《制图基本》-第2章投影基础

2.1投影基本知识2.1.1投影法的基本知识在日常生活中，人们看到阳光或灯光照射物体时，会在地面或墙壁上产生物体的影子，投影法就是从这一自然现象中抽象提出的。投射线通过物体向选定的平面投射，并在该面上得到图形的方法，称为投影法。根据投影法所得到的图形，称为投影图，简称投影。光源S是所有投射线的起源点，称为投射中心;发自投射中心且通过物体上各点的直线，称为投射线;平面P是投影法中得到投影的面，称为投影面，如图2-1(a)所示。2.1.2投影法分类投影法分为中心投影法和平行投影法。

1.中心投影法下一页返回2.1投影基本知识如图2-1(a)所示，投射线汇交于一点的投影法称为中心投影法。中心投影法主要用于绘制立体感很强的建筑物透视图。2.平行投影法如图2-1(b)、(c)所示，投射线互相平行的投影法称为平行投影法，平行投影法又分为斜投影法和正投影法。投射线与投影面倾斜的平行投影法称为斜投影法，如图2-1(b)所示，用斜投影法得到的投影称为斜投影。投射线与投影面垂直的平行投影法称为正投影法，如图2-1(c)所示，用正投影法得到的投影称为正投影。平行投影法可用于绘制正投影图、轴测投影图等，应用十分广泛。用正投影法绘制的图形能真实地表达空间物体的形状和大小，作图方便，故国家标准“图样画法”(GB4458.1-1984)中明确规定，工程图样按正投影法绘制。通常将物体的正投影称为视图。上一页下一页返回2.1投影基本知识2.1.3正投影法的投影特性正投影图度量性好、作图简便，这是由正投影的基本特性所决定的，正投影的基本特性如表2-1所示。上一页返回2.2物体的三视图2.2.1三视图的形成1.一个投影不能唯一确定物体的空间形状当投影方向和投影面确定后，物体在该投影面上的投影是唯一的与确定的。反过来，仅根据物体在一个投影面上的投影则不能唯一确定物体的空间形状。如图2-2所示，三个不同的物体在V面上的投影完全相同。显然，用一个投影不能完全与准确地表达物体。因此，为了确切表达空间物体的形状，需采用多个投影视图，互相补充，才能将物体表达清楚。2.三投影面体系及三视图的形成如图2-3所示，设立三个互相垂直的投影面正立投影面V(简称正面)、水平投影面H(简称水平面)、侧立投影面W(简称侧面)。V,H,W投影面构成三投影面体系。三个投影面之间的交线OX、OY、OZ互相垂直，分别代表物体的长、宽、高三个方向，称为投影轴，三个投影轴的交点O称为原点。下一页返回2.2物体的三视图三投影面体系将空间分为八个区域，分别称第一分角、第二分角……，国家标准规定，技术图样优先采用第一角画法。所以我们主要讨论物体在第一分角的投影，如图2-3所示。将物体置于三投影面体系中，分别向丝个投影面投影，V面上得到的投影视图称为主视图;H面上得到的投影视图称为俯视图;W面上得到的投影视图称为左视图，如图2-4所示。3.三投影面体系的展开为了便于看图和作图，应把三个投影面展开。规定正面V保持不动，将水平面H绕OX轴向下旋转90°，侧面W绕OZ轴向后旋转90°，如图2-5(a)所示。这样V、H、W面就展开在同一平面上，可得到同一平面上的三视图，如图2-5(b)所示。上一页下一页返回2.2物体的三视图

由于投影面的大小可任意确定，且改变物体与投影面的距离，均不会影响各视图。因此，实际绘图时，投影图三投影面体系的建立及三视图的形成面的边界线和投影轴均不必画出。按上述位置配置时，也不需标注视图的名称，如图2-5(c)所示。2.2.2三视图之间的投影关系如图2-6所示，主视图反映物体的高度和长度;俯视图反映物体的长度和宽度;左视图反映物体的高度和宽度。由此可得出三视图之间的投影关系:主、俯视图—长对正;主、左视图—高平齐;俯、左视图—宽相等。这种三视图之间的投影关系，不仅对物体整体是如此，而且对于物体每个部分来说也是适用的，如图2-6所示。画图和读图必须遵循三视图之间这种投影关系的规律。上一页返回2.3点的投影

点、直线和平面是组成物体的基本元素，研究和掌握其投影特性，是学习物体投影的基础，从本节开始将分节介绍点、线、面的投影规律。2.3.1点的投影如图2-7所示，按正投影法将点A分别向H,V,W面作垂线，其垂足即为点A的水平投影a、正面投影a'和侧面投影a"。通常，点在空间用大写英文字母表示，水平投影用对应的小写字母表示，正面投影用对应的小写字母加一撇表示，侧面投影用相应的小写字母加两撇表示。把点的三投影体系展开，如图2-8所示。从中可得到点的投影规律:(1)点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴，即aa'⊥OX;(2)点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴，即a'a"⊥OZ;下一页返回2.3点的投影(3)点的水平投影到OX轴的距离和点的侧面投影到OZ轴的距离都等于该点到V面的距离，即aax=a"az=Aa'。2.3.2重影点当两点位于某一投影面的同一条投射线上时，这两点在该投影面上的投影重合，称这两点为对该投影面的重影点。如图2-9(a)所示,A,B两点位于V面的同一条投射线上，它们的正面投影a'、b'重合，称A,B两点为对V面的重影点。同理，C,D两点位于H面的同一条投射线上，它们的水平投影c、d重合，称C,D两点为对H面的重影点。上一页下一页返回2.3点的投影

在重影投影中，坐标值大的点的投影会遮住坐标值小的点的投影，即坐标值大的点的投影可见，坐标值小的点的投影不可见。投影不可见的点，应在其字母两侧加上圆括号以区别表示。如图2-9(b)所示，A,B两点为对V面的重影点，它们的正面投影重合，yA＞yB，点A在点B的前方，a'可见，表示为a';b'不可见，表示为(b')。C、D两点为对H面的重影点，它们的水平投影重合，zC>zD，点C在点D的上方，c可见，表示为c。;d不可见，表示为(d)。上一页返回2.4直线的投影不重合的两个点可以确定一条直线，要作一条直线的三面投影图，只要作出该直线上的任意两个点A,B的二面投影，然后将这两点的同面投影连接起来，即得到该直线的三面投影，如图2-10所示，直线的投影ab,ab',a"b"。直线的方向可用直线对三个投影面H,V,W面的倾角α、β、γ表示，如图2-10所示。2.4.1各种位置直线的投影根据相对投影面位置的不同，直线可以分为三类:投影面平行线、投影面垂直线、一般位置直线，其中前两类直线统称为特殊位置直线。1.投影面平行线投影面平行线指平行且只平行于某一个投影面的直线。根据所平行的投影面的不同，可把它分为二种:①水平线—只平行于H面的直线;②正平线—只平行于V面的直线;③侧平线—只平行于W面的直线。投影幕平行线投影图及其特性如表2-2所示。下一页返回2.4直线的投影

总之，投影面平行线的投影特性可总结为:(1)投影面平行线在所平行的投影面上的投影反映直线的实长，此投影与该投影面所包含的投影轴的夹角反映直线对其他两个投影面的倾角;(2)另外两个投影分别平行于该直线所平行的投影面所包含的两个投影轴。2.投影面垂直线投影面垂直线指垂直于某一个投影面的直线。根据所垂直的投影面的不同，可把它分为二种:①铅垂线垂直于H面的直线;②正垂线垂直于V面的直线;③侧垂线垂直于W面的直线。投影幕垂直线投影图及其特性如表2-3所示。总之，投影面垂直线的投影特性可总结为:(1)投影面垂直线在所垂直的投影面上的投影积聚为一点;(2)另外两个投影分别垂直于该直线所垂直的投影面所包含的两个投影轴，且均反映实长。上一页下一页返回2.4直线的投影3.一般位置直线一般位置直线是指对三个投影面既不垂直又不平行的直线。一般位置直线的投影特性是:三个投影都倾斜于投影轴，既不反映直线的实长，也不反映对投影面的倾角。如图2-10所示，直线AB对H,V和W面均既不垂直又不平行，故AB为一般位置直线。直线AB的二个投影长与其实长的关系如下:ab=ABcosα;a'b'=ABcosβ;a"b"=ABcosγ。由于一般位置直线对三个投影面的倾角α、β、γ，既不等于0°也不等于90°,cosα.cosβ和cosγ均大于0且小于1,因此，AB的各投影长都小于实长。

【例2-1]如图2-11所示，根据二棱锥的投影图，判别棱线SA、SB、SC及底边AB、BC、CA是什么直线?

分析:sa,s'a',s"a"都倾斜于投影轴，SA是一般位置直线;同理，棱线SC同样也是一般位置直线;sb//OX,s”b”倾斜于投影轴，s"b"//OZ，因此，SB是正平线。上一页下一页返回

在底边AB的投影中，ah倾斜于投影轴，a'h'//OX,a"h"//OYW，因此，AB是水平线;同样底边BC是水平线;在底边CA的投影中，c"a"⊥OX,c'a'积聚为点，c"a"⊥OZ，因此，CA是正垂线。2.4.2点与直线、直线与直线的相对位置

1.点与直线的相对位置点属于直线，则点的各投影必属于该直线的同面投影，且点分直线长度之比等于其投影长度之比。如图2-12所示，点K属于直线AB，则点K的水平投影k属于直线AB的水平投影ab，点K的正面投影k'属于直线AB的正面投影a'b'，且AK:KB=ak:kb=a'k':k'b'。反之，若点的各投影分别属于直线的同面投影，且分直线的各投影长度之比相等，则该点必属于该直线。

【例2-2】如图2-13所示，已知直线AB的两面投影ab和a'b'，在该线上求点K，使AK:KB=1:2。上一页下一页返回2.4直线的投影2.4直线的投影

分析:点K在直线AB上，则有AK，KB=a'k':k'b'=ak:kb=1:2。可以用平面几何的作图方法将AB的任一已知投影二等分后确定点K的同面投影，进而求出点K的其他投影。作图步骤如下。

(1)过a'作任意一条斜线a'B0。以任意长度为单位长度，在该线上截取三等份，确定K0，使a'K0，K0B0=1:2。连线段b'B0。再过K0作K0k'//B0b',交a'b'于k';(2)过k'作OX轴的垂线交ab于k。点K即为所求。2.直线与直线的相对位置空间两直线的相对位置有二种情况:平行、相交和交叉。其中平行和相交时两直线在同一平面上，称为同面直线;交叉两直线不在同一平面上，称为异面直线。上一页下一页返回2.4直线的投影1)平行若空间两直线互相平行，则其同面投影都平行，且投影长度之比相等，端点字母顺序相同;反之，若两直线的同面投影都平行，则空间两直线互相平行。如图2-14所示，因为AB//CD，则ab//cd,a'b'//c'd'，且ab:cd=a'b':c'd'.如图2-15所示，两直线不平行。

2)相交若两直线相交，则它们的各个同面投影亦分别相交，且交点的投影符合点的投影规律;反之，如果两直线的各个同面投影分别相交，且交点的投影符合点的投影规律，则两直线在必相交。如图2-16(a)所示，两直线AB,CD交于K点;则其水平投影ab与cd交于k;正面投影a'b'与c'd'交于k';kk'垂直于OX轴。对于一般位置的直线和投影面垂直线，要判定两条直线是否相交，只需看它们的任意两个同面投影是否相交且交点的投影是否符合点的投影规律即可。上一页下一页返回2.4直线的投影如图2-16(b)中，因为ab与cd交于k,a'b'与c'd'交于k'，且kk'⊥OX，则空间AB与CD相交。

3)交叉在空间既不平行又不相交的两直线称为交叉直线或异面直线。因此，在投影图上，交叉直线既不符合两直线平行的投影特性，又不符合两直线相交的投影特性。如图2-17(a)所示，a'b'//c'd'，但是，ab不平行于cd，因此，直线AB,CD是交叉直线。图2-17(b)中，虽然ab与cd相交，a'b'与c'd'相交，但它们的交点不符合点的投影规律，因此，直线AB,CD是交叉直线。ab与cd的交点是直线AB和CD上的点Ⅰ和Ⅱ对H面的重影点，a'b'与c'd'的交点是直线AB和CD上的点Ⅲ和Ⅳ对V面的重影点。上一页返回2.5平面的投影

在投影图上平面的投影可以用下列任何一组几何元素的投影来表示:不在同一直线上的三个点;相交两直线;平行两直线;任意平面图形等，如图2-18所示。2.5.1各种位置平面的投影根据对投影面的相对位置的不同，平面可以分为二类:投影面垂直面、投影面平行面、一般位置平面。1.投影面垂直面投影面的垂直面指垂直且只垂直于某一投影面的平面。根据所垂直的投影面的不同，把投影面垂直面分为三种:(1)铅垂面—只垂直于H面的平面;(2)正垂面—只垂直于V面的平面;(3)侧垂面—只垂直于W面的平面。投影面垂直面的投影图及其特性如表2-4所示。下一页返回2.5平面的投影

总之，投影面垂直面在所垂直的投影面上的投影积聚为一条直线，该直线与投影轴的夹角反映平面对另两个投影面的倾角;另外两面投影均为类似形。2.投影面平行面投影面平行面指平行于某一个投影面的平面。根据所平行的投影面的不同，可把它分为三种:(1)水平面—平行于H面的平面;(2)正平面—平行于V面的平面;(3)侧平面—平行于W面的平面。投影面平行面的投影图及其特性如表2-5所示。总之，投影面平行面在所平行的投影面上的投影反映实形;其余两面投影均积聚为直线，且分别平行于所平行的投影面所包含的两个投影轴。上一页下一页返回2.5平面的投影3.一般位置平面一般位置平面指对二个投影面均倾斜的平面，如图2-19所示。平面与投影面的夹角称为平面对投影面的倾角，平面对H,V和W面的倾角分别用α、β和γ表示。由于一般位置平面对H,V和W面既不垂直也不平行，所以它的三面投影既不反映平面图形的实形，也没有积聚性，均为类似形。2.5.2属于平面的点和直线1.属于平面的点若点属于平面，则该点必属于该平面内的一条直线;反之，若点属于平面内的一条直线，则该点必属于该平面。如图2-20(a)所示，平面P由相交两直线AB,BC确定，M,N两点分别属于直线AB,BC，故点M,N属于平面P。上一页下一页返回2.5平面的投影

在投影图上，若点属于平面，则该点的各个投影必属于该平面内的一条直线的同面投影;反之，若点的各个投影属于平面内一条直线的同面投影，则该点必属于该平面。如图2-20(b)所示，在直线AB,BC的投影上分别作m、m'、n、n'，则空间点M,N必属于由相交两直线AB,BC确定的平面。2.属于平面的直线若直线属于平面，则该直线必通过该平面内的两个点，或该直线通过该平面内的一个点，且平行于该平面内的另一已知直线;反之，若直线通过平面内的两个点，或该直线通过该平面内的一个点，且平行于该平面内的另一已知直线，则该直线必属于该平面。如图2-21(a)所示，平面P由相交两直线AB,BC确定，M,N两点属于平面P，故直线MN属于平面P。在图2-21(b)中，L点属于平面P，且KL//BC，因此，直线KL属于平面P。上一页下一页返回2.5平面的投影

在投影图上，若直线属于平面，则该直线的各个投影必通过该平面内两个点的同面投影，或通过该平面内一个点的同面投影，且平行于该平面内另一已知直线的同面投影;反之，若直线的各个投影通过平面内两个点的同面投影，或通过该平面内一个点的同面投影，且平行于该平面内另一已知直线的同面投影，则该直线必属于该平面。如图2-21(c)所示，通过直线AB,BC上的点M,N的投影分别作直线mn,mn，则直线MN必属于由相交两直线AB,BC确定的平面。如图2-21(d)所示，通过直线AB上的点L的投影分别作直线kl//bc,k'l'//b'c'，则直线KL必属于由相交两直线AB,BC确定的平面。

【例2-3]已知平面四边形ABCD的水平投影abcd和AB,BC两边的正面投影a'b',b'c'，如图2-22(a)所示，完成该