湖北省黄冈市黄梅县2025-2026学年高二数学上学期12月月考试题含解析

一、单选题：本大题共8小题，共40分.

1.已知直线ax+by-1=0过点（2，0），且与直线x3y0平行，则ab（）

A.1B.2C.-2D.-1

【答案】D

【解析】

【分析】利用两条直线平行的特点即可求出.

1

【详解】由直线ax+by-1=0过点2,0，得a´2+b´0-1=0，即a，

2

13

由直线xby10x2by20与直线x3y0平行，得2b3，即b，

22

所以ab1．

故选：D.

2.圆22与圆22的位置关系为（）

C1:xy2x2y10C2:xy6x4y30

A.外切B.内切C.相交D.相离

【答案】A

【解析】

【分析】分别求得C1和C2的圆心坐标和半径，结合圆与圆的位置关系的判定方法，即可求解.

22

【详解】将圆C1的方程化为标准方程为x1y11，圆心为C11,1，半径r11，

22

圆C2的方程化为标准方程为x3y216，圆心为C23,2，半径r24，

由22，且rr5，可得CCrr，

C1C213125121212

所以圆C和C外切

12.

故选：A.

x2y2

3.已知椭圆1(0)，则不随参数的变化而变化的是（）

42

A.顶点坐标B.离心率C.焦距D.长轴长

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，求出椭圆的长短半轴长、半焦距、离心率即可判断得解.

x2y2

【详解】椭圆1(0)中，长半轴长a4，短半轴长b2，半焦距

42

ca2b22，

2

显然顶点坐标(a,0),(0,b)随的变化而变化，离心率e随的变化而变化，

4

长轴长2a随的变化而变化，ABD不是；

焦距2c22不随的变化而变化，C是.

故选：C

4.已知直线l:ykx1和圆C:x2(y1)23，若直线l与圆C相切，则k（）

333

A.B.3C.或D.3或3

333

【答案】C

【解析】

【分析】由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径，列方程可求出k的值.

22

【详解】圆C:x(y1)3，则圆心为(0,1)，半径为3，

因为直线l:ykx1即kxy10和圆C:x2(y1)23相切，

233

所以3，平方得43k23，解得k或.

k2133

故选：C

2

5.一条光线从点P0,4射出，经直线xy30反射后，与圆C:x5y21相切于点M，则光线

从P到M经过的路程为（）

A.4B.5C.211D.26

【答案】C

【解析】

【分析】求出P关于直线xy30的对称点Q，然后计算点Q引出的切线长即可.

【详解】设P关于直线xy30的对称点为Qm,n，则光线反射后经过的路径所在的直线即为直线

QM.

根据Q的定义，有P,Q到直线的距离相等，且其连线与其垂直，

043mn3n4

故，·11.

22m

从而mn31，mn4，故2n71，即n3或n4.

但P,Q不重合，故n¹4，所以n3，从而m1，即Q1,3.

22

而C5,0，CM1，故QMQCCM623212211.

根据对称性，光线经过的路程即为QM211.

故选：C.

6.设O为坐标原点，直线x2与抛物线C：y22px(p0)交于D，E两点，若ODOE，则C的

焦点坐标为（）

11

A.,0B.,0C.(1,0)D.(2,0)

42

【答案】B

【解析】

【分析】根据题中所给的条件ODOE，结合抛物线的对称性，可知DOxEOx，从而可以确

4

定出点D的坐标，代入方程求得p的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.

【详解】因为直线x2与抛物线y22px(p0)交于E,D两点，且ODOE，

根据抛物线的对称性可以确定DOxEOx，所以D2,2，

4

1

代入抛物线方程44p，求得p1，所以其焦点坐标为(,0)，

2

故选：B.

【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，

点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.

x2y2

7.双曲线C:1(a0,b0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为

a2b2

11

A.2sin40°B.2cos40°C.D.

sin50cos50

【答案】D

【解析】

2

bbcb

【分析】由双曲线渐近线定义可得tan130,tan50，再利用e1求双曲线的

aaaa

离心率．

bb

【详解】由已知可得tan130,tan50，

aa

2222

cb2sin50sin50cos501

e11tan501，故选D．

aacos250cos250cos50

2

x2y2cbx2y2

【点睛】对于双曲线：，有；对于椭圆，

221a0,b0e1221ab0

abaaab

2

cb

有e1，防止记混．

aa

x2y2

8.椭圆1的焦点在x轴上，则它的离心率的取值范围（）

5a4a21

1155

A0,B.,1C.0,D.,1

.5555

【答案】C

【解析】

x2y2

【分析】根据椭圆1的焦点在x轴上，确定a的范围，表示出椭圆的离心率，利用基本不

5a4a21

等式，可得结论．

x2y2

【详解】∵椭圆1的焦点在x轴上，

5a4a21

∴5a＞4a2+1

1

∴＜a＜1

4

5a4a21111151

∵椭圆的离心率为14a124a（当且仅当4a，即

5a5a5a5a

1

a时取等号）

2

∴椭圆的离心率的取值范围为（0，5]

5

故选：C．

【点睛】本题考查椭圆的标准方程与离心率，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．

二、多选题：本大题共3小题，共18分.

x2y2

9.已知点F1,F2是双曲线1(a0,b0)的左､右焦点，P是双曲线右支上的一点，且PF2a，

a2b2

PF1PF2，则（）

A.PF13a

2

B.PF1F2的面积为a

C.双曲线的离心率为10

2

6

D.直线yx是双曲线的一条渐近线

2

【答案】ACD

【解析】

【分析】由双曲线定义可以判断A；借助于PF1PF2，直接求PF1F2判断B选项；焦点三角形中借助勾

c2b2

股定理得到a,c关系可判断C；借助于1，求渐近线方程判断D.

a2a2

【详解】

由双曲线的定义可得PF1PF22a，PF2a，PF13a，故A正确；

13

因为FPF90，故PFF的面积为a3aa2，故B错误；

121222

2

222c10

由勾股定理得a(3a)(2c)，即5a22c2，所以e，故C正确；

a22

2

c2b2b3b66

因为1，所以，即，所以双曲线的渐近线方程为yx，故D正确，

a2a2a22a22

故选：ACD.

x2y2

10.已知F1,F2是椭圆C:1的两个焦点，点P在C上且不在x轴上，则（）

259

A.椭圆C的长轴长为10

4

B.椭圆C的离心率为

5

C.椭圆C的焦距为4

D.PF1F2的周长为18

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据椭圆方程写出长轴长、焦距、离心率，结合椭圆的定义求焦点三角形的周长，即可得答案.

【详解】由椭圆方程知：a5,b3,c4，

c4

所以椭圆长轴长为2a10，焦距2c8，离心率，A、B对，C错；

a5

PF1F2的周长为|PF1||PF2||F1F2|2a2c18，D对.

故选：ABD

2

11.已知抛物线C:y2px(p0)的焦点为F，直线的斜率为3且经过点F，直线l与抛物线C交于点

A，B两点（点A在第一象限）、与抛物线的准线交于点D，若|AF|6，则以下结论正确的有（）

A.p2B.F为AD中点

C.|BD|2|BF|D.|BF|2

【答案】BCD

【解析】

【分析】作AC准线于C，AMx轴于M，BE准线于E，计算得到p3，F为AD中点，

DB2BF，BF2，得到答案.

【详解】如图所示：作AC准线l于点C，AMx轴于M，BE准线l于点E．直线的斜率为3，

所以tanAFM3,

∴AFM,|AF|6，

3

p

故MF3,AM33,A3,33，代入抛物线，得p3（p9舍去）；|NF||FM|3，所

2

以AMF≌DNF，故F为AD中点；

又BDE，故|DB|2|BE|2|BF|；

6

|BD|2|BF|，|BD||BF||DF||AF|6，故|BF|2．

故选：BCD．

三、填空题：本大题共3小题，共15分.

12.若圆C:x2y22mx2y0被直线2xy10平分，则圆C的半径为______．

【答案】2

【解析】

【分析】首先根据条件确定圆心在直线上，代入求m后，即可求圆的半径．

【详解】若圆C被直线2xy10平分，则直线过圆心，

圆C:x2y22mx2y0的圆心为(m,1)，

即2m110，

解得：m1，

则圆C:(x1)2(y1)22，则圆C的半径为2．

故答案为：2．

22

、xy

13.如果F1F2分别是双曲线1的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且|AB|6，

169

则ABF2的周长是____

【答案】28

【解析】

【分析】本题涉及到双曲线上的点和两焦点构成的三角形问题，可用定义处理，由定义知AF2AF18①，

BF2BF18②，两式相加再结合已知|AB|6即可求解.

【详解】解：由题意知：a4,b3，故c5.

由双曲线的定义知AF2AF18①，BF2BF18②，

①＋②得：AF2BF2|AB|16，所以AF2BF222，

△

所以ABF2的周长是AF2BF2|AB|28.

故答案为：28.

【点睛】本题考查双曲线的定义的应用，涉及到双曲线上的点和两焦点构成的三角形问题，一般用定义处

理.

14.已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF2FD，则

C的离心率为________________

【答案】3

3

【解析】

【详解】设椭圆C的焦点在x轴上，如图所示，则B(0，b)，F(c,0)，D(xD，yD)，则BF＝(c，－b)，FD

＝(xD－c，yD)，

c2xDc

∵BF＝2FD，∴{

b2yD

3c

x

D2

∴{

b

y

D2

22

3cb

213

∴2＋2＝1，即e＝，∴e＝．

33

a2b2

四、解答题：本大题共5小题，共77分.

15.（1）已知曲线C:(5m)x2(m2)y28(mR).若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范

围；

14

（2）求满足下列条件的椭圆的标准方程：经过两点2,2，1,.

2

7x2y2

【答案】（1）,5；（2）＋＝1.

284

【解析】

x2y2

1

【分析】（1）由题意，将曲线C:(5m)x2(m2)y28(mR)转化为88，再根据曲

5mm2

线C表示焦点在x轴上的椭圆，列出关于m的不等式，即可求出结果.

（2）方法一：分别根据焦点在x，y轴上，设椭圆的标准方程，代入点，即可求出结果；

方法二：设椭圆的一般方程为Ax2By21(A0，B0，AB)，即可求出结果.

x2y2

1

【详解】由(5m)x2(m2)y28，得88.

5mm2

因为椭圆的焦点在x轴上，

88

,

5mm2

8

所以0,

5m

8

0,

m2

77

解得<m<5.所以m的取值范围是(,5)

22

42

1,

x2y2a2b2

（2）方法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为1ab0.由已知条件得

22114

ab1,

a24b2

a28,22

解得所以所求椭圆的标准方程为x＋y＝1；

2

b4.84

y2x2

若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为1ab0.

a2b2

42

1,2

b2a2a4,

由已知条件得解得则a2b2，与ab0矛盾，舍去.

114b28.

1,

b24a2

x2y2

综上可知，所求椭圆的标准方程为1.

84

方法二：设椭圆的一般方程为Ax2By21(A0，B0，AB).

14

分别将两点的坐标2,2，1,代入椭圆的一般方程，

2

1

4A2B1,A,

8

得14解得

AB1,1

4B,

4

x2y2

所以所求椭圆的标准方程为1.

84

16.已知直线l经过点P2,1，与直线x2y30和2xy60分别交于A，B两点，而且线段AB

被点P平分．

（1）求直线l的方程；

（2）若圆C的圆心在l上，与直线4x3y140相切，且直线3x4y100被此圆截得弦长为6，

试求圆C的方程．

【答案】（1）xy10．

22

（2）x2y125．

【解析】

【分析】（1）设Am,n，B4m,2n，分别代入直线x2y30和2xy60，求出A点坐

标，利用两点式方程能求出直线l的方程．

（2）设Cx,x1，可利用点到直线距离公式表示出半径，再根据弦长公式计算可求出圆C的方程.

【小问1详解】

由线段AB被点P平分，可设Am,n，则B4m,2n，

5

m

m2n303

则有，解得，

24m2n602

n

3

5252

A,，直线l过A,，P2,1，

3333

2

1

y1

直线l的方程为：3，整理得xy10，

5

x22

3

即直线l的方程为xy10；

【小问2详解】

圆C的圆心在直线xy10上，可设Ca,a1，

圆C与直线4x3y140相切，圆心到直线距离dR，

4a3a1147a11

R，

42325

3a4a1107a6

圆心到直线距离，

Ca,a13x4y100d1

32425

直线3x4y100被此圆截得弦长为6，

222

67a67a11

，整理得70a140，解得a2，

255

2

7a11

R225，圆心C2,1，

5

22

圆C的方程为：x2y125.

x2y22

17.已知椭圆过点1,，且焦距为．

C:221(ab0)2

ab2

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设过点P2,0的直线l与椭圆C交于不同的两点，求直线l的斜率k的取值范围．

x2

【答案】（1）y21；

2

22

（2）,.

22

【解析】

211

【分析】（1）利用焦距求出，得到22通过点1,在椭圆上，得，即可解

c1ab1.C221

2a2b

得椭圆C的标准方程．

（2）设直线l的方程为ykx2，通过联立直线与椭圆方程，利用判别式的符号，求解k的范围即可．

【小问1详解】

211

将1,代入椭圆方程可得，

221

2a2b

又2c2，即c1，且a2b2c21，解得a22，b21，

x2

所以椭圆方程为y21；

2

【小问2详解】

当k不存在时，显然不满足题意，故k存在，

不妨设直线l的方程为ykx2，

x2

y21

联立2，得12k2x28k2x8k220，

ykx2

则64k4412k28k22816k20，

22

解得k，

22

22

即k的取值范围是,.

22

18.已知点A1,0，B1,0，直线AM，BM相交于M，且它们的斜率之积为2．

（1）求动点M的轨迹方程；

1

（2）若过点N,1的直线l交点M的轨迹于C，D两点，且N为线段CD的中点，求直线l的方程．

2

y2

【答案】（1）x21x1

2

（2）2x2y10

【解析】

【分析】（1）设M坐标为x,y，利用直线AM，BM相交于M，且它们的斜率之积为2，即可确定出M

的轨迹方程；

（2）设出C与D坐标，分别代入M的轨迹方程，整理由根据N为CD中点，求出直线l斜率，即可确定

出直线l方程．

【小问1详解】

设Mx,y，直线AM，BM相交于M，

yyy2

且它们的斜率之积为2，2，化简得x21x1，

x1x12

y2

则动点M的轨迹方程为x21x1；

2

【小问2详解】

y2

由（1）得M的轨迹方程为x21x1，

2

22

2y12y2

设点