《投影法绘制工程》-第五章

5.1平面立体的投影5.1.1概述由若干个平面所围成的几何体称为平面立体。平面立体的每个表面都是平面多边形，称为棱面；表面与表面的交线称为棱线。平面立体的投影，实质上可归结为围成立体到面、线、点的投影。这是研究平面立体投影特征的基本出发点。常见的平面立体有棱柱、棱锥和棱台等。5.1.2棱柱体现在以三棱柱为例来分析平面立体的投影，如图5-2所示。如图5-2(a)所示，有一正三棱柱，其形体特征为棱柱的各棱线互相平行，底而、顶面为多边形。棱线垂直顶面时称直下-页

返回5.1平面立体的投影棱柱，棱线倾斜顶面时称斜棱柱。此棱柱为直棱柱。上下底面为水平面，后棱面为正平面，左右两个棱面为铅垂面。同理，我们也可以分析出三棱柱的侧面（W）投影。从现在起本教材中不再画投影轴，这是因为在立方体投影中，投影轴的位置只反映空间的立体与投影面之间的距离，与立体的投影形状和大小无关，而两相邻投影之间的距离，不影响立体的投影形状和大小。省略投影轴后，在立方体的三投影之间应保持对应的关系。上-页

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返回5.1平面立体的投影例5-1如图5-3所示，已知长方体顶面内的A点和底面内的B点的H面投影a、b，求A、B两点在V面和W面的投影。作法由a、b分别向V面作投影连线，与长方体顶面和底面的v面投影相交得到a'和b'；然后利用45°辅助线求出a"和b"。例5-2如图5-4所示，已知三棱柱的三面投影和三棱柱侧棱面上的直线AB和BC在V面上的投影a'b'、b'c'，求AB、BC在其他两个面的投影，要求清楚地表达所求直线投影的可见性。作法一通过45°辅助线，由A、C在H、V两个投影面上的有关投影分别向W面投影面引投影线，相交得到点a"、上-页

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返回5.1平面立体的投影c"，点6"则由6'向W面直接引投影连线与前棱W面投影相交得到。5.1.3棱锥体

图5-5所示是一个正三棱锥的三面投影图。这个三棱锥的底面是一个水平的等边三角形，在H面上的投影反映它的实形。棱面是三个全等的等腰三角形，与H面成相等的倾角。相邻棱面的交线是棱线，三条棱线等长，也与H面成相等的倾角。棱线交于一点，该点称为棱锥顶点。棱锥顶点与底面中心的连线，叫棱锥轴线，所有正棱锥的轴线都与底面垂直。投影上-页

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返回5.1平面立体的投影时将正三棱锥置于底面水平、左右对称的位置：底面为水平面，后棱面是侧垂面，左前棱面和右前棱面为一般位置平面；前棱线是恻平线，其余两条为一般位置线；后底边是侧垂线，其余两边是水平线。例5-3如图5-5(b)所示，已知点的V面投影m'、n'，我们来求作m、n和m"、n"分析先看点M，点M位于△OAB上，此棱面为一般面，无积聚投影可资利用，需采用一些辅助方法。求出点的投影位置后，我们要判别其可见性。如何判别点投影的可见性呢？这得由点所在平面的可见性决定。平面的上-页

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返回5.1平面立体的投影投影可见，则点可见，否则就不可见。N点位于△OBC上，该棱面在日面的投影可见，所以n可见；但该棱面在W面上的投影不可见，因为形面投影的投射方向是由左向右，△OBC被△OAB遮挡，所以点n"不可见，我们就给n"加上括号。凡是不可见的点的投影，我们都如此标注。总结点、线投影的可见性判别方法就是：平面可见，则面上的点可见；点可见，则其连线可见；否则就不可见。上-页

返回5.2平面截切平面体有些构件的形状是由平面与其组成形体相交，截去基本形体的一部分而形成的。我们把与立体相交、截割形体的平面称为截平面。截平面与形体的交线为截交线。截交线围成的图形称为断面，或称为截断面或截面，如图5-6所示。5.2.1截平面为投影面的平行面当截平面为投影的平行面时，所截得的截交线必定与投影面平行，截交线所围成的断面必然也是投影面的平行面，把握这个特点能比较顺利地求得平面与立体相交后截交线的投影。5.2.2截平面为投影面的垂直面下-页

返回5.2平面截切平面体

当截平面为投影面的垂直面时，所截得的断面必然也是投影面的垂直面，掌握这个特点，我们也可顺利地求得截交线、断面和被截体的投影。下面通过例题对有关解的方法进行讨论。例5-4正四棱柱被一正垂面Pv所截断，如图5-8(a)所示，求其截交线的投影和断面的实形。作图步骤如图5-8(b)所示【例5-5】如图5-9(a)所示，已知带缺口的三棱柱被P、Q、R平面截切的模型，图5-9(b)为已知V面投影和H面投影轮廓，要求补全这个三棱柱的H面的投影和求出w面的投影。上-页

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返回5.2平面截切平面体作图过程分步介绍如下：(1)仔细观察v面投影，将各截平面截割棱柱时在棱线和棱柱面上形成的交点编上号。

(2)各交点向H面引投影连线，确定各交点的H面投影。

(3)连接有关交点，判断其可见性，补全H面投影。因为三棱柱的棱面垂直于H面，属于三棱柱棱面上的截交线必然与三棱柱面的H面投影积聚在一起。R面为侧平面，在H面投影为一条积聚线，即r，因为它被上部形体遮挡，所以在H面投影中画为虚线。上-页

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返回5.2平面截切平面体(4)根据三面投影的对应关系，不考虑缺口，绘制出W面的轮廓线。(5)根据各交点得H、V面投影，求出各交点的W面投影。(6)连接有关交点，判断截交线的可见性，补全W面投影。上-页

返回5.3直线与平面体相交直线与平面体相交，可以看成直线从平面体的某一处表面穿进，从另一表面穿出，这样就在立体表面形成一个穿人点和穿出点，这两个点我们称为贯穿点5.3.1立体表面有积聚投影如果平面体表面是某一投影面的垂直面，它在该投影面上的投影定为积聚投影。此时，无论直线处于特殊位置还是一般位置，我们可以直接利用它的积聚投影求出它与直线的交点，求解过程十分简单。这种方法叫直接作图法。下-页

返回5.3直线与平面体相交例5-6如图5-10所示，已知长方体和直线Q的两面投影轮廓，求直线与长方体相交时的贯穿点，并判别贯穿点的可见性和直线的可见性。对贯穿点和直线的可见性的判别，我们说明如下：贯穿点是否可见，取决于该点所在的平面是否可见，如b'点可见。投影在立体投影轮廓线范围之内是否可见，取决于贯穿点是否可见；如果贯穿点的投影可见，在立体投影轮廓线范围之内包含的这个贯穿点的一段直线的同面投影可见，否则为不可见。b'点可见，则在长方体投影轮廓线内，Q在b'点前那段是实线，即可见；a'不可见，则在长方体投影轮廓线内，Q已经穿出立体的那一小段仍为虚线，即不可见。上-页

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返回5.3直线与平面体相交5.3.2立体表面无积聚投影从上面例题分析中我们认识到：当平面的投影有积聚性时，可直接用求作直线与平面的交点的作图法求解贯穿点；若立体表面的投影无积聚性或直线积聚在无积聚投影的面上，如何求贯穿点呢？我们用辅助线法或辅助平面法求贯穿点。上-页

返回5.4两平面立体相贯5.4.1相贯线的特点由于几何体的形状、大小和相对位置不同，相贯线的形状也不同，但任何相贯线都具有下列性质：(1)相贯线是两立体表面的共有线，是由一系列共有点组成。因此，如果其中一个立体表面的某一投影有积聚性，则可利用在立体表面上取点的方法，求出相贯线的其他投影。(2)由于立体有一定的范围，所以相贯线一般是封闭的空间折线。这些折线可在同一平面上，也可在不同的平面上。下-页

返回5.4两平面立体相贯5.4.2求两个平面立体相贯线的方法根据平面体相贯实质是求直线与平面体的贯穿点问题，求解方法通常有下列三种办法：(1)直接作图法：适用于两立体相贯时，有一立体在投影面上有积聚投影的情况；(2)辅助直线法：适用于已知相贯点的某面投影，求其他面的投影情况；(3)辅助平面法：适用于两立体相贯时，均无积聚投影和其他情况。上-页

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返回5.4两平面立体相贯例5-8如图5-12所示，求三棱柱和四棱柱的相贯线。分析如图5-12所示，该三棱柱与四棱柱相贯，且为全贯。三棱柱的三条棱都穿过四棱柱，相贯线为前后两条封闭折线。由于四棱柱的各棱面均垂直于H面和V面，三棱柱的各棱面均垂直于W面，所以相贯线的水平投影、正面投影和侧面投影均已知，而且前后左右均对称。因此可利用在平面立体上定点的方法，求出各投影面的相贯线投影。5.4.3辅助直线法有时，虽然立体表面或棱线有积聚投影，但由于位置特殊，不能完全利用积聚性来求出相贯点的各面投影，此时就得在立体表面作辅助线来