圆与三角函数及相似三角形综合训练题

圆与三角函数及相似三角形综合训练题在初中几何的学习旅程中，圆的性质、三角函数的应用以及相似三角形的判定与性质，无疑是三座重要的里程碑。当这三者交织在一起，所构成的综合题便具有了相当的挑战性，既考察我们对单个知识点的掌握程度，更检验我们综合运用知识、分析解决复杂问题的能力。本文旨在通过对典型例题的剖析与配套训练，帮助同学们梳理这类问题的解题思路，提升几何综合素养。一、核心知识梳理与回顾在深入综合题之前，我们有必要简要回顾一下相关的核心知识点，确保它们在我们的脑海中清晰明了，这是解决综合题的基础。（一）与圆相关的重要性质1.垂径定理及其推论：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。反之，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。这是解决圆中线段长度问题的常用工具。2.圆心角、圆周角定理及其推论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。这是连接角与圆的桥梁，常用来构造直角三角形。3.切线的性质与判定：圆的切线垂直于经过切点的半径。经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线长定理也不容忽视，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。（二）三角函数的基石1.锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦（sin）等于对边比斜边，余弦（cos）等于邻边比斜边，正切（tan）等于对边比邻边。这是三角函数的核心，必须熟练掌握。2.特殊角的三角函数值：如30°、45°、60°的正弦、余弦、正切值，是计算的重要依据，需要牢记。3.三角函数的关系：等角的三角函数值相等。这一点在图形中角的转换时尤为重要，常常需要通过找相等的角来转移三角函数的“阵地”。（三）相似三角形的灵魂1.相似三角形的判定定理：*两角对应相等的两个三角形相似（AA）。*两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS）。*三边对应成比例的两个三角形相似（SSS）。2.相似三角形的性质：*对应角相等，对应边成比例（相似比）。*对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比。*周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。二、典型例题精析例题一：圆与三角函数的初步结合题目：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠ABC=α，BD是⊙O的切线，AD⊥BD于点D，BD与AC的延长线交于点E。若AB=m，求DE的长（用含m和α的代数式表示）。分析：首先，看到AB是直径，我们应立刻想到“直径所对的圆周角是直角”，所以∠ACB=90°。BD是切线，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，所以∠ABD=90°。AD⊥BD，又一个直角。这样一来，图中就有多个直角三角形，比如Rt△ABC、Rt△ABD、Rt△ADE（如果能证明的话）、Rt△BCE等。已知∠ABC=α，AB=m，在Rt△ABC中，我们可以利用三角函数表示出BC、AC的长度。∠ABC=α，那么cosα=BC/AB，所以BC=AB·cosα=m·cosα；sinα=AC/AB，所以AC=m·sinα。接下来看Rt△ABD，∠ABD=90°，∠BAD是公共角吗？或者我们可以找其他角的关系。∠E与∠ABC是否相等？因为∠ACB=90°，所以∠BCE=90°。在Rt△BCE和Rt△BDA中，∠E是公共角吗？不，∠E是△BCE和△ADE的内角。我们注意到∠E+∠EAD=90°（在Rt△ADE中），∠E+∠EBC=90°（在Rt△BCE中），所以∠EAD=∠EBC。而∠EBC就是∠ABC=α，所以∠EAD=α。在Rt△ABD中，AD=AB·sin∠ABD对应的角？不，∠ABD是90°，∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，∠ADB是90°，所以∠BAD+∠ABD=90°？不，∠ADB是90°，∠ABD是90°，那A、B、D三点是不是共线了？哦，不，AD⊥BD，BD是切线，AB是直径，所以B是切点，所以OB⊥BD，而AD⊥BD，所以AD平行于OB？因为OB和AD都垂直于BD。OB是半径，AD是另一条垂线。这样，∠BAD=∠BAO？或者我们换个思路，在Rt△ADE中，如果∠EAD=α，那么tanα=DE/AD，所以DE=AD·tanα。如果能求出AD，问题就解决了。在Rt△ABD中，AB是斜边，∠ABD=90°，∠BAD的三角函数值。因为AD∥OB（同垂直于BD），所以∠BAD=∠AOB？或者∠DAB的余角是∠ABD吗？不，∠ABD是90°，所以在Rt△ABD中，sin∠BAD=BD/AB，cos∠BAD=AD/AB。那∠BAD等于多少呢？∠BAC+∠CAD=∠BAD。在Rt△ABC中，∠BAC=90°-α。而∠CAD刚才我们得到等于∠EBC=α。所以∠BAD=(90°-α)+α=90°？这不可能，因为AD⊥BD，∠ADB是90°，三角形内角和180°，所以∠BAD不可能是90°。看来刚才∠EAD=α的推导可能有误。重新审视∠EAD：∠E是△AEB的内角，在Rt△BCE中，∠E+∠EBC=90°。在Rt△ADE中，∠E+∠EAD=90°。因此，∠EAD=∠EBC。∠EBC是∠ABC吗？点E在AC的延长线上，所以C在AE上，那么∠ABC就是∠EBC，是的！因为点A、C、E共线，所以∠ABC和∠EBC是同一个角。因此，∠EAD=α，这个结论是对的。那么在Rt△ABC中，∠BAC=90°-α。∠BAE就是∠BAC=90°-α。在Rt△ABD中，∠ABD=90°，所以∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，∠ADB=90°，∠ABD=90°，这显然不可能，说明我把点的位置关系搞错了。AD⊥BD于D，BD是切线于B，所以B是切点，所以OB⊥BD。AD⊥BD，所以AD和OB都垂直于BD，因此AD平行于OB。O是AB的中点，如果我们连接OC，似乎帮助不大。或者，在Rt△ABD中，∠BAD的度数。因为AD∥OB，所以∠BAD=∠AOB（内错角）。在⊙O中，∠AOB是圆心角，它所对的弧是弧AB？不，AB是直径，所以∠AOB是180°，那不对了。应该是AD∥OB，所以∠DAB+∠ABO=180°？因为AD和OB被AB所截，同旁内角互补。∠ABO是多少呢？OB=OA，所以△OAB是等腰三角形，但AB是直径，OA=OB，所以△OAB是等腰直角三角形？不，OA=OB，但AB是直径，所以OA=OB=半径，AB=2半径=m，所以半径是m/2。∠ABO是∠OBA，它就是题目中的∠ABC吗？不是，点C在圆上，∠ABC是∠OBC吗？哦！我明白了！我之前把点C和点O搞混了！题目说“点C在⊙O上”，并没有说C是圆心。所以OB是半径，BC是弦，∠ABC是α，这个角是∠OBC吗？不一定，除非O和C重合。天啊，这是个致命的错误！好，纠正过来：点O是圆心，AB是直径，所以OA=OB=m/2。点C是圆上一点，所以∠ACB=90°（直径所对圆周角）。BD是切线，切点为B，所以OB⊥BD（切线性质）。AD⊥BD于D，所以AD∥OB（垂直于同一直线的两直线平行）。因此，四边形OBDC...不，AD和OB平行。那么，∠OBA是∠OBC吗？不是，∠OBA是∠OBA，∠ABC=α是∠ABC，点C是另一个点。现在，在Rt△ABC中，∠ABC=α，AB=m，所以BC=AB·cosα=mcosα，AC=AB·sinα=msinα。因为AD∥OB，所以△EBC∽△EDA吗？因为AD∥OB，所以∠EBO=∠EDA=90°，∠E是公共角，所以△EBO∽△EDA？或者△ECB∽△EAD？因为AD∥OB，而OC是半径，长度是m/2，AD的长度未知。或者，因为AD∥OB，所以EA/EO=ED/EB=AD/OB。设AD=x，OB=m/2。EA=AC+CE=msinα+CE，EO=EA-AO=(msinα+CE)-m/2。这个关系似乎有点复杂。回到∠EAD=α，在Rt△ADE中，tanα=DE/AD=>DE=ADtanα。在Rt△ABD中，AD²+BD²=AB²=m²。在Rt△EBC中，tanα=BC/EC=>EC=BC/tanα=(mcosα)/tanα=mcosα/(sinα/cosα)=mcos²α/sinα。AE=AC+CE=msinα+mcos²α/sinα=m(sin²α+cos²α)/sinα=m/sinα。（因为sin²α+cos²α=1）在Rt△ADE中，AE²=AD²+DE²=AD²+(ADtanα)²=AD²(1+tan²α)=AD²(sec²α)=>AE=ADsecα=>AD=AEcosα=(m/sinα)cosα=mcotα。啊！这个好！AE=m/sinα，在Rt△ADE中，cos∠EAD=AD/AE，因为∠EAD=α，所以cosα=AD/AE=>AD=AEcosα=(m/sinα)cosα=m(cosα/sinα)=mcotα。那么DE=ADtanα=mcotα·tanα=m(cosα/sinα)·(sinα/cosα)=m。所以DE=m？这个结果有点出乎意料，但推导过程似乎是对的。AE的计算利用了三角函数的平方和关系，非常关键。解答：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。在Rt△ABC中，∠ABC=α，AB=m，∴BC=AB·cosα=mcosα，AC=AB·sinα=msinα。∵BD是⊙O的切线，∴OB⊥BD（切线垂直于过切点的半径）。又∵AD⊥BD，∴AD∥OB（垂直于同一直线的两直线平行）。在Rt△BCE和Rt△ADE中，∠E为公共角，∠BCE=∠ADE=90°，∴∠EBC=∠EAD（等角的余角相等）。∵∠EBC=∠ABC=α（公共角），∴∠EAD=α。在Rt△BCE中，tanα=BC/EC，∴EC=BC/tanα=(mcosα)/(sinα/cosα)=mcos²α/sinα。∴AE=AC+CE=msinα+mcos²α/sinα=m(sin²α+cos²α)/sinα=m/sinα（∵sin²α+cos²α=1）。在Rt△ADE中，cos∠EAD=AD/AE，∠EAD=α，∴AD=AE·cosα=(m/sinα)·cosα=mcotα。又∵tanα=DE/AD，∴DE=AD·tanα=mcotα·tanα=m(cosα/sinα)·(sinα/cosα)=m。答：DE的长为m。（注：本题结果虽简洁，但推导过程综合运用了圆的性质、三角函数定义、勾股定理及三角恒等式，对思维的连贯性要求较高。）例题二：圆、三角函数与相似三角形的综合应用题目：如图，已知⊙O的半径为r，点A、B在⊙O上，且∠AOB=2θ（θ为锐角）。过点A作⊙O的切线，交OB的延长线于点C。点D在OC上，且AD=AC。连接BD并延长交⊙O于点E，连接AE。（1）求证：△ADE∽△BAE；（2）求AE的长（用含r和θ的代数式表示）。分析：（1）要证明△ADE∽△BAE，我们需要找到两组对应角相等。已知A、B、E都在圆上，所以∠AEB=∠AEB（公共角），如果能再证明∠DAE=∠ABE，或者∠ADE=∠BAE，即可得证（AA相似）。AC是⊙O的切线，所以OA⊥AC（切线性质），∠OAC=90°。∠AOB=2θ，OA=OB=r，所以△AOB是等腰三角形，∠OAB=∠OBA=(180°-2θ)/2=90°-θ。AD=AC，所以△ADC是等腰三角形，∠ADC=∠ACD。∠AOB=2θ是△AOC的一个外角，所以∠AOB=∠OAC+∠ACD=>2θ=90°+∠ACD=>∠ACD=2θ-90°。因此，∠ADC=2θ-90°。∠ADB是∠ADC的邻补角，所以∠ADB=180°-(2θ-90°)=270°-2θ。在△ADB中，∠BAD