2026年log函数测试题及答案

2026年log函数测试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.函数y=log₂(x+1)的定义域是（）A.(-1,+∞)B.[0,+∞)C.(-∞,-1)D.(-∞,0)2.若log₅a＜log₅b，则（）A.a＞bB.a＜bC.a=bD.无法确定3.下列等式成立的是（）A.logₐa=1B.logₐ0=1C.logₐa²=2aD.logₐb=logₐc÷logₐd4.函数y=log₃(x-1)的图像过点（）A.(2,0)B.(1,0)C.(0,1)D.(0,2)5.若log₂3=a，log₂5=b，则log₂75等于（）A.a+bB.a+2bC.2a+bD.2(a+b)6.函数y=logₐ(x+1)在区间[0,1]上的最大值与最小值之和为2，则a的值为（）A.2B.3C.4D.57.已知log₂m=3，log₂n=2，则log₂(mn)等于（）A.1B.5C.6D.78.函数y=log₂(x²-2x-3)的单调递增区间是（）A.(-∞,-1)B.(-1,1)C.(1,3)D.(3,+∞)9.若logₐx＜logₐy＜0，则（）A.0＜a＜1，x＞yB.a＞1，x＞yC.0＜a＜1，x＜yD.a＞1，x＜y10.函数y=logₐ(x-1)+2（a＞0且a≠1）的图像恒过点（）A.(2,2)B.(2,3)C.(3,2)D.(3,3)二、填空题（每题2分，共20分）1.函数y=log₃(x-1)的定义域是______。2.若log₂a=3，则a=______。3.计算log₅125=______。4.函数y=log₂(x+1)的值域是______。5.已知log₃2=a，log₃5=b，则log₃10=______。6.函数y=log₂(x²-2x-3)的定义域是______。7.若logₐ3＞logₐ2，则a的取值范围是______。8.函数y=log₂(x-1)的反函数是______。9.已知log₂m=3，log₂n=2，则log₂(m²n)=______。10.函数y=log₂(x²-2x-3)的单调递减区间是______。三、判断题（每题2分，共20分）1.函数y=log₂(x+1)是增函数。（）2.若log₅a＜log₅b，则a＜b。（）3.计算log₅125=3。（）4.函数y=log₂(x+1)的值域是R。（）5.已知log₃2=a，log₃5=b，则log₃10=a+b。（）6.函数y=log₂(x²-2x-3)的定义域是(-∞,-1)∪(3,+∞)。（）7.若logₐ3＞logₐ2，则a＞1。（）8.函数y=log₂(x-1)的反函数是y=2^x+1。（）9.已知log₂m=3，log₂n=2，则log₂(m²n)=6。（）10.函数y=log₂(x²-2x-3)的单调递减区间是(-1,1)。（）四、简答题（每题5分，共20分）1.简述log函数的性质。2.如何求函数y=log₂(x+1)的定义域和值域？3.已知log₂3=a，log₂5=b，求log₂75的值。4.函数y=log₂(x²-2x-3)的定义域和单调区间是什么？五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论log函数在实际生活中的应用。2.比较log₂3和log₃2的大小。3.探讨log函数的图像变换规律。4.分析log函数的单调性与底数的关系。答案：一、单项选择题1.A。要使函数有意义，则x+1＞0，解得x＞-1，所以定义域是(-1,+∞)。2.B。对数函数当底数大于0小于1时，真数越大值越小，因为log₅a＜log₅b，所以a＜b。3.A。根据对数的基本性质，logₐa=1。4.A。令x-1=1，解得x=2，此时y=0，所以过点(2,0)。5.C。log₂75=log₂(25×3)=log₂25+log₂3=2log₂5+log₂3=2b+a。6.A。函数y=logₐ(x+1)在区间[0,1]上是增函数，所以最大值为logₐ2，最小值为logₐ1=0，由最大值与最小值之和为2，可得logₐ2+0=2，解得a=2。7.C。log₂(mn)=log₂m+log₂n=3+2=5。8.D。令t=x²-2x-3=(x-1)²-4，函数y=log₂t单调递增，要使函数y=log₂(x²-2x-3)单调递增，则t=x²-2x-3单调递增，解得x＞3，所以单调递增区间是(3,+∞)。9.A。因为logₐx＜logₐy＜0，所以0＜a＜1，且x＞y。10.A。令x-1=1，解得x=2，此时y=2，所以图像恒过点(2,2)。二、填空题1.(1,+∞)。2.8。3.3。4.R。5.a+b。6.(-∞,-1)∪(3,+∞)。7.a＞1。8.y=2^x+1。9.7。10.(-∞,-1)。三、判断题1.对。2.对。3.对。4.错。值域是R。5.错。log₃10=log₃(2×5)=log₃2+log₃5=a+b。6.对。7.对。8.错。反函数是y=2^x+1。9.对。10.错。单调递减区间是(-∞,-1)。四、简答题1.log函数的性质：当底数a＞1时，函数单调递增；当0＜a＜1时，函数单调递减；定义域为(0,+∞)；值域为R；过点(1,0)。2.对于函数y=log₂(x+1)，要使函数有意义，则x+1＞0，解得x＞-1，所以定义域是(-1,+∞)。因为对数函数的值域是R，所以该函数的值域是R。3.log₂75=log₂(25×3)=log₂25+log₂3=2log₂5+log₂3=2b+a。4.令t=x²-2x-3=(x-1)²-4，要使函数有意义，则t＞0，即(x-1)²-4＞0，解得x＜-1或x＞3，所以定义域是(-∞,-1)∪(3,+∞)。函数y=log₂t单调递增，当x＞3时，t单调递增，所以函数的单调递增区间是(3,+∞)；当x＜-1时，t单调递减，所以函数的单调递减区间是(-∞,-1)。五、讨论题1.log函数在实际生活中有很多应用，比如在化学中，pH值就是用对数来表示的；在生物学中，种群数量的增长可以用对数函数来描述；在经济学中，复利的计算也可以用对数函数来表示。2.因为log₂3＞log₂2=1，log₃2＜log₃3=1，所以log₂3＞log₃2。3.log函数