p

为素数时：φ(p)

=

p

−

1当作用于素数幂

pk

时：φ(pk)=

pk

−

pk−1CUEB2026年7月4

日11

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111数论基础知识

欧拉函数与欧拉定理欧拉定理与费马小定理定理

6-1：欧拉公式（欧拉定理）

若

a

与

n

互质，则：aφ(n)≡

1(mod

n)定理

6-2：费马小定理

对于任意正整数

a

及与其互素的素数

p，有：ap−1≡

1(mod

p)注：

若

n是素数，则

φ(n)

=

n

−

1，费马小定理即为欧拉定理的特例。CUEB2026年7月4

日12

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111数论基础知识

中国剩余定理中国剩余定理（孙子定理）定理

6-3：

设

p1,

p2,

·

·

·,

pk

是两两互质的正整数（即

gcd(pi,

pj

)

=

1），对于任意整数

a1,

a2,

·

·

·,

ak，同余方程组：⎧⎪⎨⎪⎩12x

≡

a (mod

p1)x

≡

a (mod

p2)..x

≡

ak (mod

pk)在模

m

=

p1p2

·

·

·

pk

下有唯一解，且解的形式为：k∑︂i=1x

≡ aM

Ni i

i(mod

m)pi其中，Mi

=

m

，且

Ni

为

Mi

模

pi

的同余逆元。CUEB2026年7月4

日13

/

111数论基础知识

中国剩余定理“物不知数”问题历史渊源：

该定理源自中国古代数学著作《孙子算经》（约公元3世纪）中的“物不知数”问题。经典示例：⎧⎨⎪⎩x

≡

2⎪x≡2(mod

3)x≡3(mod

5)(mod

7)利用中国剩余定理，可计算出该方程组的最小正整数解为：x=

23CUEB2026年7月4

日14

/

111初识抽象代数初识抽象代数CUEB2026年7月4

日15

/

111初识抽象代数

群论群的定义与基本性质群的定义：

设

G

是非空集合，配备二元运算

(·)，若满足：结合律：∀a,

b,

c

∈

G,

(a

·

b)

·

c

=

a

·

(b

·

c)单位元：存在

e

∈

G，使得

∀a

∈

G,

e

·

a

=

a

·

e

=

a逆元：∀a

∈

G，存在

a−1

∈

G，使得

a

·

a−1

=

a−1

·

a

=

e则称

(G,

·)为群。若运算满足交换律（a

·

b

=

b

·

a），则称

G

为阿贝尔群。基本性质：单位元唯一，且每个元素的逆元唯一。消去律成立：a

·

b

=

a

·

c

⇒

b

=

c。CUEB2026年7月4

日16

/

111初识抽象代数

群论子群与正规子群子群（Subgroup）：

由群的子集构成的群。非空子集

H

⊆

G

是子群，当且仅当：∀a,b∈H⇒a·b−1∈

H通常记作

H

≤

G（若为真子群，部分教材记为

H

<

G）。正规子群（Normal

Subgroup）：

若群

G

的子群

H

满足对任意

g

∈

G

都有gHg−1

⊆

H，则称

H

为

G

的正规子群，记作

H

◁

G。CUEB2026年7月4

日17

/

111初识抽象代数

群论常见的群类型平凡群：仅含有一个元素（单位元）的群。有限群：元素个数有限的群，其个数称为群的阶，记作

|G|。有限群中每个元素都有阶。阿贝尔群（交换群）：运算满足交换律的群。两个子群的乘积

HK

仍为子群。阿贝尔群的子群均为正规子群。有限阿贝尔群的结构可完全分类（拆解为“素数幂阶循环群”的组合）。CUEB2026年7月4

日18

/

111初识抽象代数

群论循环群与生成元定义：

若群

G

中存在元素

a，使得

G

中每个元素均可表示为

a

的有限次幂，则称

a

为生成元，G

称为循环群，记作

G

=

⟨a⟩。常见例子：无限循环群：整数加法群

(Z,

+)，生成元为

1

和

−1。任意无限循环群与(Z,

+)

同构。有限循环群：模

N

剩余类加法群

(ZN

,

+)，阶为

N

，生成元有

φ(N

)

个。常用

CN

或

ZN

表示。两个有限循环群同构，当且仅当它们的阶相等。CUEB2026年7月4

日19

/

111初识抽象代数

群论循环群的性质与元素的阶常用性质：有限循环群的子群仍为循环群。阶为素数的群必为循环群。在有限循环群

G

=

⟨a⟩

中，元素

ak

的阶为

n/

gcd(n,

k)。群的阶

vs

元素的阶：群的阶

|G|：群中元素的总个数。元素的阶

ord(a)：满足

an

=

e

的最小正整数

n。核心推论：在有限循环群中，生成元的阶等于群的阶（ord(a)

=

|G|

=

n）。若

G

是

n

阶循环群，当且仅当

d

|

n

时，G

中存在阶为

d

的元素。CUEB2026年7月4

日20

/

111初识抽象代数

群论表6-1

C5

的乘法表表:

C5

的乘法表抽象运算符+01234001234112340223401334012440123CUEB2026年7月4

日21

/

111初识抽象代数

群论四阶群与克莱因四元群四阶群：由

{e,

a,

b,

c}

4个元素构成的群。分类结论：

若这4个元素能成群，仅有两种可能：四阶循环群：C4克莱因四元群：V4注意：

克莱因四元群

V4

是阿贝尔群，但不是循环群。CUEB2026年7月4

日22

/

111初识抽象代数

群论表6-2

四阶循环群与克莱因四元群V4的乘法表表:

四阶循环群与克莱因四元群V4的乘法表四阶循环群克莱因四元群V4

eabc

eabceeabceeabcaabceaaecbbbceabbceacceabccbaeCUEB2026年7月4

日23

/

111初识抽象代数

群论原根（Primitive

Root）数论中的定义：

若整数

a

与

m

互质（gcd(a,

m)

=

1），且

a

对模

m

的阶等于欧拉函数

φ(m)，则称

a

为模

m

的原根。概念辨析：

原根与群论中的生成元在本质上没有区别，仅仅是由于历史原因在不同学科中产生了不同的命名。CUEB2026年7月4

日24

/

111初识抽象代数

群论对称群（Symmetric

Group）定义：

设

M

=

{1,

2,

3,

·

·

·,

n}，对称群是关于集合

M

所有置换（Permutations）的集合，记作

Sym(M

)

或

Sn。Sn

是一个

n!

阶群。最常用的对称群为

S3，它是一个

非阿贝尔群。S3

的直观理解：

考虑等边三角形的3个顶点

X

=

{A,

B,

C}，其所有置换共有3!

=

6

种：S3

=

{e,

p,

q,

r,

s,

t}其中

e

为单位元，其余元素对应三角形的旋转与翻转操作。CUEB2026年7月4

日25

/

111初识抽象代数

群论S3

的映射表示与运算双射映射表示：

将顶点

A

→

C,

B

→

A,

C

→

B

的置换记为：χ

=A B C(︃ )︃或(︃12

3C A B 31

2)︃群运算规则：

用

◦

表示运算，q

◦

r

表示先执行

r，再执行

q。生成元表示：

设

R

为顺时针旋转

120◦，F

为水平翻转，则：3 2 2S3

=

⟨R,

F

:

R

=

F

=

(RF

)

=

e⟩也可写为轮换形式：S3

=

{(1),

(23),

(13),

(12),

(123),

(132)}。CUEB2026年7月4

日26

/

111初识抽象代数

群论图6-1

等边三角形在欧几里得平面上的基本变换CUEB2026年7月4

日27

/

111初识抽象代数

群论表6-3

S3

对称群基本性表:

S3

对称群基本性质元素符号与顶点关系类别几何含义e(A)(B)(C)或(1)(2)(3)恒等元，表示恒等置换单位映射，旋转0◦p(ABC)或(123)三阶元素，表示3-循环逆时针旋转120◦q(ACB)或(132)三阶元素，表示3-循环顺时针旋转120◦r(BC)或(23)二阶元素，表示对换沿r轴翻转s(AC)或(13)二阶元素，表示对换沿s轴翻转t(AB)或(12)二阶元素，表示对换沿t轴翻转CUEB2026年7月4

日28

/

111初识抽象代数

群论表6-4

S3

群运算表表:

S3

群运算表◦epqrsteepqrstppqestrqqeptrsrrtseqpssrtpeqttsrqpeCUEB2026年7月4

日29

/

111初识抽象代数

群论表6-5

S3

群元素对应关系表:

S3

群元素对应关系X

=

{1,

2,

3}eqprstY

=

{E,

R,

F

}ERR2FRFF

R2CUEB2026年7月4

日30

/

111初识抽象代数

群论置换群与奇偶性置换群（Permutation

Group）：

对称群的子群称为置换群。每个有限群都同构于某个置换群。奇偶置换：

设

n

元置换

σ

=1 2 ·

·

·

nl1 l2 ·

·

·

ln(︃ )︃：若排列

l1l2

·

·

·

ln

的逆序数为偶数，则

σ

为偶置换。否则为奇置换。S3

示例：偶置换：e,

(123),

(132)奇置换：(23),

(13),

(12)CUEB2026年7月4

日31

/

111初识抽象代数

群论Cayley

定理定理

6-4：Cayley

定理

任何有限群

G

都可以通过“左乘作用”嵌入某个对称群。任意

n

阶群

G

都是对称群

Sn

的一个子群。证明了有限群的“置换本质”，将抽象群论与具体对称操作联系起来。左正则表示（Left

Regular

Representation）：

设

G

=

{g1,

·

·

·,

gn}，对每个g

∈

G，定义映射

Lg

:

G

→

G，使得：Lg

(h)

=

g

·

h即“左乘

g”的变换。CUEB2026年7月4

日32

/

111初识抽象代数

群论Cayley

定理的局限性与

S3

子群局限性：嵌入

Sn

往往不够“经济”，当

n较大时，Sn

结构极其复杂。仅保证存在性，实际应用中需结合群表示论等工具。S3

的子群（置换群的“零件”）：二阶子群：H

=

{e,

(12)}（及其共轭

{e,

(13)},

{e,

(23)}）。三阶子群：K

=

{e,

(123),

(132)}，这是一个

C3

循环群。CUEB2026年7月4

日33

/

111初识抽象代数

群论陪集的基本概念定义：

给定群

G

的子群

H，取

g

∈

G，与

H

中元素运算形成的集合称为陪集。左陪集：gH

=

{gh

|

h

∈

H}右陪集：Hg

=

{hg

|

h

∈

H}记号与商集：g

称为陪集的代表元。全体左陪集构成的集合记作

G/H，称为

G

关于

H

的商集。陪集中任一元素均可作为代表元。CUEB2026年7月4

日34

/

111初识抽象代数

群论陪集的常用推论若

g1,

g2

属于同一左陪集

gH，则必存在

h1,

h2

∈

H，使得g1

=

gh1,

g2

=

gh2。G

的每个元素都属于且仅属于

H

的一个左陪集（陪集构成

G

的一个划分）。判定准则：g1H

=

g2H

⇐⇒

g1−1g2

∈

H。等价关系应用：

若

g1,

g2

在同一左陪集，则当且仅当存在

h

∈

H，使得g2

=

g1h。（证明利用子群的封闭性与逆元存在性：g2=gh2=(g1h−11)h2=

g1(h−11h2)）CUEB2026年7月4

日35

/

111初识抽象代数

群论陪集的直观理解与示例直观理解：

陪集如同子群在群中的“平移”。陪集一般不是群（通常不含单位元）。平移的“步长”由代表元

g

决定。整数加法群示例：

设

G

=

Z，子群

H

=

3Z

=

{3k

|

k

∈

Z}。左陪集

1

+

H

=

{1

+

3k

|

k

∈

Z}

=

{·

·

·,

−5,

−2,

1,

4,

7,

·

·

·

}。此处“乘法”为“加法”，“左乘”即“加平移量”。陪集即剩余类（Residue

Class）。CUEB2026年7月4

日36

/

111初识抽象代数

群论商群（Quotient

Group）定义：

设

G

是群，N

是

G

的正规子群（∀g

∈

G,

gN

g−1

=

N

）。则

G

关于

N的左陪集集合

G/N

=

{gN

|

g

∈

G}

在运算

(gN

)(hN

)

=(gh)N

下构成群，称为商群。基本性质：阶的性质：若

G

为有限群，则

|G/N

|

=

|G|/|N

|。对应性质：商群

G/N

的子群与

G

中包含

N

的子群存在一一对应关系。CUEB2026年7月4

日37

/

111初识抽象代数

群论共轭关系与共轭类共轭关系：

若存在

g

∈

G

使得

b

=

gag−1，则称

a

与

b

共轭。共轭是群上的等价关系：自反性：a

=

eae−1对称性：若

b

=

gag−1，则

a

=

g−1bg传递性：若

b

=

gag−1

且

c

=

hbh−1，则

c

=

(hg)a(hg)−1共轭类：

与

a

共轭的所有元素构成的集合，记为

Ga

=

{gag−1

|

g

∈

G}。群

G

可被划分为互不相交的共轭类的并集。若

G

为阿贝尔群，则每个元素单独构成一个共轭类（|Ga|

=

1）。CUEB2026年7月4

日38

/

111初识抽象代数

群论共轭类与正规子群核心性质：正规子群的等价刻画：H

⊴

G

⇐⇒

g−1Hg

=

H

对所有

g

∈

G

成立。即正规子群在共轭作用下保持不变。结构特征：正规子群是若干共轭类的并集。若

N

⊴

G，则对任意

n

∈

N

，其共轭类

Gn

⊆

N

。类的一致性：若

b

∈

Ga，则

Gb

=

Ga。CUEB2026年7月4

日39

/

111初识抽象代数

群论拉格朗日定理（Lagrange’s

Theorem）定理

6-5：

若

G

是有限群，H

是

G

的子群，则

|H|

整除

|G|。|G|=|H|·[G:H]其中

[G

:

H]是

H

在

G

中的指数（即陪集个数）。重要推论：有限群中每个元素的阶整除群的阶（因为元素

a

的阶等于

⟨a⟩

的阶）。素数阶群必为循环群（仅有平凡子群）。CUEB2026年7月4

日40

/

111初识抽象代数

群论群同态（Group

Homomorphism）定义：

映射

f

:

G

→

H

满足

∀a,b

∈

G,

f

(a

·

b)

=

f

(a)

⊗

f

(b)。核（Kernel）与像（Image）：ker

f

=

{a

∈

G

|

f

(a)

=

eH

}，ker

f

是

G

的正规子群。im

f

=

{f

(a)

|

a

∈

G}，im

f

是

H

的子群。基本性质：保持单位元：f

(eG)

=

eH保持逆元：f

(a−1)

=

f

(a)−1CUEB2026年7月4

日41

/

111初识抽象代数

群论同态集合

Hom(G,

H)记从

G

到

H

的所有群同态构成的集合为

Hom(G,

H)，其中

G

为源，H

为目标，f

为态射。常用结论：当

H

为阿贝尔群时，Hom(G,

H)

按逐点运算构成阿贝尔群（同态群）。若

G

是有限群，Hom(G,

C×)被称为特征标群

Gˆ。若

G

=

H，则称为自同态，记作

End(G)。CUEB2026年7月4

日42

/

111初识抽象代数

群论群同构与第一同构定理群同构：

若存在双射

f

:

G

→

H

且保持运算（f

(ab)

=

f

(a)f

(b)），则称

G

与H

同构，记作

G

∼=H。定理

6-6：第一同构定理（同态基本定理）G/

ker

f

∼=im

f特例：若

f

是满同态，则

G/

ker

f

∼=H。直观理解：存在自然同构

ϕ

:

G/

ker

f

→

im

f

，使得

ϕ(g

ker

f

)

=

f

(g)。CUEB2026年7月4

日43

/

111初识抽象代数

群论自同构群

Aut(G)定义：

群

G

到自身的所有自同构映射构成的群，单位元为恒等映射

idG。重要性质与示例：若

G

为阿贝尔群，Aut(G)

不一定是阿贝尔群。例如：Aut(Z2×

Z2)

∼=S3。若

G

为循环群，则

Aut(G)

是阿贝尔群。例如：Aut(Zn)

=∼

(Z/nZ)×。Aut(S3)

∼=S3。CUEB2026年7月4

日44

/

111初识抽象代数

群论半直积（Semidirect

Product）定义：

记作

G

∼=H

⋊ϕ

K，其中：H

⊴

G（H

是正规子群），K

≤

G，且

H

∩

K

=

{e}。ϕ

:

K

→

Aut(H)

是群同态，描述

K

对

H

的“共轭作用”。运算规则：

对

h1,

h2

∈

H

和

k1,

k2

∈

K：(h1,

k1)(h2,

k2)=

(h1

·

ϕ(k1)(h2),

k1k2)半直积是直积的推广，当

ϕ

为平凡同态时，退化为直积。CUEB2026年7月4

日45

/

111初识抽象代数

环论基础环的定义与公理定义：

环通常记为

R

或

(R,

+,

×)，是配备两种二元运算（抽象加法与抽象乘法）的集合。公理体系（∀a,

b,

c

∈

R）：加法阿贝尔群：(R,

+)

是阿贝尔群，单位元记为

0（或

θ），a

的加法逆元记为

−a。乘法封闭性：a

×

b

∈

R。乘法结合律：(a

×

b)

×

c

=

a

×

(b

×

c)。分配律：a

×

(b

+

c)

=

(a

×

b)

+

(a

×

c), (a

+

b)

×

c

=(a

×

c)

+

(b

×

c)结构本质：

环

=

加法阿贝尔群

+

乘法半群

+

分配律。CUEB2026年7月4

日46

/

111初识抽象代数

环论基础代数结构的层级关系基于运算性质的逐步追加，可构建以下代数结构层级：广群

(Groupoid)：仅满足封闭性。半群

(Semigroup)：广群

+

结合律。（注：(R,

×)

通常是半群）幺半群

(Monoid)：半群

+

单位元。群

(Group)：幺半群

+

每个元素有逆元。阿贝尔群：群

+

交换律。循环群：阿贝尔群

+

存在生成元。环的分类：有限环/无限环：依据元素个数。交换环：乘法满足交换律（不可称“阿贝尔环”）。CUEB2026年7月4

日47

/

111初识抽象代数

环论基础含幺环与整环含幺环

(Ring

With

Identity)：

乘法存在单位元

e（或

1）。注意：含幺环

̸=

交换环（两者独立）。记号约定：加法单位元为

0/θ，乘法单位元为

e/1；加法逆元为

−a，乘法逆元为

a−1。整环

(Integral

Domain)：

非平凡、含幺、交换、无零因子的环。零因子：非零元

a,b

满足

a

×

b

=

0。等价陈述：任意非零元相乘

̸=

0

⇐⇒

0

̸=

e

且无零因子。示例：Z,Q,

R,

Zp

(p为素数)。CUEB2026年7月4

日48

/

111初识抽象代数

环论基础除环与域除环

(Division

Ring)：

非零元集合

(R

\

{0},

×)

构成群。零元

0

是加法群必需的，但阻碍乘法成群，故需移除。域

(Field)：

同时满足以下条件的代数结构

F

：(F,

+)

是加法阿贝尔群。(F

\

{0},

×)

是乘法阿贝尔群。满足分配律。域

vs

整环：域

⇒

整环（保证乘法逆元存在）。整环

⇏

域（但有限整环

⇒

有限域）。应用：密码学、群表示论、量子计算。CUEB2026年7月4

日49

/

111初识抽象代数

环论基础环的特征

(Characteristic)定义：

设

R

为含幺环，满足

n

·

e

=

0

的最小正整数

n

称为特征，记作char(R)。若不存在，则

char(R)

=

0。常用结论：含幺交换环的特征

=

0

或单位元的加法阶。整环/域的特征：必为

0

或

素数。有限域的特征必为素数。若无零因子，则

char(R)

=

0

或素数。∀a

∈

R,

char(R)

·

a

=

0。示例：char(Z)

=

0，char(Zn)

=

n。CUEB2026年7月4

日50

/

111初识抽象代数

环论基础子环与子域子环

(Subring)：

非空子集

S

⊆

R

满足：(S,

+)

是

(R,

+)

的子群。S

对乘法封闭。若

R

含幺，则

e

∈

S。判别法：

∀a,b

∈

S

⇒

a

−

b

∈

S

且

ab

∈

S。示例与注意：常见子环：Z

⊆

Q，上三角矩阵

⊆

Mn(R)，mZ

⊆

Z。注意：含幺交换环的子环未必是含幺交换环。CUEB2026年7月4

日51

/

111初识抽象代数

环论基础子域与扩域子域

(Subfield)：

设

F

是域，F

′

⊆

F

是子环。若

F

′

本身也是域，则称

F

′为

F

的子域，F

为

F

′

的扩域。关键区别：子环

̸=

子域。例：Z

是

Q

的子环，但不是

Q

的子域（因为非零元无乘法逆元）。CUEB2026年7月4

日52

/

111初识抽象代数

环论基础理想子环

(Ideal)定义：设

R

是环，非空子集

I

⊆

R

满足

(I,

+)

是子群。左理想：∀r

∈

R,

a

∈

I，有

ra

∈

I（乘法吸收律）。右理想：∀r

∈

R,

a

∈

I，有

ar∈

I。双边理想：同时满足左、右理想条件。注意：交换环的理想都是双边理想。理想是环的“正规子环”，但子环不一定是理想。零元与单位元：理想一定包含环的零元

θ，但未必包含单位元

e。若

e∈

I

⇔

I

=

R。环与子环的单位元无必然联系（可以都没有，可以只有一个有，或都有但不相等）。CUEB2026年7月4

日53

/

111初识抽象代数

环论基础常见的理想概念零理想：{θ}。单位理想：R

自身。平凡理想：零理想和单位理想。真理想：I

⊊

R。单环：只有平凡理想的环。例子：nZ

⊆

Z

是双边理想。CUEB2026年7月4

日54

/

111初识抽象代数

环论基础主理想、素理想与极大理想主理想

(Principal

Ideal)由单个元素

a

∈

R

生成的理想，记作

(a)。交换环中

(a)

=

{ra

|

r

∈

R}。例如：(6)

=

6Z，(x2+

1)

⊆

R[x]。素理想

(Prime

Ideal)真理想

P

，若

ab

∈

P

⇒

a

∈

P

或

b

∈

P

。例如：pZ

⊆

Z（p

为素数）。极大理想

(MaximalIdeal)真理想

M

，不存在真理想

I

使得

M

⊊

I

⊊

R。例如：当

m

为素数时，mZ

是Z

的极大理想。注：域没有非平凡理想，零理想是域的极大理想。当且仅当环是域时，零理想是含幺交换环的极大理想。CUEB2026年7月4

日55

/

111初识抽象代数

环论基础商环

(Quotient

Ring)定义：设

I

是环

R

的双边理想，陪集集合

R/I

=

{a

+

I

|

a

∈

R}

在运算(a

+

I)

+

(b

+

I)

=

(a

+

b)

+

I, (a

+

I)(b

+

I)

=

ab

+

I下构成的环称为商环。为什么需要双边理想：加法阿贝尔群保证陪集加法，乘法吸收律（ra,

ar

∈

I）保证商群乘法良定义，故需双边理想。含幺交换环的性质：I

是素理想

⇔

R/I

是整环。I

是极大理想

⇔

R/I

是域。M

是极大理想

⇒

M

是素理想。CUEB2026年7月4

日56

/

111初识抽象代数

环论基础环同态与环同构环同态：映射

ϕ

:

R

→

S

满足：ϕ(a

+

b)

=

ϕ(a)

+

ϕ(b)ϕ(ab)=

ϕ(a)ϕ(b)环同构：若

ϕ

是双射，记作

R

∼=S。环同态基本定理（第一同构定理）：R/

kerϕ

∼=Im(ϕ)⊆S例子：π

:

Z

→

Z/nZ，π(a)

=

a

mod

n，其核为

nZ。对比：与群的同态、同构及第一群同构定理结构类似。CUEB2026年7月4

日57

/

111初识抽象代数

环论基础多项式环

(Polynomial

Ring)定义：记作

R[x]，形如

f

(x)

=

anxn

+

·

·

·

+

a1x

+

a0（ai

∈

R）的全体多项式构成的环。性质：若

R

是整环，则

R[x]

也是整环，且

deg(f

g)

=

deg

f

+

deg

g。域上多项式：设

F

为域，x

为不定元，系数

ai

∈

F

，x

与系数满足交换律。运算：f

(x)

+

g(x)

=max(n,m)∑︂i=0(ai+

bi)xif

(x)

·

g(x)

=(︄n+m k∑︂ ∑︂k=0

i=0aibk−i)︄xkCUEB2026年7月4

日58

/

111初识抽象代数

环论基础多项式环的理想与不可约多项式主理想整环

(PID)：设

F

是域，F

[x]

中每个理想均为主理想

(f

(x))，f

(x)

为首一多项式。不可约多项式：deg

f

≥

1，无法分解为两个次数更低的非零多项式之积。核心等价关系：f

(x)

不可约

⇔

(f

(x))

是极大理想应用：不可约多项式作用类似素数。若

f

(x)

|

gh

⇒

f

(x)

|

g

或

f

(x)

|

h。商环构造域的例子：Q[x]/(x2−2)∼=Q(√2)F2[x]/(x2

+

x

+

1)

∼=

F4CUEB2026年7月4

日59

/

111初识抽象代数

环论基础环上的左模

(Left

Module)定义：设

R

是含幺环，(M,

+)

是加法交换群。若存在映射

R

×

M

→

M

，记

(r,

m)

↦→

r

·

m，满足对任意

r,

s

∈

R

和

m,

n

∈

M：r

·

(m

+

n)

=

r

·

m

+

r

·

n(r

+

s)

·

m

=

r

·

m

+

s

·

m(r

·

s)

·

m

=

r

·

(s

·

m)1R

·

m

=

m则称

M

为环

R

上的左模。CUEB2026年7月4

日60

/

111初识抽象代数

环论基础一般线性群

(General

Linear

Group)定义：定义在域

F

上的

n

×

n可逆矩阵构成的群，记为

GL(n,

F

)。n×nGL(n,

F

)

=

{A

∈

F |det(A)̸=

0}群运算为矩阵乘法。常见情形：实数域：GL(n,

R)（最常见）复数域：GL(n,

C)（量子计算中量子态

|ψ⟩

∈

Cn

的变换群）有限域：GL(n,

Fq

)（q

为素数幂）性质：GL(n,

F

)

不是阿贝尔群（除非

n

=

1）。CUEB2026年7月4

日61

/

111初识抽象代数

环论基础特殊线性群

(Special

Linear

Group)定义：行列式为

1

的

n

×

n矩阵构成的群，记为

SL(n,

F

)。SL(n,

F

)

=

{A

∈

GL(n,

F

)

|

det(A)

=

1}几何意义：保持体积（或行列式）不变的线性变换。n

=

2：SL(2,

R)

表示二维双曲几何的等距变换群。n

=

3：SL(3,

R)

表示三维空间中保持体积的线性变换群。性质：SL(n,

F

)

是

GL(n,

F

)

的正规子群。维数为

n2−

1（通过约束

det(A)

=

1

降维）。CUEB2026年7月4

日62

/

111初识抽象代数

环论基础正交群

(Orthogonal

Group)定义：保持欧氏内积不变的

n

×

n

实矩阵构成的群，记为

O(n)。O(n)

=

{A

∈

GL(n,

R)

|

ATA

=

I}基本性质：A

的列（或行）向量构成标准正交基。A−1

=

AT（正交矩阵的逆等于转置）。保持向量长度和夹角：⟨Ax,

Ay⟩

=

⟨x,

y⟩。典型的紧致群（矩阵空间的有界闭子集）。行列式为

±1，即

det(A)

=

±1。2维数：

n(n−1)

，对应

n

维空间中旋转和反射的自由度。CUEB2026年7月4

日63

/

111初识抽象代数

环论基础特殊正交群

(Special

Orthogonal

Group)定义：行列式为

1

的正交矩阵构成的群，又称旋转群，记为

SO(n)。SO(n)

=

O(n)

∩

SL(n,

R)

=

{A

∈

O(n)

|

det(A)

=

1}几何意义：SO(2)：平面上的旋转（与单位圆同构）。SO(3)：三维空间中的旋转（欧拉角参数化）。性质：SO(n)

是

O(n)

的正规子群。2维数同为

n(n−1)

，但去掉了反射自由度。CUEB2026年7月4

日64

/

111初识抽象代数

环论基础酉群与特殊酉群酉群

U(n)：所有

n

×

n

的酉矩阵构成。U(n)

=

{U

∈

GL(n,

C)

|

U

†U

=

In}维数为

n2。特殊酉群

SU(n)：U(n)

中行列式为

1

的子群。SU(n)

=

{U

∈

U(n)

|

det

U

=

1}维数为

n2

−

1。结构分解：U(n)

∼=U(1)

⋊

SU(n)（半直积）。任意

U

∈

U(n)

可写为

U

=

eiθ

V

，其中

eiθ

∈

U(1)，V

∈

SU(n)。CUEB2026年7月4

日65

/

111初识抽象代数

环论基础量子门与

SU(n)

群单量子比特门：态空间为

C2，对应群为

U(2)。由于整体相位

eiθ

∈

U(1)

不产生可观测物理效应，实际有效变换群为

SU(2)。Pauli门、阿达玛门（H门）、相位门均属于

SU(2)。m

个量子比特：态空间为

(C2)⊗m，维数为

2m。非平凡酉变换（如

CNOT门、Toffoli门）都属于

SU(2m)。例：双量子比特空间

C2

⊗

C2

中，UCNOT

∈

SU(22)。CUEB2026年7月4

日66

/

111初识抽象代数

李群

(Lie

Group)李群的定义与性质定义：集合

G

同时具有两种数学结构：G

是一个群。G

是一个解析（光滑、实）的流形（Manifold）。运算性质：李群的乘积运算、可逆运算都是解析（光滑）映射。应用领域：微分几何、数论、拓扑学、机器人学、人工智能、量子计算等。常用性质：任何李子群都在群

G

内封闭。任何李群的封闭子群都是李子群。CUEB2026年7月4

日67

/

111初识抽象代数

李群

(Lie

Group)常见的李群基础李群：(Rn,

+)，(R+,

×)单位圆

S1

=

{z

∈

C

|

|z|

=

1}矩阵李群（线性代数视角下的常见群）：GL(n,

R)

和

GL(n,

C)

及其子群SL(n,

R)O(n,

R)

与

SO(n,

R)U(n)

与

SU(n)（如

SU(2)）CUEB2026年7月4

日68

/

111抽象代数与群论应用抽象代数与群论应用CUEB2026年7月4

日69

/

111抽象代数与群论应用

剩余类剩余类

(Residue

Class)定义：设

r

∈

{0,

1,

2,

.

.

.

,

n

−

1}，所有满足

a

≡

r

(mod

n)

的整数

a

构成的集合记为

[r]：[r]

=

{a

∈

Z

|

a

=

kn

+

r,

k

∈

Z}

=

{r

+

kn

|

k

∈

Z}称

[r]

为模

n

余

r

的剩余类。直观理解：对于给定的正整数

n，所有整数按模

n

的余数分类，余数相同的整数构成一个集合。同一剩余类中的任意两个数

a

和

b都满足

a

≡

b(mod

n)。示例

(n

=

3)：共有

3

个剩余类：[0]

=

{.

.

.

,

−3,

0,

3,

6,

.

.

.

}[1]

=

{.

.

.

,

−2,

1,

4,

7,

.

.

.

}[2]

=

{.

.

.

,

−1,

2,

5,

8,

.

.

.

}CUEB2026年7月4

日70

/

111抽象代数与群论应用

模n剩余类环模n剩余类环的定义与运算定义：模

n剩余类环（整数模

n环）的元素为模

n的剩余类集合，记作Z/nZ

或

Zn。包含一个阿贝尔加法群和一个乘法半群。运算规则：模

n

加法：[a]

+

[b]

=

[a

+

b]模

n

乘法：[a]

×

[b]

=

[ab]示例

(n

=5)：[7]

+

[4]

=

[1]，[7]

×

[4]

=

[3]。环的性质：Z/nZ

是含幺交换环。乘法具有交换性，单位元为

[1]。加法单位元（零元）为

[0]，任意

[a]

的负元为

[n

−

a]。特征：环的特征为

n，即最小的正整数满足

n

·

[1]

=

[0]。CUEB2026年7月4

日71

/

111抽象代数与群论应用

模n剩余类环理想、零因子与整环性理想结构：Z

是主理想整环

(PID)，Z/nZ

的任意理想

I

均可表示为dZ/nZ，其中

d

是

n

的正因数

(d|n)。由

[d]

生成主理想([d])

=

{[kd]

|

k

∈

Z}。示例

(n

=

6)：理想有

{[0]},

Z/6Z,

{[0],

[2],

[4]},

{[0],

[3]}。零因子与整环：若存在非零元素

[a],

[b]

使得

[a]

·

[b]

=

[0]，则称其为零因子。当

n

为合数时，存在零因子（如

n

=

4

时，[2]

·

[2]

=

[0]）。当

n

为素数

p

时，Z/pZ

无零因子，此时为整环。CUEB2026年7月4

日72

/

111抽象代数与群论应用

模n剩余类环有限域

Fp

的性质有限域：当

n

为素数

p

时，Z/pZ构成域，记作

GF(p)

或

Fp。乘法群性质：非零元素集合

Z/pZ∗

=

{[1],

[2],

.

.

.

,

[p

−

1]}

构成循环群（阶为

p

−

1）。存在生成元（本原元）g，使得每个非零元素都可表示为

gk

(0

≤

k

<

p

−

1)。多项式与域扩张：Fp[x]

中的不可约多项式可用于构造有限域扩张（如Fpn

）。CUEB2026年7月4

日73

/

111抽象代数与群论应用

模n剩余类环中国剩余定理与环同构k

k1 21

2kmm中国剩余定理：若

n

可分解为素数幂的乘积

n

=

p

p

·

·

·

p

（ip

为不同素数），则：∼m∏︂kiiZ/nZ

= Z/p

Zi=1即模

n

剩余类环同构于各素数幂剩余类环的直积。注意：这里的

∼=

是环同构。自然同态：π

:

Z

→

Z/nZ

(π(k)

=

[k])

是满环同态，核为

nZ。根据同态基本定理，Z/nZ

∼=Z/

ker(π)

=

Z/nZ，表明

Z/nZ

是其自身的商环。CUEB2026年7月4

日74

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111抽象代数与群论应用

模n加法群与模n乘法群乘法群同构与费马小定理乘法群同构：将环同构诱导到乘法群，需写为：×∼m∏︂ii(Z/nZ)

= (Z/pZ)k ×i=1素数情形：对于素数

p，(Z/pZ)×

是阶为

p

−

1

的循环群。从群论角度看：(Z/pZ)×∼=Z/(p−

1)Z（这里的

∼=

指群同构，也可记为

Cp−1）。示例

(n

=

91

=

7

×

13)：环同构：

Z/91Z

∼=(Z/7Z)

×

(Z/13Z)群同构：

(Z/91Z)×∼=(Z/7Z)××(Z/13Z)×∼=C6×

C12费马小定理：当

p

为素数时，欧拉函数

φ(p)

=

p

−

1，因此(Z/pZ)×

∼=Z/φ(p)Z。CUEB2026年7月4

日75

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111抽象代数与群论应用

模n加法群与模n乘法群模n加法群

(Zn,

+)定义：模

n

的剩余类集合

{[0],

[1],

.

.

.

,

[n

−

1]}

在模

n

加法下构成群，记为

(Zn,

+)

或商群

Z/nZ。性质：阶数为

n。生成元为

[1]，即

(Zn,

+)

=

⟨[1]⟩。对应的子群为

nZ，生成元为

n，即

⟨n⟩

=

nZ。对比：(Z6,

+)

=

{[0],

[1],

[2],

[3],

[4],

[5]}，而

(Z/6Z)×

=

{[1],

[5]}，两者差别显著。CUEB2026年7月4

日76

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111抽象代数与群论应用

模n加法群与模n乘法群模n乘法群

(Z/nZ)×定义：所有与

n互质的剩余类在模

n乘法下构成的群：(Z/nZ)×

=

{[a]

∈

Z/nZ

|

1

≤

a

<

n,

gcd(a,

n)

=

1}阶数：该群共有