经济数学-微积分（下篇共上中下3篇）

第五章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C定积分及其应用经济数学——微积分上海财经大学数学学院

编Calculuse7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、定积分的定义三、定积分的几何意义一、引例目录/Contents第一节定积分的概念与性质四、定积分的性质一、引例1．曲边梯形的面积图5.1设曲线在区间上非负、连续.由直线,,及曲线所围成的平面图形称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边.如图5.1所示.（1）分割解决步骤:一、引例如图5.2所示，在区间中任意插入个分点，即把区间分成个小区间()，().长度分别为它们的图5.2一、引例过每个分点（）作平行于轴的直线段，形分成个小曲边梯形.它们的面积分别记为().把曲边梯（2）近似（3）求和一、引例在每个小区间()上任取一点，以为底，为高的小矩形面积近似替代第个小曲边梯形的面积，（）.将这个小矩形面积加起来，形的面积的近似值，于是式，得到一个和它是曲边梯即（4）取极限一、引例只有当分割充分细时，记，度中的最大值趋于零，.上面和式就可以无限接近曲边梯形的面积为保证所有小区间的长度趋于零，区间长我们要求小，当时即有2．变速直线运动的路程一、引例设变速运动的速度函数(为时间）是定义在上的连续函数，求路程的表达式.在很短的一段时间内，速度变化很小，可以近似看作匀速运动.因此若将划分为若干个小的时间区间，在每个小区间内，以匀速运动近似变速运动，计算每个小区间的近似路程，再将这些路程求和，即为变速直线运动的近似路程.具体做法如下：（1）分割().

（2）近似（）.

一、引例在第个小区间上任取一点，将速度看作不变的于是路程可近似计算为在区间内任意插入个分点，即把区间分成个小区间()，它们的长度为（3）求和（4）取极限则记一、引例3．由边际成本求可变成本一、引例设边际成本函数(为产量)是定义在上的连续函数，求可变成本的表达式.当产量从逐步增大到，由于增长过程中，成本对于产量的增长率（即边际成本）并不相同，但是，若将分割成个小区间，这样在每个小区间内成本的增长速度是近似相等的.具体做法如下：（1）分割在区间内任意插入个分点，把区间分成个小区间()，().

（2）近似在第个小区间上任取一点，（）.

看作不变的，边际成本）一、引例即它们的长度为将成本的增长速度（即时，于是产量增长成本的增长额（3）求和（4）取极限则记一、引例以上三个例子虽然实际背景完全不同，问题的思想和方法是相同的，的和式的极限问题.最后能转化为形如有大量的问题归结为这类数学模型。把这一方法加以概括抽象，得到了定积分的定义.

一、引例但从数学的角度来看，其解决都是通过“分割、近似、求和、取极限”，在科学技术和经济领域中e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、定积分的定义三、定积分的几何意义一、定积分问题举例目录/Contents第一节定积分的概念与性质四、定积分的性质定义5.1二、定积分的定义将区间分成个小区间,,,，各小区间的长度依次为，，，.在各个小区间()上任取一点，（），设函数在区间上有定义，在区间内任意插入个分点，即作乘积二、定积分的定义求和，记，上点怎样的取法，都存在，记作，这时称函数在区间上可积，，其中称为积分区间，称为积分下限，称为积分上限，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量.如何分割，如果不论对区间也无论在小区间，当时只要极限在区间上的定积分，则称此极限值为函数即二、定积分的定义由定积分定义，上面引例中的两个具体问题可用定积分表示：1．直线,及轴所围成的曲边梯形(图5.1所示)的面积是函数()在区间上的定积分，即.2．即.曲线(),由连续变速运动的速度函数(为时间）是定义在上的连续函数，那么路程是函数在上的定积分，2.定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即注意:1.定积分是和式的极限，是一个数，与不定积分不同。3.极限过程是而不仅仅是二、定积分的定义5.关于函数可积性的两个结论：且只有有限个间断点4.二、定积分的定义e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、定积分的定义三、定积分的几何意义一、定积分问题举例目录/Contents第一节定积分的概念与性质四、定积分的性质曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和三、定积分的几何意义e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、定积分的定义三、定积分的几何意义一、定积分问题举例目录/Contents第一节定积分的概念与性质四、定积分的性质(设所列定积分都存在)3.积分区间的可加性四、定积分的性质定积分的性质:(k为常数)5.若在[a,b]上则若在[a,b]上则推论5.2四、定积分的性质推论5.1解由推论5.1知的大小.与四、定积分的性质比较定积分在区间[-2,0]上有【例1】6.

设则(估值定理)四、定积分的性质四、定积分的性质【例2】求在上的平均值.证明由积分中值定理可知平均值为：注意：最后的定积分值可以由定积分定义求得，也可以由牛顿-莱布尼茨公式求得.四、定积分的性质【例3】估计积分的大小.在上，,即为减函数，那么它在闭区间的端点上取得最大值和最小值：则由估值定理可知，即设，，.则证明7.积分中值定理则至少存在一点使证则由性质6

可得根据闭区间上连续函数介值定理,使因此定理成立.四、定积分的性质说明:

可把它是有限个数的平均值概念的推广.

积分中值定理对图5.5四、定积分的性质e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C内容小结1.定积分的定义—特殊乘积和式的极限2.定积分的性质3.积分中值定理连续函数在区间上的平均值公式e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C学海无涯,祝你成功！经济数学——微积分上海财经大学数学学院

编Calculus第五章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C定积分及其应用经济数学——微积分上海财经大学数学学院

编Calculuse7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、牛顿–莱布尼茨公式一、积分上限函数与原函数存在定理目录/Contents第二节微积分基本定理一、积分上限函数与原函数存在定理定义

若在区间上连续，那么，，称为积分上限函数.定理5.2原函数存在定理一、积分上限函数与原函数存在定理则积分上限函数

若定理5.2一方面揭示了某区间上连续函数的原函数的存在性，另一方面揭示了定积分与原函数的内在联系，即是在上的原函数。一、积分上限函数与原函数存在定理定理5.3

，则设在上连续，在上可导，，且.一、积分上限函数与原函数存在定理【例1】求下列函数的导数(1)解由定理5.3，(2)一、积分上限函数与原函数存在定理解e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、牛顿–莱布尼茨公式一、积分上限函数与原函数存在定理目录/Contents第二节微积分基本定理二、牛顿–莱布尼茨公式(牛顿-莱布尼茨公式)证明根据定理5.2,因此得定理5.4函数,则记作而的两个原函数至多相差一个常数，即二、牛顿–莱布尼茨公式

求下列函数的定积分.【例2】(1)(2)解解二、牛顿–莱布尼茨公式(3)解e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C内容小结则有1.

微积分基本公式积分中值定理微分中值定理牛顿–莱布尼茨公式e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C内容小结2.变限积分求导公式e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C学海无涯,祝你成功！经济数学——微积分上海财经大学数学学院

编Calculus第五章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C定积分及其应用经济数学——微积分上海财经大学数学学院

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仍成立.当

<

,即区间换为必需注意换元必换限,换元公式也可反过来使用,即原函数中的变量不必代回.或配元【例1】解一、换元积分法求定积分解一、换元积分法【例2】求定积分令则由所以且于是，一、换元积分法定理5.6则有以下结论成立：设函数（1）若为偶函数，则

（2）若为奇函数，则

e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、分部积分法一、换元积分法目录/Contents第三节定积分的计算二、分部积分法分部积分公式设与在上有连续的导函数，则移项可得在上求定积分，则有即【例3】求定积分.

二、分部积分法解【例4】求定积分.解

二、分部积分法【例5】求定积分.解

二、分部积分法e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C内容小结计算性质偶倍奇零换元积分法换元必换限配元不换限e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C学海无涯,祝你成功！经济数学——微积分上海财经大学数学学院

编Calculus第五章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C定积分及其应用经济数学——微积分上海财经大学数学学院

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为任意取定的常数)只要有一个极限不存在,发散.无穷限的广义积分也称为第一类反常积分.并非不定型,说明它表明该反常积分发散.一、无穷限的反常积分上述定义中若出现

就称设判断下列反常积分的敛散性：一、无穷限的反常积分【例1】计算反常积分

,.解对任意的

令则

.一、无穷限的反常积分【例2】给一个反常积分发散的例子.用定义判断反常积分发散.解原式计算下列反常积分【例3】.一、无穷限的反常积分解e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、无界函数的广义积分一、无穷限的广义积分目录/Contents第四节反常积分定义5.3二、无界函数的反常积分任取，并且定义极限值为该反常积分的值，不若极限存在，则称反常积分发散，此时只是一个符号，无数值意义了.设函数在无穷区间连续，称为函数在无穷区间的反常积分，记号点称为函数的瑕点.，且存在，如果收敛；则称反常积分.记作定义5.3二、无界函数的反常积分任取，并且定义极限值为该反常积分的值，不若极限存在，则称反常积分发散.设函数在无穷区间连续，称为函数在无穷区间的反常积分，记号点称为函数的奇点.，且存在，如果收敛；则称反常积分.记作定义5.3以上定义的反常积分统称为无界函数的反常积分.设函数在无穷区间连续，点称为函数的奇点.称为函数在无穷区间的反常积分，

记号如果反常积分与都收敛，否则，称反常积分发散.二、无界函数的反常积分且则称反常积分收敛；公式的计算表达式:则也有类似牛顿–莱布尼兹若

b

为奇点,若a

为奇点,若a,b

都为奇点,则为书写方便，二、无界函数的反常积分注意记，

则

则则若瑕点计算下列反常积分：二、无界函数的反常积分【例4】解.反常积分，所以此为于是因为，

原式【例5】解二、无界函数的反常积分说明反常积分的敛散性.

是唯一奇点.

原式

当

原式

综上所述，当

时原反常积分收敛；当

时原反常积分发散.当e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C内容小结

1.

反常积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限

2.

重要的反常积分e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C学海无涯,祝你成功！经济数学——微积分上海财经大学数学学院

编Calculus第五章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C定积分及其应用经济数学——微积分上海财经大学数学学院

编Calculuse7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、平行截面面积已知的立体的体积计算一、平面图形的面积计算目录/Contents第五节定积分的几何应用三、旋转体的体积计算Oabxy一、平面图形的面积下面我们来讨论如何用定积分求平面图形的面积.图5.6情形1由连续曲线()及直线，与轴围成的平面图形（见图5.6）的面积为.图5.7一、平面图形的面积情形2由连续曲线和()及直线，围成的平面图形（见图5.7）的面积为.如果大小不能确定,可改写为.情形3图5.8一、平面图形的面积由连续曲线()及直线，与轴围成的平面图形（见图5.8）的面积为.实际使用时,必须按的大小把分成若干个小区间再计算积分.图5.9一、平面图形的面积情形4由连续曲线和及直线，围成的平面图形（见图5.9）的面积为.【例1】解图5.10一、平面图形的面积求曲线及直线围成的平面图形的面积.作草图（见图5.10），得曲线与直线的交点坐标为和.解方程组解法1解法2一、平面图形的面积选择为积分变量,则所求平面图形的面积为选择为积分变量,则所求平面图形的面积为【例2】解一、平面图形的面积作草图（见图5.11），得曲线解方程组求由曲线,在上围成的平面图形的面积.及与在内的交点坐标为，图5.11一、平面图形的面积则面积为 由对称性得面积为【例3】解一、平面图形的面积作草图5.12，求由曲线与围成的平面图形的面积.的交点坐标为曲线与图5.12故仅求上半部分即可.可以看到图形关于轴对称,和.一、平面图形的面积则所求平面图形的面积为2一、平面图形的面积则所求平面图形的面积为选择为积分变量,e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、平行截面面积已知的立体的体积一、平面图形的面积目录/Contents第五节定积分的几何应用三、旋转体的体积图5.13二、平行截面面积已知的立体的体积设所给立体垂直于x

轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,图5.14平面经过半径为R

的圆柱体的底圆中心,并与底面交成

角,解垂直于x

轴的截面是直角三角形,其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积.二、平行截面面积已知的立体的体积【例4】则圆的方程为如图所示取坐标系,e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、平行截面面积已知的立体的体积一、平面图形的面积目录/Contents第五节定积分的几何应用三、旋转体的体积三、旋转体的体积图5.15情形1由连续曲线及直线，与轴围成的平面图形轴旋转一周所得旋转体（见图5.16）的体积为绕图5.16三、旋转体的体积情形2由连续曲线及直线，与轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积（见图5.18）为O xy

d

c

O xy

d

c图5.17图5.18三、旋转体的体积【例5】解计算由椭圆

所围图形绕轴旋转而成的椭球体的体积.将椭圆方程改写成关于的函数则椭球体体积为三、旋转体的体积求

分别绕

轴以及

轴旋转一周所得旋转体的体积.

轴旋转一周所得旋转体的体积为绕绕

轴旋转一周所得旋转体的体积为【例6抛物线，在

0

上构成的两个图形，见图(5.19)】解图5.19三、旋转体的体积【例7】解则切线方程为设所求切线与曲线的切点为轴围成的平面图形为

见图(5.20).转一周所得旋转体的体积.

将

点带入方程得，

则切点为

切线方程为即图5.20过坐标原点做曲线

的切线，记该切线与曲线及

分别绕轴以及

轴旋求

其可以看作切线与

轴以及直线

所围图形绕

轴旋转一周所得,减去曲线

与

轴以及直线

所围图形的立体的体积

轴旋转一周所得的立体的体积.绕

绕轴旋转一周而成旋转体的体积.

三、旋转体的体积三、旋转体的体积绕轴旋转一周而成旋转体的体积.

将

看成积分变量来求其可以看作曲线

与

轴以及直线

所围图形绕

轴旋转一周

轴旋转一周所得的立体的体积.,减去切线与

轴以及直线所围图形绕所得的立体的体积e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C内容小结1.平面图形的面积2.已知平行截面面积函数A(x)的立体体积3.旋转体的体积e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C学海无涯,祝你成功！经济数学——微积分上海财经大学数学学院

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编Calculus目录/Contents第一节空间解析几何第二节二元函数的基本概念第三节二元函数的偏导数及其应用第四节二元函数的全微分第五节二元函数的极值、最值及其应用第六节二重积分的概念与性质第七节二重积分的计算e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、空间两点间的距离三、空间曲面及其方程四、空间曲线及其在坐标面的投影目录/Contents第一节空间解析几何一、空间直角坐标系图6.1一、空间直角坐标系图6.2一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系

一、空间直角坐标系面面面ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ图6.3

一、空间直角坐标系

e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、空间两点间的距离三、空间曲面及其方程四、空间曲线及其在坐标面的投影目录/Contents第一节空间解析几何简介一、空间直角坐标系图6.4二、空间两点间的距离e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、空间两点间的距离三、空间曲面及其方程四、空间曲线及其在坐标面的投影目录/Contents第一节空间解析几何简介一、空间直角坐标系图6.5三、空间曲面及其方程三、空间曲面及其方程图6.6(a)(b)三、空间曲面及其方程三、空间曲面及其方程一般地,设有三元二次方程图6.7三、空间曲面及其方程三、空间曲面及其方程三、空间曲面及其方程图6.8三、空间曲面及其方程三、空间曲面及其方程图6.9三、空间曲面及其方程三、空间曲面及其方程2.抛物柱面3.双曲柱面1.椭圆柱面三、空间曲面及其方程三、空间曲面及其方程图6.10三、空间曲面及其方程图6.11三、空间曲面及其方程图6.12三、空间曲面及其方程三、空间曲面及其方程三、空间曲面及其方程图6.13三、空间曲面及其方程

用截痕法可以画出椭球面的图形.显然，椭球面关于坐标面、坐标轴和坐标原点都是对称的.如图6.13所示.三、空间曲面及其方程图6.14三、空间曲面及其方程图6.15三、空间曲面及其方程图6.16三、空间曲面及其方程e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、空间两点间的距离三、空间曲面及其方程四、空间曲线及其在坐标面的投影目录/Contents第一节空间解析几何简介一、空间直角坐标系e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents四、空间曲线及其在坐标面的投影1.空间曲线方程2.空间曲线在坐标面上的投影四、空间曲线及其在坐标面的投影图6.17四、空间曲线及其在坐标面的投影四、空间曲线及其在坐标面的投影四、空间曲线及其在坐标面的投影图6.18四、空间曲线及其在坐标面的投影e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C学海无涯，祝你成功！经济数学——微积分上海财经大学数学学院

编Calculus第六章二元函数微积分初步经济数学——微积分上海财经大学数学学院

编Calculuse7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、二元函数的概念三、二元函数的极限四、二元函数的连续性目录/Contents第二节二元函数的概念一、平面区域及其相关概念一、平面区域及其相关概念一、平面区域及其相关概念一、平面区域及其相关概念图6.19图6.20一、平面区域及其相关概念e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents第二节二元函数的概念一、平面区域及其相关概念二、二元函数的概念三、二元函数的极限四、二元函数的连续性二、二元函数的概念二、二元函数的概念二、二元函数的概念解二、二元函数的概念解图6.21二、二元函数的概念图6.22二、二元函数的概念e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents第二节二元函数的概念一、平面区域及其相关概念二、二元函数的概念三、二元函数的极限四、二元函数的连续性三、二元函数的极限三、二元函数的极限当点三、二元函数的极限解三、二元函数的极限解三、二元函数的极限解三、二元函数的极限解解e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents第二节二元函数的概念一、平面区域及其相关概念二、二元函数的概念三、二元函数的极限四、二元函数的连续性四、二元函数的连续性四、二元函数的连续性解四、二元函数的连续性解四、二元函数的连续性四、二元函数的连续性e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C学海无涯，祝你成功！经济数学——微积分上海财经大学数学学院

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编Calculuse7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、二元函数偏导数存在与连续的关系三、二元函数的高阶偏导数四、二元函数偏导数在经济分析中的应用目录/Contents第三节二元函数的偏导数及其应用一、二元函数偏导数的定义和计算e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents一、二元函数偏导数的定义与计算1.偏导数的定义2.偏导数的计算一、二元函数偏导数的定义与计算1.偏导数的定义一、二元函数偏导数的定义与计算一、二元函数偏导数的定义与计算一、二元函数偏导数的定义与计算2.偏导数的计算解一、二元函数偏导数的定义与计算解一、二元函数偏导数的定义与计算解一、二元函数偏导数的定义与计算解e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents第三节二元函数的偏导数及其应用一、二元函数偏导数的定义和计算二、二元函数偏导数存在与连续的关系三、二元函数的高阶偏导数四、二元函数偏导数在经济分析中的应用二、二元函数偏导数存在与连续的关系二、二元函数偏导数存在与连续的关系解e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents第三节二元函数的偏导数及其应用一、二元函数偏导数的定义和计算二、二元函数偏导数存在与连续的关系三、二元函数的高阶偏导数四、二元函数偏导数在经济分析中的应用三、二元函数的高阶偏导数三、二元函数的高阶偏导数三、二元函数的高阶偏导数解三、二元函数的高阶偏导数三、二元函数的高阶偏导数解e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents第三节二元函数的偏导数及其应用一、二元函数偏导数的定义和计算二、二元函数偏导数存在与连续的关系三、二元函数的高阶偏导数四、二元函数偏导数在经济分析中的应用e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents四、二元函数偏导数在经济分析中的应用1.联合成本函数的分析2.需求函数的边际分析3.需求函数的偏弹性四、二元函数偏导数在经济分析中的应用1.联合成本函数的分析四、二元函数偏导数在经济分析中的应用四、二元函数偏导数在经济分析中的应用解四、二元函数偏导数在经济分析中的应用四、二元函数偏导数在经济分析中的应用2.需求函数的边际分析四、二元函数偏导数在经济分析中的应用四、二元函数偏导数在经济分析中的应用四、二元函数偏导数在经济分析中的应用四、二元函数偏导数在经济分析中的应用四、二元函数偏导数在经济分析中的应用四、二元函数偏导数在经济分析中的应用解四、二元函数偏导数在经济分析中的应用3.需求函数的偏弹性四、二元函数偏导数在经济分析中的应用四、二元函数偏导数在经济分析中的应用四、二元函数偏导数在经济分析中的应用四、二元函数偏导数在经济分析中的应用解e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C学海无涯，祝你成功！经济数学——微积分上海财经大学数学学院

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