2026年江苏南京九年级数学专题复习提分训练卷｜15离散数学·函数与几何综合专项（含答案解析、评分细则与学生作答区）

2026年江苏南京九年级数学专题复习提分训练卷｜15离散数学·函数与几何综合专项（含答案解析、评分细则与学生作答区）学校：______________班级：__________姓名：__________考号：______________考试时间：120分钟满分：120分适用对象：九年级数学专题复习与冲刺模拟训练命题范围：离散数学基础思想、计数与路径、整数格点、函数图象、圆与三角形、相似与坐标几何综合。注意事项：1.本卷共23题，满分120分；2.所有作答必须写在题后作答区或指定横线上；3.解答题应写出必要步骤、关键理由和结论；4.允许使用直尺、圆规、铅笔作图，计算结果需化简。题型结构与分值核算表题型题号考查重点分值一、选择题1—8离散计数、集合关系、函数图象、格点路径、圆与坐标基础8×3=24分二、填空题9—14数列递推、子集计数、函数最值、几何量与格点统计6×3=18分三、解答题15—21计数证明、函数与格点、几何综合、图结构与路径分析8+8+8+9+9+10+10=62分四、综合压轴题22—23离散条件下的函数区域与路径约束综合8+8=16分合计1—23九年级数学专题复习与冲刺模拟训练120分一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。每小题只有一个正确选项）1.某活动将6个展台看作6个点，展台间通道看作线段。若6个点的度数依次为3，3，2，2，2，2，则通道总数为（）。

A.6B.8C.7D.14（3分）2.设集合A={1，2，3，4}，在A上定义关系“x与y同类”表示x+y为偶数，则A被分成的同类组数是（）。

A.1B.2C.3D.4（3分）3.函数y=-x²+4x+5，当x取整数-1，0，1，2，3，4，5时，函数值大于5的点共有（）。

A.3个B.4个C.5个D.6个（3分）4.在方格纸中，从点(0，0)走到点(3，2)，每一步只能向右或向上走一个单位，则不同最短路径共有（）。

A.8条B.10条C.12条D.15条（3分）5.圆O中，弦AB长8，圆心O到弦AB的距离为3，则圆O的半径为（）。

A.4B.5C.6D.7（3分）6.二次函数图象与x轴交于-1和3两点，且经过点(0，-3)，则其顶点坐标为（）。

A.(1，-4)B.(1，4)C.(-1，-4)D.(3，-3)（3分）7.5名学生排成一列，其中甲、乙不相邻的排法共有（）。

A.48种B.60种C.72种D.96种（3分）8.直线y=x+1上满足0≤x≤4，0≤y≤5的整点共有（）。

A.4个B.5个C.6个D.7个（3分）选择题作答区：1____2____3____4____5____6____7____8____二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9.数列满足a₁=2，aₙ₊₁=aₙ+2n+1，则a₅=__________。（3分）10.集合B={x｜x为整数，-2≤x≤5}，则B中含有元素2的子集共有__________个。（3分）11.抛物线y=x²-6x+c经过点(2，-1)，则它的最小值为__________。（3分）12.长方形ABCD中，AB=6，AD=4，则对角线AC的长为__________。（3分）13.在4×4的单位方格中，不与外边界相接的1×1小正方形共有__________个。（3分）14.一次函数y=2x+b经过点(1，5)，若其图象与y轴交于点M，则OM=__________。（3分）三、解答题（本大题共7小题，共62分。请写出必要步骤）15.从1到20这20个整数中任取两个不同的数。

（1）求所取两个数之和为偶数的取法数；

（2）若所有取法等可能，求所取两个数之和为偶数的概率。（8分）______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________16.在平面直角坐标系中，直线l：y=-x+6。

（1）写出直线l在第一象限内且横、纵坐标均为正整数的点；

（2）若这些点依次连接成折线，说明它们都在同一直线上，并求这条折线相邻点之间横坐标差的规律。（8分）______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________17.如图意描述：在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且BD=DC。过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。

（1）证明DE=DF；

（2）若AB=10，BC=12，求△ABC的面积。（8分）________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________18.已知二次函数y=x²-4x+3。

（1）填写当x=-1，0，1，2，3，4，5时的函数值；

（2）在上述7个整点中，函数图象位于x轴下方的点有几个？

（3）结合对称轴说明为什么x=1与x=3对应的函数值相同。（9分）________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________19.某社区用6个节点A，B，C，D，E，F表示6个服务点，用线段表示可直接步行到达的道路。已知各服务点直接道路条数分别为3，3，2，2，2，2。

（1）求道路总条数；

（2）若从A到F的最短路线必须经过B或C，且经过B的路线有3条，经过C的路线有2条，两类路线没有重复，求从A到F的此类最短路线数；

（3）说明为什么“所有节点的度数和一定是偶数”。（9分）________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________20.在平面直角坐标系中，A(0，4)，B(6，0)，线段AB与坐标轴围成△AOB。

（1）求直线AB的函数表达式；

（2）线段AB上横、纵坐标均为整数的点共有几个？写出这些点；

（3）取线段AB上的整点P(3，2)，求△AOP的面积。（10分）____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________21.正方形ABCD边长为6，点E在AB上，AE=2，点F在AD上，AF=3。连接CE，CF。

（1）求△CEF的面积；

（2）若以A为原点，AB方向为x轴，AD方向为y轴建立坐标系，写出E，F，C的坐标；

（3）说明用坐标法求面积时，离散的边长数据怎样转化为几何计算。（10分）____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________四、综合压轴题（本大题共2小题，共16分。第22题8分，第23题8分）22.在平面直角坐标系中，考虑所有满足0≤x≤4，0≤y≤3，且x、y均为整数的点。再加入函数条件y≥x-1。

（1）先求原矩形区域内整点总数；

（2）按x=0，1，2，3，4分类，求满足y≥x-1的整点个数；

（3）若从原矩形区域内随机取一个整点，求它满足y≥x-1的概率。（8分）____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________23.在3×3方格网中，从A(0，0)到B(3，3)走最短路线，每一步只能向右或向上走一个单位。规定路线不得经过点C(1，1)。

（1）求从A到B的所有最短路线条数；

（2）求经过C的最短路线条数；

（3）求不经过C的最短路线条数，并用“先整体计数再剔除”的思想说明理由。（8分）____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________学生检查清单（交卷前自查）项目自查内容学生勾选题号1—23题是否全部作答，没有跳题、漏题、错位填写。□分值8分、9分、10分题是否写出步骤，综合题22—23题是否各按8分完成。□计算组合数、路径数、函数值、几何面积是否复核。□表达证明题是否有理由，概率题是否写出总数和符合条件数。□卷面作图、横线、答案区是否清晰，最终答案是否单独标出。□

参考答案、逐题解析、评分细则与错因提示评分总原则：选择题、填空题只看最终答案；解答题按关键步骤给分，过程正确但最终计算小误可酌情扣1分；综合题第22题8分、第23题8分，二题合计16分，整卷合计120分。题号12345678答案CBABBACB题号91011121314答案26128-22√1343选择题解析与评分细则1.度数和为3+3+2+2+2+2=14，每条通道贡献2个度数，所以通道数为14÷2=7，选C。评分：选C得3分。错因提示：把度数和直接当边数会多算一倍。2.x+y为偶数等价于x与y同奇偶。A分为{1，3}和{2，4}两类，选B。评分：选B得3分。错因提示：只看元素个数而未区分奇偶分类会误选4。3.代入整数得：x=-1，0，1，2，3，4，5时函数值分别为0，5，8，9，8，5，0，大于5的有x=1，2，3三个，选A。评分：选A得3分。错因提示：把等于5也计入会多算。4.从(0，0)到(3，2)共需3次向右、2次向上，排列数为C(5，2)=10，选B。评分：选B得3分。错因提示：把方向顺序看成固定会少算。5.圆心到弦的垂线平分弦，半弦长为4，与距离3构成直角三角形，半径r=√(4²+3²)=5，选B。评分：选B得3分。错因提示：误用整弦8与3直接求半径会出错。6.设y=a(x+1)(x-3)，代入(0，-3)得-3=-3a，所以a=1，y=x²-2x-3，顶点为(1，-4)，选A。评分：选A得3分。错因提示：对称轴是两根平均数，不是根本身。7.5人全排列为5!=120。甲乙相邻时把二人看作一组，有2×4!=48种，所以不相邻为120-48=72，选C。评分：选C得3分。错因提示：忘记甲乙组内顺序会少算。8.直线y=x+1上x可取0，1，2，3，4，对应y为1，2，3，4，5，均满足条件，共5个整点，选B。评分：选B得3分。错因提示：只数图中内部点而漏端点。填空题解析与评分细则9.a₂=5，a₃=10，a₄=17，a₅=26。答案26。评分：填26得3分。错因提示：递推中n随项次变化，不能每次都加同一个数。10.B中整数为-2，-1，0，1，2，3，4，5，共8个。含2的子集必须选2，其余7个元素任意选或不选，共2⁷=128个。评分：128得3分。错因提示：把“含2”误认为“只含2”。11.代入(2，-1)：-1=4-12+c，得c=7。y=x²-6x+7=(x-3)²-2，最小值为-2。评分：-2得3分。错因提示：只求c而未求最小值会失分。12.由勾股定理AC=√(6²+4²)=√52=2√13。评分：2√13得3分。错因提示：根式未化简可酌扣1分。13.4×4单位方格有4行4列，内部不接触外边界的单位小正方形为中间2×2，共4个。评分：4得3分。错因提示：把格点数与小正方形数混淆。14.点(1，5)代入y=2x+b，得5=2+b，b=3，与y轴交点M为(0，3)，OM=3。评分：3得3分。错因提示：把b写成交点坐标而未求距离。解答题与综合题解析、评分细则15.答案：（1）90种；（2）9/19。解析：1到20中奇数10个、偶数10个。两数和为偶数需同奇偶，取法数为C(10，2)+C(10，2)=45+45=90。总取法C(20，2)=190，概率为90/190=9/19。评分细则：正确判断同奇偶得2分；分别计算奇奇、偶偶取法得3分；算出总取法得1分；概率化简得2分。错因提示：若把有序取法与无序取法混用，概率分母会错误。16.答案：（1）(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)；（2）它们都满足y=-x+6，相邻点横坐标依次增加1，纵坐标依次减少1。评分细则：列出5个正整数点得4分；说明均满足函数表达式得2分；写出横坐标差和纵坐标变化规律得2分。错因提示：把坐标轴上的(0，6)、(6，0)计入第一象限内正整数点会多算。17.答案：（1）DE=DF；（2）面积为48。解析：AB=AC且D为BC中点，等腰三角形底边中线AD也是角平分线。D在角平分线上，到角两边AB、AC的距离相等，所以DE=DF。又BC=12，BD=6，AB=10，在Rt△ABD中，AD=√(10²-6²)=8，面积S△ABC=1/2×12×8=48。评分细则：指出D为底边中点且AD为角平分线得2分；利用角平分线性质证明DE=DF得2分；求出AD=8得2分；面积计算得2分。错因提示：若把AD误作10，会导致面积错误。18.答案：（1）函数值依次为8，3，0，-1，0，3，8；（2）1个；（3）对称轴x=2，x=1和x=3关于x=2对称，所以函数值相同。评分细则：七个函数值全对得4分，错一个扣1分，扣完为止；判断位于x轴下方只有(2，-1)得2分；写出对称轴x=2得1分；说明x=1与x=3对称得2分。错因提示：把“下方”理解为小于或等于0会把x=1、3误计入。19.答案：（1）7条；（2）5条；（3）每条边连接两个节点，对度数和贡献2，所以总度数必为边数的2倍，必是偶数。评分细则：度数和14得2分；道路数14÷2=7得2分；路线数3+2=5得2分；说明每条边贡献两个端点度数得2分；结论“偶数”表达清楚得1分。错因提示：若经过B和经过C的路线有重复，需要减去重复部分；本题已说明没有重复。20.答案：（1）y=-2/3x+4；（2）3个，分别为(0，4)，(3，2)，(6，0)