九年级数学专题复习：几何变换中的图形折叠问题探究教案

九年级数学专题复习：几何变换中的图形折叠问题探究教案

  一、教学理念与总体设计思路

  本教学设计立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，聚焦“图形的变化”主题下的轴对称变换。图形折叠问题本质上是轴对称变换的物理实现与数学模型，是连接直观感知与逻辑推理的绝佳载体。本设计摒弃孤立讲题、碎片化训练的传统模式，秉持“以思想方法为主线，以问题解决为核心”的理念，构建一个从现象抽象到模型建立，再到迁移应用的完整认知闭环。设计强调跨学科视野，关联物理学中的镜面对称、工程学中的材料力学特性以及艺术设计中的构图原理，旨在培养学生用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界的能力。教学全过程贯穿“做数学”的活动经验，通过“动手操作—直观猜想—逻辑论证—模型提炼—拓展深化”的递进式环节，引导学生深度理解折叠过程中几何元素（点、线、形）的不变性（对称性）与变量关系，发展其空间观念、几何直观、推理能力和模型观念，最终达成对轴对称变换本质的结构化认知与创造性应用。

  二、教学背景与学情分析

  本专题适用于九年级中考第二轮专题复习阶段。学生已系统学习完初中数学全部内容，掌握了三角形、四边形、圆的基本性质，全等与相似的判定与性质，勾股定理，直角坐标系及函数初步知识，并对平移、轴对称、旋转等图形变换有了基本认识。然而，学生知识结构多呈板块化，综合运用能力薄弱，面对融合性强、情境新颖的折叠问题时，常存在以下困难：第一，缺乏将实际操作转化为轴对称数学模型的能力，难以准确识别对称轴、对应点、对应线段；第二，对折叠过程中的“变”与“不变”关系理解肤浅，无法系统构建用于建立等量关系的知识网络（如全等、等腰、勾股、相似、三角函数、方程思想等）；第三，空间想象能力不足，尤其在动态折叠或涉及三维空间想象时，思维受阻；第四，解题策略单一，倾向于机械模仿，缺乏对问题本质的洞察与多路径探索的灵活性。因此，本设计旨在打通知识壁垒，构建解决折叠问题的通用思维框架与策略体系，提升学生的高阶思维与复杂问题解决能力。

  三、教学目标

  依据课程标准与学情，设定如下三维教学目标：

  （一）知识与技能

  1.精准识别图形折叠中的对称轴、对称点、对称图形，深刻理解折叠即轴对称变换，其核心性质是全等与垂直平分。

  2.系统归纳并熟练运用折叠背景下求线段长、角度、面积等几何量的常用方法：全等三角形性质、勾股定理、相似三角形性质、锐角三角函数、方程思想（设未知数建立方程）、坐标法。

  3.能够综合运用三角形、四边形、圆的知识，解决涉及折叠与函数、折叠与最值、折叠与多结论判断等综合性问题。

  （二）过程与方法

  1.经历“动手折叠—观察记录—提出猜想—演绎证明”的完整数学活动过程，积累数学探究的基本活动经验。

  2.掌握分析折叠问题的通用思维流程：识别对称→标记等量→确定目标图形（通常是直角三角形）→选择解题工具→求解验证。

  3.通过一题多解、一题多变、多题归一的训练，提升分析、比较、归纳、概括的思维能力，发展数学建模和迁移应用能力。

  （三）情感态度与价值观

  1.在探索折叠的数学奥秘中，感受几何图形的对称之美、和谐之美，激发数学学习兴趣和好奇心。

  2.通过合作探究与交流，培养严谨求实的科学态度、勇于探索的创新精神和合作共赢的意识。

  3.体会数学来源于生活并服务于生活，理解折叠数学模型在包装设计、建筑结构、艺术品创作等领域的广泛应用价值。

  四、教学重点与难点

  教学重点：1.构建解决图形折叠问题的核心思维模型，即紧扣“轴对称性质”，系统梳理“变中的不变”关系（对应边相等、对应角相等、对称点连线被对称轴垂直平分）。2.灵活、综合地运用全等、勾股、相似、方程、三角函数等工具求解几何量。

  教学难点：1.动态折叠问题的分析与想象，特别是折叠过程中点的轨迹识别与最值问题。2.复杂背景下（如融合圆、函数图象）折叠问题的多知识整合与策略选择。3.存在性问题的分类讨论与严谨论证。

  五、教学策略与方法

  本设计采用“探究式教学”与“问题链导学”相结合的主导策略，辅以“合作学习”与“信息技术深度融合”。

  1.探究式教学：以真实或模拟的折纸活动开启课堂，让学生在“做中学”，亲身感知折叠的几何特征，为抽象思维提供直观支撑。

  2.问题链导学：精心设计由浅入深、环环相扣的问题序列。问题链将贯穿整个课堂，引导学生思维步步深入，自主建构知识体系。问题设计注重开放性、启发性，鼓励学生提出不同见解和解决方案。

  3.合作学习：在关键探究环节，组织学生进行小组讨论、交流方案、互评互鉴。通过思维碰撞，深化对问题的理解，培养合作与沟通能力。

  4.信息技术融合：利用几何画板、GeoGebra等动态几何软件，实时演示折叠的动态过程，将抽象的“动点”、“轨迹”可视化，破解空间想象难点，帮助学生发现变化中的规律。同时，利用投影仪即时展示学生的解题过程与成果。

  六、教学准备

  1.教师准备：PPT课件（内含问题链、例题、变式题、方法总结）、几何画板动态演示文件、学案（包含探究活动记录表、分层练习题）。

  2.学生准备：每人若干张矩形、三角形纸片（便于折叠）、直尺、圆规、量角器。

  3.环境准备：多媒体教学设备、实物投影仪、小组合作学习座位安排。

  七、教学过程实施

  （一）情境导入，感知本质（预计用时：10分钟）

  活动一：生活观察与动手操作

  教师展示一组图片：精美的折纸艺术（如千纸鹤）、古代建筑中的飞檐斗拱（体现对称）、生活中常见的纸盒包装展开图、将一张矩形纸片对折后压平产生的折痕。

  师：请同学们拿起手边的矩形纸片，仿照最后一张图片，随意折叠一次，然后展开。观察纸片和留下的折痕，你能从数学的角度描述发生了什么吗？

  学生动手操作，观察，并自由发言。预期学生能提到：纸片被分成了两部分；两部分能完全重合；折痕是一条直线；折痕两边的图形大小形状一样。

  师：（总结并升华）大家的观察非常准确。在数学上，我们将这样的操作称为“图形的折叠”，其数学本质是——“轴对称变换”。这条折痕就是对称轴，折叠前后能够重合的点称为对称点，能够重合的图形称为轴对称图形。折叠最核心的性质是什么？请大家结合刚才的操作和轴对称的知识，用简洁的语言概括。

  引导学生得出核心性质：1.重叠部分（即对应部分）全等。2.对称点连线被对称轴垂直平分。

  活动二：概念符号化与基本模型初建

  教师在黑板上画出矩形ABCD，并演示将点A折叠到BC边上的点A‘处，折痕为EF（E在AB上，F在AD上）。

  师：现在，我们将一个具体的折叠过程用几何图形表示出来。请大家在学案上画出这个图形，并运用刚才总结的核心性质，尽可能多地找出图中相等的线段、相等的角，以及垂直平分关系。请用不同的颜色或标记来区分。

  学生独立标记，然后同桌交流。教师巡视，选取有代表性的标记进行投影展示。

  通过此活动，强化学生对“对应边相等、对应角相等、对称点连线（AA’）被对称轴（EF）垂直平分”的符号化理解，并初步建立矩形一角折叠的基本模型认知。这为后续复杂问题的分析奠定了坚实的“元认知”基础。

  （二）分层探究，构建模型（预计用时：65分钟）

  探究一：单点折叠与定量计算——聚焦“直角三角形”与“方程模型”

  例题1：如图，在矩形纸片ABCD中，AB=8cm，AD=10cm。将纸片沿对角线BD折叠，点C落在点C‘处，BC’交AD于点E。

  （1）求证：△BDE是等腰三角形。

  （2）求DE的长。

  （3）求重叠部分（△BDE）的面积。

  教学实施：

  1.独立审题与标记：给予学生3分钟时间，独立读题，在图形上标记已知条件和由折叠得到的等量关系（如CD=C‘D=AB=8，∠CBD=∠C’BD等）。教师强调第一步永远是“识别对称轴（BD）与对称点（C与C‘）”。

  2.引导分析与证明（第1问）：师：要证△BDE等腰，即证BE=DE。如何证明两条线段相等？学生可能想到“等角对等边”。师：那如何得到角相等？引导学生发现AD//BC可得∠ADB=∠CBD，由折叠∠CBD=∠EBD，故∠ADB=∠EBD，从而BE=DE。此处巩固“平行线+角平分线→等腰三角形”的基本图形。

  3.合作探究与多解展示（第2问）：师：求DE的长，DE在△BDE中，目前我们知道它是等腰三角形，但还不知道边长。DE也在Rt△ABE或Rt△DC‘E中。请小组合作，尝试不同的方法建立方程求解。

  学生小组讨论。教师巡视，收集不同解法。

  解法一（设元，用勾股定理）：设DE=BE=x，则AE=10-x。在Rt△ABE中，由勾股定理得：8^2+(10-x)^2=x^2。求解即可。

  解法二（利用面积）：连接AC‘，交BD于O。可证AC’⊥BD，利用等面积法。或直接求△ABD面积，利用△BDE与△ABE等高，底边比等于面积比（需先求AE）。

  解法三（利用相似）：易证△ABE∽△DC‘E，从而AE/DE=AB/DC‘=1，得AE=DE，结合AD=10，即可得。但此方法依赖于发现全等（AB=DC’，∠A=∠C‘=90°，∠AEB=∠DEC’）从而△ABE≌△DC‘E，本质上与等腰结论一致。

  教师通过实物投影展示不同解法，重点点评解法一的“设未知数—利用勾股定理列方程”是解决此类求线段长问题的通法，其关键在于将未知线段集中到一个直角三角形中。同时引导学生比较不同解法的优劣，体会思维的灵活性。

  4.自主完成与拓展（第3问）：第3问在求出DE后易解。可提问：重叠部分面积一定是三角形吗？展示将矩形一角折叠到内部不同位置的图形，指出重叠部分形状可能为三角形或四边形，为后续探究埋下伏笔。

  变式训练1：将矩形ABCD沿EF折叠，使点B恰好落在CD边上的中点B‘处，若AB=6，BC=8，求折痕EF的长度。

  此变式提升难度，折痕EF不再是已知的对角线。引导学生分析：对称轴是EF，对称点是B与B‘。要求EF，EF是线段，且通常需要构造包含EF的直角三角形。关键步骤：连接BB‘，则EF垂直平分BB’（轴对称性质）。作FG⊥BC于G，则EF=BG？需要转化。更通用的思路：利用B和B‘坐标（若建立平面直角坐标系），求BB’中垂线EF的方程，再求其长度。或通过证明四边形BEB‘F是菱形（BE=B‘E，BF=B’F，且EF⊥BB‘），转化为求菱形边长或对角线。此题旨在引导学生探索求折痕长度的常用策略：构造直角三角形或利用特殊四边形性质。

  探究二：矩形折叠与坐标系融合——从“形”到“数”的精确刻画

  例题2：如图，将矩形OABC置于平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴正半轴，点C在y轴正半轴，OA=6，OC=4。将矩形沿对角线OB折叠，点C落在点D处。

  （1）求点D的坐标。

  （2）求直线BD的解析式。

  （3）在x轴上是否存在点P，使得以P、O、D为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

  教学实施：

  1.坐标法引入：师：当图形被放置在直角坐标系中，几何问题便有了“数”的精确描述。求点坐标，本质上就是求该点到坐标轴的距离。对于点D，我们可以作哪些辅助线来构造直角三角形？

  引导学生过点D作DE⊥x轴于E，作DF⊥y轴于F。目标是求DE和OE（或OF和DF）。

  2.分析等量关系：由折叠可知，OD=OC=4，∠DOA=∠COB？需要谨慎。实际上，折叠是关于OB对称，所以OB垂直平分CD，且△OBC≌△OBD。因此，∠BOC=∠BOD，但∠BOC与∠BOA互余，关系复杂。更直接有效的等量：在Rt△OAB中，OB=√(OA^2+AB^2)=√(6^2+4^2)=2√13。由折叠，BC=BD=OA？不对，BC对应边是BD？注意对应关系：BC与BD是对应边吗？折叠后，BC与BD重合吗？实际上，点C与D对称，边CB与DB是对应边，所以CB=DB=6？不对，CB长度是6吗？CB是矩形的一边，长度为OA=6。是的，CB=6。所以DB=6。现在，在△OBD中，已知OB=2√13，OD=4，BD=6。由勾股定理逆定理可检验其是否为直角三角形？6^2+4^2=52，(2√13)^2=52，故OD^2+BD^2=OB^2，所以∠ODB=90°。这是一个关键发现！

  3.求解坐标：∵∠ODB=90°，∴△ODB是直角三角形。又∵DE⊥OB，可以考虑用等面积法或相似求DE、OE。在Rt△ODB中，面积S=1/2OD

DB=1/2*4*6=12，也等于1/2OB

DE，即1/2*2√13*DE=12，∴DE=12/√13=12√13/13。在Rt△ODE中，OE=√(OD^2-DE^2)=√(16-144/13)=√(64/13)=8√13/13。所以D点坐标为（8√13/13,12√13/13）。此过程计算量较大，但旨在训练学生综合运用勾股定理、等面积法、相似比等工具在坐标系中求解的能力。

  4.求解析式与存在性问题：第（2）问在已知B(6,4)和D坐标后易求。第（3）问是经典的等腰三角形存在性问题。引导学生分类讨论：当OP=OD时，当PO=PD时，当DO=DP时。每种情况下，利用两点间距离公式或几何构造（如中垂线）建立方程求解。此问将折叠问题与函数、方程、分类讨论思想深度融合，是提升学生综合能力的关键环节。教师需引导学生梳理分类讨论的标准和求解步骤，避免遗漏。

  探究三：动态折叠与最值问题——探究“变化中的规律”

  例题3：如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E是边CD上的一个动点（不与C、D重合）。将△ADE沿AE折叠，得到△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG。

  （1）求证：△ABG≌△AFG。

  （2）随着点E在CD上移动，点G的位置也随之改变。设DE=x，CG=y。

  ①求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

  ②求线段CG长度的最大值。

  教学实施：

  1.动态演示与定性分析：首先用几何画板动态演示点E在CD上运动时，点G在BC上相应运动的过程，让学生直观感受变化。然后分析第（1）问：证明全等的条件？已知AB=AF（因为AF是AD翻折而来），AG是公共边，缺一个条件。引导学生发现：由折叠，∠AFE=∠D=90°，所以∠AFG=90°=∠B。因此，在Rt△ABG和Rt△AFG中，斜边AG公共，直角边AB=AF，根据HL定理即可得证。此证明过程揭示了折叠带来等边（AD=AF）和等角（直角）的关键信息。

  2.函数关系建立（第2问①）：这是本环节的核心与难点。师：要求y关于x的函数，即寻找CG（y）与DE（x）之间的等量关系。已知正方形边长为6，则CE=6-x。由（1）中全等，得BG=FG。设BG=FG=a，则CG=6-a=y。现在，我们需要找到包含x和a的另一个方程。

  引导学生观察Rt△ECG。在这个直角三角形中，CE=6-x，CG=y=6-a，EG=EF+FG。EF由折叠等于ED=x，FG=a，所以EG=x+a。根据勾股定理：(6-x)^2+(6-a)^2=(x+a)^2。

  但这里有两个变量x和a。我们需要消去a。注意到y=6-a，即a=6-y。代入上式：

  (6-x)^2+y^2=(x+(6-y))^2=(x+6-y)^2。

  展开并整理：36-12x+x^2+y^2=(x+6-y)^2=x^2+36+y^2+12x-12y-2xy？展开需谨慎。

  更优解法：由全等，BG=FG=a，且连接AG后，∠EAG=1/2∠DAB=45°？不一定，这不是角平分线折叠。实际上，由△ABG≌△AFG，可得∠BAG=∠FAG，但∠FAE=∠DAE，所以∠GAE=∠GAF+∠FAE=∠BAG+∠DAE。而∠BAG+∠GAE+∠EAD=90°，故2∠GAE=90°，∠GAE=45°。这是一个非常重要的结论：无论点E如何运动，∠GAE恒为45°。此结论可能用于简化求解，但建立函数关系，上述勾股定理路径是直接的。

  我们重新整理方程：(6-x)^2+y^2=(x+6-y)^2。

  展开左边：36-12x+x^2+y^2。

  展开右边：(x+6-y)^2=x^2+2*x*(6-y)+(6-y)^2=x^2+12x-2xy+36-12y+y^2。

  两边同时减去x^2和y^2：36-12x=12x-2xy+36-12y。

  化简得：-12x=12x-2xy-12y=>24x=2xy+12y=>两边除以2：12x=xy+6y=>提取y：12x=y(x+6)=>所以y=12x/(x+6)。自变量x的范围是0<x<6。

  此推导过程需要教师逐步引导，板书关键步骤，强调等量关系的寻找（勾股定理）和代数变形能力。

  3.最值求解（第2问②）：得到y=12x/(x+6)=12/(1+6/x)。由于x>0，6/x>0，分母大于1，故y<12。且y随x增大而增大？需要分析函数单调性。可以用导数，但初中阶段常用方法：y=12-72/(x+6)。因为y=12x/(x+6)=(12x+72-72)/(x+6)=12-72/(x+6)。由此形式易知，当x增大时，72/(x+6)减小，所以y增大。因此，当x趋于6（但不等于6）时，y趋于12-72/12=12-6=6。所以y的最大值无法取到6，但可以无限接近6。或者，直接由y=12x/(x+6)，变形为xy+6y=12x=>xy-12x=-6y=>x(y-12)=-6y=>x=6y/(12-y)。由0<x<6，得0<6y/(12-y)<6。解此不等式组，可得0<y<6。所以CG的最大值小于6，无确切最大值，但有上确界6。这是一个有趣的结论，教师可借此引导学生思考“最大值”与“上界”的区别，深化对函数变化趋势的理解。若题目设定E不与C重合，则最大值不存在；若允许无限接近，则可说最大值无限接近6。这体现了数学的严谨性。

  （三）归纳总结，提炼通法（预计用时：10分钟）

  师：经过以上三个层次的探究，我们对图形的折叠问题有了更深入的认识。现在，请大家以小组为单位，共同梳理解决折叠问题的一般思路、常用工具和注意事项，形成一份“攻略指南”。

  学生小组讨论并总结，教师巡回指导。之后请小组代表分享，教师整合并板书核心框架：

  图形折叠问题解决策略体系

  第一步：识模型——明确折叠本质

  •识别对称轴（折痕）。

  •确定对称点、对称线段、对称角。

  •牢记核心性质：全等性（对应部分全等）、对称点连线被对称轴垂直平分。

  第二步：标等量——转化问题条件

  •在图形上清晰标记出所有由折叠直接产生的等量关系（边等、角等）。

  •注意隐藏的等量（如平行线带来的角等，公共边等）。

  第三步：择工具——建立求解路径

  •求线段长：优先考虑勾股定理（构造直角三角形）、相似三角形比例线段、三角函数、方程思想（设未知数列方程）。

  •求角度：利用三角形内角和、平行线性质、特殊图形性质（如矩形直角）、折叠产生的角等关系。

  •求面积：直接公式法、割补法、等积变形法。

  •涉及坐标：考虑坐标法，综合利用距离公式、解析式、几何性质。

  •动态与最值：分析变量关系，建立函数模型，利用函数性质或不等式求最值。注意分类讨论。

  第四步：验结果——回归几何实际

  •检查结果是否符合几何意义（如边长非负，角度在合理范围内，点位于图形上等）。

  •对于多解情况，判断是否均满足题意。

  思想方法提炼：方程思想、数形结合思想、转化与化归思想、分类讨论思想、模型思想。

  （四）迁移应用，分层巩固（预计用时：15分钟）

  提供分层练习题，学生根据自身情况选择完成。

  A组（基础巩固）：

  1.将一张菱形纸片按图中方式折叠，得到折痕EF。若∠A=70°，则∠BEF的度数为____。

  2.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合。已知AB=3，AD=9，求折痕EF的长。

  B组（能力提升）：

  3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90