2026年内蒙古自治区中考真题数学试题（教师卷）

2026年内蒙古自治区初中学业水平考试

数学

注意事项：1．本试卷共6页，满分100分．

2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．

3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题

目要求）

1.下列由字母A与B的创意图形结合产生的图形中，为轴对称图形的是（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重

合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．

【详解】解：B，C，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分

能够互相重合，所以不是轴对称图形，

A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是

轴对称图形．

2.小明买了4袋标准质量为450克的食品，他对这4袋食品的实际质量进行了检测，检测结果如下（用正

数记超过标准质量的克数，用负数记不足标准质量的克数）：

第一袋第二袋第三袋第四袋

2012

其中最重的是（）

A.第一袋B.第二袋C.第三袋D.第四袋

【答案】A

【解析】

【分析】四袋食品标准质量相同，实际质量等于标准质量加上检测结果，因此只需比较检测结果的大小，

检测结果越大则实际质量越重．

【详解】解：四袋食品标准质量均为450克，实际质量450检测结果，

检测结果越大，实际质量越重。

比较各袋检测结果可得2102，

第一袋检测结果最大，实际质量最重．

3.如图，在平面直角坐标系中有一个“心形”图形，“心形”图形上的点H在格点上，若将该图形向上平

移3个单位长度，则该图形上点H的对应点H的坐标是（）

A.(2,1)B.(2,2)C.(1,1)D.(2,1)

【答案】B

【解析】

【分析】根据平面直角坐标系确定点H的坐标，再根据点的平移规律“上加下减”进行计算即可．

【详解】解：由图可知，点H的坐标为(2,1)，

将该图形向上平移3个单位长度，

点H的横坐标不变，纵坐标加3，

对应点H的坐标为(2,13)，

即(2,2)．

4.如图，木工常用的直角曲尺的直角顶点A和其中一端点B分别在两条平行直线a和b上，若1127，

则2的度数是（）

A.53B.47C.37D.27

【答案】C

【解析】

【详解】解：如图，设曲尺左侧边与直线a的夹角为3，

a∥b，

31180（两直线平行，同旁内角互补），

1127，

318012753，

曲尺的直角顶点为A，

3902180，

2180905337．

5.二次函数yx29的图象与x轴交于A，B两点，则线段AB的长是（）

A.3B.6C.9D.18

【答案】B

【解析】

【分析】本题先利用x轴上点的纵坐标为0的性质，求出二次函数与x轴的两个交点坐标，再计算两点间的

距离即可得到结果．

【详解】解：二次函数图象与x轴交点的纵坐标为0

令y0，得方程x2-9=0

解得x13，x23

A，B两点的坐标为3,0和3,0

线段AB的长为336

6.已知压力F（单位：N）一定时，压强p（单位：Pa）与受力面积S（单位：m2）之间的函数关系式

F

为p．当S0.3m2时，p1800Pa，则压强p关于受力面积S的函数图象正确的是（）

S

A.B.

C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意确定p与S的函数关系为反比例函数，求出常数F的值，再根据反比例函数图象的性质

及图象上点的坐标进行判断即可．

F

【详解】p，且F为定值

S

p是S的反比例函数，且S0，图象位于第一象限

排除选项A、B

F

将S0.3，p1800代入p

S

得FpS18000.3540

540

函数解析式为p

S

540

对于C选项，当S0．6时，p900，图象经过点0.6,900，符合题意

0.6

540

对于D选项，当S0．5时，p10801000，不符合题意．

0.5

7.阿拉善盟是内蒙古乃至全国防沙治沙的主阵地，截至2024年底，勤劳的阿拉善人累计人工种植梭梭（一

种防风固沙植物）1026万亩，成活率已经达到90%．下列说法正确的是（）

A.种植10棵梭梭，一定有9棵成活B.种植9棵梭梭，一定有1棵成活

C.种植1棵梭梭，一定不能成活D.种植1棵梭梭，不一定能成活

【答案】D

【解析】

【分析】考查概率的意义．概率表示事件发生的可能性大小，不代表确定性结果．成活率90%意味着成活

的可能性很大，但具体到每一次种植，结果是不确定的．

【详解】解：成活率90%表示在大量重复试验中，成活的可能性为90%，属于随机事件，并非必然事件

或不可能事件

．种植10棵梭梭，不一定有9棵成活，故A错误；

种植9棵梭梭，成活数量不确定，故B错误；

种植1棵梭梭，可能成活也可能不成活，故C错误，D正确．

8.矩形是常见的几何图形，数学中经常利用矩形组成的图形中的面积关系来说明代数恒等式，给出以下3

组图形和3个代数恒等式：

其中，各组图形的面积关系能正确说明其下方代数恒等式的有（）

A.3个B.2个C.1个D.0个

【答案】A

【解析】

【分析】分别计算三个图形中不同部分的面积，利用面积相等建立等式，即可判断对应的代数恒等式是否

成立．

【详解】解：对于第1组图形：大矩形的长为abc，宽为m，面积为m(abc)；它由三个小矩形组

成，面积分别为ma、mb、mc；

m(abc)mambmc，故第1个恒等式正确；

对于第2组图形：左上角正方形的边长为ab，面积为(ab)2；大正方形的面积为a2，减去两个长为a、

宽为b的矩形面积2ab，由于右下角边长为b的小正方形被减了两次，需加回b2；

(ab)2a22abb2，故第2个恒等式正确；

对于第3组图形：大正方形面积为a2，左下角小正方形面积为b2，剩余部分面积为a2b2；剩余部分可

分割为两个矩形，一个长为a、宽为ab，另一个长为b、宽为ab，面积和为

a(ab)b(ab)(ab)(ab)；

a2b2(ab)(ab)，故第3个恒等式正确；

综上所述，能正确说明代数恒等式的有3个．

二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）

x11

9.化简：____________．

x2x2

【答案】1

【解析】

【分析】本题考查同分母分式的化简，利用同分母分式减法法则，分母不变，分子相减，再约分即可得到

结果．

(x1)1x2

【详解】解∶原式1．

x2x2

10.如图，等边三角形纸片ABC的边长为10，点E，F分别为AB，AC边上的点．将BAC沿EF折

叠，若点A恰好落在该纸片BC边的中点D处，则四边形EBDF的周长是____________．

【答案】20

【解析】

1

【分析】连接AD交EF于点O，由三线合一得BDCDBC5，ADBC．由折叠的性质可知，

2

OAOD，AEDE，AFDF，ADEF，可得EF∥BC，由平行线分线段成比例求出

111

AEBEAB5,AFCFDFAC5，再根据三角形中位线的性质求出EFBC5即可

222

求解．

【详解】解：如图，连接AD交EF于点O，

ABC是等边三角形，边长为10

ABBCAC10，

点D是BC边的中点

1

BDCDBC5，ADBC．

2

由折叠的性质可知，OAOD，AEDE，AFDF，ADEF，

∴EF∥BC，

AEAFOA

∴1，

BECFOD

11

∴AEBEAB5,AFCFDFAC5，

22

1

∴EFBC5，

2

∴四边形EBDF的周长BDDFEFBE555520．

11.对于一次函数y(k1)xk（k是常数，且k1），下列结论：

①点(1,1)在此函数图象上；

1

②当k1且y0时，x；

2

③当k0时，y随x的增大而减小．

其中正确的结论是____________．（填写所有正确结论的序号）

【答案】①②##②①

【解析】

【分析】对三个结论逐一验证判断，①将点的横坐标代入函数解析式，计算纵坐标验证，②代入k的值得

到函数解析式，解不等式判断结论，③根据一次函数的增减性与一次项系数的符号关系判断结论．

【详解】解：对于①，将x1代入yk1xk，得yk11kk1k1，所以点1,1在

此函数图象上，故①正确．

对于②，当k1时，函数解析式为y11x12x1，当y0时，得不等式2x10，移项得2x1，

1

系数化为1得x，故②正确．

2

对于③，一次函数yk1xk的增减性由一次项系数k1决定，当k0时，若1k0，则k10，

此时y随x的增大而增大，只有当k10即k1时，y才随x的增大而减小，故③错误．

故正确的结论是：①②．

12.如图，在矩形ABCD中，AB2，AD4，AC是它的一条对角线，以点B为圆心，BA长为半径

1

画弧，交AC于点E（异于点A），分别以点A和点E为圆心，大于AE长为半径，在直线AC的右上方

2

画弧（两弧半径相等），两弧交于点M，连接BM，与AC交于点N，则BN的长为____________．

【答案】45

5

【解析】

【分析】根据题干构造图形，连接BE,AM,EM，由作图可知BM垂直平分AE，根据矩形的性质得到

BCAD4，根据勾股定理求出AC25，根据等面积法计算即可．

【详解】解：如图，连接BE,AM,EM

由作图可知ABBE,AMEM，

即BM垂直平分AE，

∵矩形ABCD，

∴BCAD4，

∵AB2，

∴AC25，

11

∵SABBCACBN，

ABC22

11

∴2425BN，

22

45

解得：BN．

5

三、解答题（共6小题，共64分）

13.计算下列各题：

22

（1）对实数a，b定义一种新运算“”：abaab，其中a0，等式右边是实数运算．计

算：(5)5．

（2）已知多项式Ax2x1，Bx22x，求2AB．

【答案】（1）25

（2）x22

【解析】

【小问1详解】

解：(5)5

22

555

2555

25；

【小问2详解】

解：将Ax2x1，Bx22x代入2AB得：

2AB2(x2x1)(x22x)

2x22x2x22x

x22．

14.AI技术的广泛应用，为各行各业带来了前所未有的变革．某公司要从A，B两款AI产品中选择一款进

行本地部署，聘请五位专家对这两款产品从“信息处理速度”“信息识别准确度”“功能丰富程度”三个

维度分别评分（每个维度满分100分）．

其中，五位专家对“信息识别准确度”评分情况为：

A款产品：73，70，70，75，77；

B款产品：70，69，70，75，76．

对每款产品每个维度评分的平均值作为该维度的得分，整理得到下表：

维度及得分

产品

信息处理速度信息识别准确度功能丰富程度

A787386

B827285

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）请写出五位专家对A，B两款产品的“信息识别准确度”评分的众数和中位数，并以此判断哪款产品

的信息识别准确度更高；

（2）如果公司将“信息处理速度”“信息识别准确度”“功能丰富程度”三个维度的得分按4:3:3的比例

计算两款产品的加权平均数作为最终得分．请你以此为依据为公司选择产品提出合理建议，并说明理由．

【答案】（1）A款评分的众数为70，中位数为73；B款评分的众数为70，中位数为70；A款产品的信息

识别准确度更高；

（2）建议公司选择B款产品．

【解析】

【分析】（1）先对A、B两款产品的评分从小到大排序，根据众数和中位数的定义得到对应结果，再比较即

可判断哪款产品的信息识别准确度更高；

（2）根据给定的权重比计算两款产品的加权平均分，比较得分大小后即可给出合理的选择建议．

【小问1详解】

解：将A款产品“信息识别准确度”的评分从小到大排序为：70，70，73，75，77，

因为数据中70出现次数最多，

因此A款评分的众数为70，

共5个数据，排在中间的是第3个数据，为73，

因此A款评分的中位数为73；

将B款产品“信息识别准确度”的评分从小到大排序为：69，70，70，75，76，

因为数据中70出现次数最多，

因此B款评分的众数为70，

共5个数据，排在中间的是第3个数据，为70，

因此B款评分的中位数为70；

所以两款的众数相同，A款评分的中位数和高于B款，

因此A款产品的信息识别准确度更高；

【小问2详解】

解：根据权重比4:3:3计算两款产品的最终得分：

784733863789

A产品最终得分：78.9，

43310

824723853799

B产品最终得分：79.9，

43310

∵79.978.9，B产品的最终得分更高，

∴建议公司选择B款产品．

15.某超市的一部货运电梯的额定载重量为1000千克，甲、乙两位搬运师傅用这部电梯搬运货物上楼，两

位师傅每次都和货物一起乘梯，已知甲、乙两位师傅的身体质量分别为75千克和65千克．（不考虑空间因

素）

（1）现有一批货物质量共3000千克，两位师傅要把这批货物搬运完，至少需要多少次？请说明理由；

（2）若该超市购进大量A，B两种货物，A种货物每箱的质量为100千克，B种货物每箱的质量为80千克．为

了尽快搬运上楼，这两位师傅决定满载搬运，有哪几种满载搬运的搭配方案？

【答案】（1）至少需要4次，理由如下：

设至少需要x次，由题意得：10007565x3000，

21

解得x3，

43

∵x为正整数，

∴x取4

答：两位师傅要把这批货物搬运完，至少需要4次；

（2）共有2种满载搭配方案：方案一：A种货物3箱，B种货物7箱；方案二：A种货物7箱，B种货物

2箱

【解析】

【分析】（1）设至少需要x次，根据“x次搬运的货物总质量大于等于货物总质量”建立不等式求解即可；

（2）设搬运A种货物m箱，B种货物n箱，（m,n为非负整数），根据题意建立二元一次方程，然后求其非

负整数解即可．

【小问1详解】

略

【小问2详解】

解：设搬运A种货物m箱，B种货物n箱，（m,n为非负整数）

由题意得，100m80n75651000

化简得：5m4n43

m3m7

解得或

n7n2

因此共有2种满载搭配方案：方案一：A种货物3箱，B种货物7箱；方案二：A种货物7箱，B种货物2

箱．

16.已知ABC是O的内接三角形，半径OB与AC边相交于点D．

（1）如图1，连接OA，若OAC15，ACB40，求ADB的度数；

（2）如图2，点E是线段AC延长线上一点，连接BE．

①若CDBOBC，求证：ACB2CAB；

②在①的条件下，若BEBA，试判断线段OB与线段BE的位置关系，并说明理由．

【答案】（1）ADB95；

（2）①证明：连接OC，

∵BCBC，

∴BOC2CAB，

∵OBOC，

∴OBCOCB，

∵CDBOBC，

∴CDBOCB，

∵CBDOBC，

∴CBD∽OBC，

∴BCDBOC，

∴BCD2CAB，

即ACB2CAB；

②OBBE，理由如下：

∵BEBA，

∴EA，

设EAx，

∴ACB2x，

∴BOC2A2x，CBEACBEx，

∵OBOC，

1

∴OBCOCB180BOC90x，

2

∴OBEOBCCBE90xx90，

∴OBBE．

【解析】

【分析】（1）利用圆周角定理和三角形的外角性质求解即可；

（2）①连接OC，利用圆周角定理结合等边对等角，得到CDBOCB，再证明CBD∽OBC，可

推出BCDBOC，即可得到ACB2CAB；

②设EAx，求得OBEOBCCBE90xx90，即可得到OBBE．

【小问1详解】

解：∵ACB40，

∴AOB2ACB80，

∵OAC15，

∴ADBOACAOB95；

【小问2详解】

①略

②略

17.综合与探究

问题情境：有一张边长为15的正方形纸片ABCD，将一张腰长为9的等腰直角三角形纸片的直角顶点与

顶点A重合放置，记该三角形为AEF．顶点E，F分别在正方形的AB，AD边上，如图1．现将AEF

绕点A按逆时针方向旋转角，其中090，得到△AEF，连接BE，DF，如图2．

（1）初步探究：猜想线段BE与线段DF的数量关系，并说明理由；

（2）深入探究：在AEF绕点A按逆时针方向旋转过程中，当AE与BE互相垂直时，AE交EF边于

点M，EF交AD边于点N，如图3．

①求证NANFNDNE；

②求△AEM与△AFM面积的比值．

【答案】（1）BEDF，理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴ABAD,BAD90，

∵AEAF,EAF90

∴由旋转可得，AEAF,EAF90

∴BADEAF90

∴BAEDAF

∴△BAE≌△DAFSAS

∴BEDF；

（2）①证明：∵AEBE，

∴AEB90

由（1）可得，△BAE≌△DAF

∴AEBAFD90

∵EAF90

∴EAFAFD180

∴AE∥DF

NANE

∴

NDNF

∴NANFNDNE；

4

②

3

【解析】

【分析】（1）证明△BAE≌△DAFSAS即可；

（2）①证明AE∥DF，再由平行线分线段成比例定理求解即可；

②过点F作FHAF交AE的延长线于点H，先求出BEAB2AE212，然后证明

27EMAE4

△AFH∽△BEA，求出FH，再由△AEM∽△HFM，得到，再由共高三角形

4FMFH3

面积比等于底之比求解即可．

【小问1详解】

略

【小问2详解】

解：①略

②过点F作FHAF交AE的延长线于点H，

由题意得，AB15,AEAE9，

∵AEB90

∴BEAB2AE212

∵正方形ABCD中，BAD90

∴13902

∵AFHBEA90

∴△AFH∽△BEA

FHAF

∴

AEBE

FH9

∴

912

27

∴FH

4

∵HFDBAD90

∴FH∥AE

∴△AEM∽△HFM

EMAE94

∴FMFH273

4

SEM4

∴△AEM，

S△AFMFM3

4

即△AEM与△AFM面积的比值为．

3

18.综合与实践

下面呈现的是项目式学习的部分学习过程，请你一起参与并完成相应的任务．

项目

为学校操场主席台遮阳棚设置灯带

名称

如图是某学校操场上坐南朝北的主

席台，由地台（长方体）、四根立柱、

遮阳棚组成．从侧面看，遮阳棚由

问题

两条抛物线形线条组成，从正面看，

情境

上方有一矩形，其一边与地台的长

度相同．项目式学习小组想为该矩

形四周设置灯带，测量了地台的长

度，在测量矩形另一边的长度时遇

到了困难，需要解决．

查找图纸：立柱ED5m，FG7m，

两根立柱ED与FG之间的距离

DG8m．点F是过点E，N的抛物

线的最高点，地台高AB1m，立柱FG

到地台前边缘的距离AG2m．

收集

查阅资料：小组通过查阅资料知道本地

信息

春分日正午太阳光线与地面夹角的度数

为49．

实地测量：在太阳光下遮阳棚顶M点的

影子落在操场上的H点处，测得影长

HB7.5m．

说明：①测量时间为春分日正午；

②点A，B，C，D，E，F，G，H，

M，N在同一竖直平面内；点M，N，

A，B