【椭圆界面问题概述5200字】

椭圆界面问题概述目录TOC\o"1-3"\h\u8161椭圆界面问题概述 128881.1椭圆界面问题介绍 1102681.2椭圆界面问题的广义有限差分方法 2122791.3数值算例 41.1椭圆界面问题介绍我们考虑椭圆界面问题： (3-SEQ公式\*ARABIC1) (3-2) (3-3) (3-4)和不连续的椭圆系数β: (3-5)其中，是上的有界区域，是区域边界，和是区域被界面分隔出的两个不相交的子区域。即：(如图1.1所示)。向量表示界面的单位外法向。和都是连续函数，是源函数。(a)(b)图1.1具有封闭界面(a)和非封闭界面(b)的矩形区域。1.2椭圆界面问题的广义有限差分方法我们用GFDM求解耦合框架下的界面问题(3-1)-(3-4)。首先将计算区域,,区域边界和界面分别离散为和个离散节点。将椭圆界面问题看作通过界面上的界面条件连接的两个子问题，写成以下形式： (3-6)和 (3-7)注意到，界面在上述子问题中充当边界。如果界面具有复杂的几何形状，这仅影响界面上的配点。也就是说，我们的方法仅在配点时使用界面信息，在处理具有复杂几何形状的界面时很有优势。令子区域和上的内点满足控制方程，产生个线性代数方程，类似地，边界上的边界点满足边界条件，产生个线性代数方程。特别地，界面上的点满足两个界面条件，产生个线性代数方程。通过组合上述个线性代数方程，产生最终的线性代数方程组，将最终的线性代数方程组重写为矩阵形式： (3-8)其中： 和 (3-9)在这里 (3-10) (3-11) (3-12)(3-13)和 (3-14) (3-15)其中 (3-16)显然，和是根据Dirichlet边界条件(3-2)创建的，和与控制方程(3-1)有关，分别表示在子区域和上控制方程对应的系数矩阵中的非零项构成的矩阵。特别地，用单位矩阵和描述界面条件(3-3)很简单。和由界面条件(3-4)产生，展示了GFDM用相邻节点函数值的线性组合来近似未知变量的导数这个优势，因此，我们的方法方便处理带有导数跳跃的界面条件。此外，我们可以看到界面问题由GFDM创建的系数矩阵A是稀疏的和对角占优的。1.3数值算例在本节中，将给出十个数值示例来验证GFDM求解椭圆界面问题的准确性，稳定性和有效性。对于1D椭圆界面问题，算例1.1考虑椭圆界面问题格式下的连续椭圆问题，算例1.2考虑具有不连续椭圆系数的椭圆界面问题，算例1.3考虑具有不连续椭圆系数和间断导数的椭圆界面问题。对于2D椭圆界面问题，算例1.3-1.6考虑圆形界面，算例1.7考虑八边形界面，算例1.8考虑变形虫形界面，算例1.9考虑更复杂的任意形状的封闭界面，算例1.10考虑不同参数下的任意形状界面。对于算例1.3和算例1.5，我们将本文提出的GFDM求解这两个算例的数值结果和传统IFE方法[8]的数值结果进行了比较，来验证GFDM求解椭圆界面问题的有效性。此外，对于算例1.5，我们采用不规则布点的GFDM来求解数值算例，来验证GFDM在不规则布点下求解椭圆界面问题与规则布点下具有一致性。第1.3节关于点簇内的节点个数m的变化和不连续系数的跳跃大小对数值结果的影响进行了稳定性测试。为简单起见，我们将误差范数定义如下： (3-17) (3-18)和 (3-19)其中，和分别表示在节点处的数值解和精确解。表示计算区域内所有离散节点的总个数，包括子区域和，边界和界面上的离散点。即。1.1.1一维椭圆界面问题算例1.1:考虑椭圆界面问题格式下的1D连续椭圆问题 (3-20)和系数 (3-21)在点上的跳跃条件为 (3-22)其中，源函数是 (3-23)精确解为 (3-24)在这里我们取参数α为0.5。该算例中，我们用闭区间作为计算区域。图1.2展示了（表示沿轴方向离散点的个数）时，算例的数值解和精确解。我们可以看到，数值解的图像和精确解的图像几乎是一样的。即，数值解与精确解能很好的吻合。表1.1给出了m=12时算例的误差、误差和误差。从表1.1中可以看出，在计算区域中取30个离散点时，算例的误差、误差和误差均达到了，并且随着离散点数的增加，时，该算例的算例的误差和误差达到了。由此GFDM求解椭圆界面格式下的1D连续椭圆问题的准确性得到了验证。图1.2时算例1.1的数值解和精确解。表1.1m=12时算例1.1的误差、误差和误差。误差误差误差302.6116×2.1329×9.4141×329.4358×7.7789×5.1475×算例1.2：考虑1D椭圆界面问题 (3-25)和不连续系数 (3-26)在间断点上的跳跃条件为 (3-27)其中，源函数是 (3-28)精确解为 (3-29)在这里我们取参数α为0.5。该算例考虑了具有不连续椭圆系数的1D椭圆界面问题，我们用闭区间作为计算区域。图1.3展示了（表示沿轴方向离散点的个数）时，算例的数值解和精确解。我们可以看到，数值解的图像和精确解的图像几乎是一样的。即，数值解与精确解能很好的吻合。表1.2给出了m=12时算例的误差、误差和误差。从表1.2中可以看出，在计算区域中取30个离散点时，算例的误差和误差均达到了，误差也达到了，并且随着离散点数的增加，时，该算例的算例的误差和误差达到了。由此GFDM求解具有不连续椭圆系数的1D椭圆界面问题的准确性得到了验证。图1.3时算例1.2的数值解和精确解。表1.2m=12时算例1.2的、误差和误差。误差误差误差305.9364×1.2754×4.0304×326.9047×1.8199×2.4997×算例1.3：考虑1D椭圆界面问题 (3-30)和不连续系数 (3-31)在间断点上的跳跃条件为 (3-32)其中，源函数是 (3-33)精确解为 (3-34)在这里我们取参数α为。该算例考虑具有间断系数和间断导数的1D椭圆界面问题，我们用闭区间作为计算区域。图1.4展示了（表示沿轴方向离散点的个数）时，算例的数值解和精确解。我们可以看到，数值解的图像和精确解的图像几乎是一样的。即，数值解与精确解能很好的吻合。此外，我们将广义有限差分方法(GFDM)和传统浸入有限元方法(IFEM)分别运行模拟，简要讨论了相比于传统浸入有限元方法，GFDM算法求解椭圆界面问题的运行效率。表1.3给出了这两种方法的误差和误差之间的比较。从表1.3中可以看出，相同时，GFDM算法比IFE方法获得更精确的数值逼近。由此GFDM求解这个问题的准确性和有效性得到了证明。图1.4时算例1.3的数值解和精确解。表1.3m=12时算例1.3的误差和误差。广义有限差分法浸入有限元方法[8]误差误差误差误差321.0840×1.4885×1.0784×1.7139×642.1510×1.9184×7.7837×8.7038×1.1.2具有不同界面形状的2D椭圆界面问题算例1.4：考虑2D椭圆界面问题(3-1)，圆形界面的表达式为 (3-35)计算区域，是中封闭界面里面的部分，。椭圆系数在界面上的跳跃条件为: (3-36)其中分别表示界面点沿轴方向和轴方向的单位外法向，其表达形式为： (3-37)精确解为 (3-38)其中。将带入公式(3-1)得到右端项。该算例用GFDM求解了在界面上椭圆系数连续但函数和导数均不连续的具有圆形界面（如图1.8所示）的2D椭圆界面问题。图1.9给出了算例的数值解和精确解，可以看到数值解和精确解的图像近乎相同，两者能够很好的吻合。图1.9展示了时在不同的下算例的,和误差以及二阶斜率线。从图中可以看出GFDM求解该算例的收敛率很稳定，不仅误差和误差是二阶收敛，误差也达到了二阶收敛。图1.8时算例1.4的配点图。图1.9时算例1.4的数值解和精确解。图1.10时算例1.4在不同的下的,和误差。算例1.5：在这个算例中，我们考虑了文献[8]中的2D椭圆界面问题(在界面上椭圆系数和导数不连续，函数连续)，界面为圆形界面，其表达式如公式(3-35)所示。计算区域，是中封闭界面里面的部分，。令 (3-39)在界面上的跳跃条件为: (3-40)精确解为 (3-41)在这里。将带入公式(3-1)得到右端项。这个算例考虑了具有圆形界面（如图1.8所示）的椭圆界面问题。图1.11展示了算例的数值解和精确解，我们可以看到数值解和精确解的图像近乎相同，两者能够很好地吻合。图1.12展示了不同下算例的误差和误差，从图中可以看出两种误差都达到了二阶收敛。此外，我们通过分别进行数值模拟，测试了GFDM算法和文献[8]中的IFE方法求解椭圆界面问题哪个方法更有效。表1.5给出了这两种方法模拟该算例获得的误差，误差和运行时间。在表1.5中，通过数据比较，我们可以发现GFDM算法和IFE方法达到相似的精度时，GFDM可以节省超过99％的计算时间。图1.11时算例1.5的数值解和精确解。图1.12时算例1.5在不同的下的误差和误差。表1.5m=12时算例1.5的误差和误差。广义有限差分方法浸入有限元方法[8]误差误差时间误差误差时间321.0158×4.1988×0.04s1.8523×5.5089×6.3s642.4093×8.5647×0.12s1.9352×2.7578×25s1285.8261×1.8419×0.54s1.0293×1.3888×97s2561.2646×4.2710×2.52s1.0337×6.9828×725s为了测试节点分布对数值结果的影响，我们使用具有不规则布点（计算区域的配点如图1.13所示）的GFDM来考虑上述问题。表1.6给出了该算例在不同下的误差和误差。从表1.6中可以看出，使用不同布点方式的GFDM所计算出的误差和误差是稳定的。由此，不规则布点情况下的GFDM与规则布点情况下的GFDM求解椭圆界面问题的一致性得到了验证。图1.13采用不规则布点的算例1.5在时的配点图。表1.6在不同下算例1.5的误差和误差。3264128256规则布点误差9.1470×2.1630×5.2134×1.1246×误差1.0158×2.4093×5.8261×1.2646×不规则布点误差8.3606×2.1038×7.9799×1.2223×误差8.0799×2.0794×6.1182×1.3660×算例1.6：该算例仍考虑圆形界面(其表达式如公式(3-35)所示)，在这里。该算例求解了在界面上椭圆系数、函数和导数都不连续的椭圆界面问题(3-1)。计算区域，是中封闭界面里面的部分，。令 (3-42)在界面上的跳跃条件为: (3-43)其中分别表示界面点沿轴方向和轴方向的单位外法向，其表达形式如公式(3-37)所示。精确解为 (3-44)源函数为 (3-45)这个算例考虑了具有圆形界面（如图1.8所示）的椭圆界面问题。图1.14展示了算例的数值解和精确解，我们可以看到数值解和精确解的图像近乎相同，两者能够很好地吻合。图1.15展示了不同下算例的误差、误差和误差，从图中可以看出，GFDM求解该算例的数值结果很稳定，三种误差都接近二阶收敛。由此，GFDM求解具有圆形界面的椭圆界面问题的准确性和稳定性得到了验证。图1.14时算例1.6的数值解和精确解。图1.15时算例1.6在不同的下的,和误差。算例1.7：对于上述算例1.6，考虑八角形界面，其表达形式为 (3-46)在这里取。相应界面点沿轴方向和轴方向的单位外法向的表达式为 (3-47)在这个算例中，我们用GFDM求解具有间断系数和界面（如图1.16所示）的2D椭圆界面问题。图1.17给出了算例的数值解和精确解，可以看到数值解和精确解近乎相同，它们能够很好的吻合。图1.18展示了时在不同的下算例的,和误差以及二阶斜率线。从图中可以看到我们的方法求得的误差收敛率非常稳定，不仅误差和误差是二阶收敛，误差也达到了二阶收敛。图1.16时算例1.7的配点图。图1.17时算例1.7的数值解和精确解。图1.18时算例1.7在不同的下的,和误差图。算例1.8：该算例仍与算例1.6相同，考虑更复杂的变形虫界面，其表达形式为 (3-48)相应界面点沿轴方向和轴方向的单位外法向的表达式为 (3-49)计算区域，是中封闭界面里面的部分，。在这个算例中，我们加入了更加复杂的变形虫形界面（如图1.19所示），同时为了满足计算的需要，增大了计算区域。图1.20给出了算例的数值解和精确解，可以看到数值解和精确解近乎相同，它们能够很好的吻合。图1.21展示了时在不同的下算例的,和误差以及二阶斜率线。从图中可以看到数值结果比较稳定，误差、误差和误差接近二阶收敛。图1.19时算例1.8的配点图。图1.20时算例1.8的数值解和精确解。图1.21时算例1.8在不同的下的,和误差。算例1.9：考虑带有封闭界面Γ的椭圆界面问题(3-1)，Γ是一个任意形状的界面，它的表达形式如下： (3-50)取。在这里，我们考虑计算区域,是中封闭界面里面的部分，。令 (3-51)在界面上的跳跃条件是 (3-52) (3-53) 其中分别表示界面点沿轴方向和轴方向的单位外法向，其表达形式为 (3-54)精确解为 (3-55)以及源项为 (3-56)图1.22时算例1.9的配点。图1.23时算例1.9的数值解和精确解。图1.24时算例1.9在不同的下的,和误差。我们考虑任意形状的界面（如图1.22所示），图1.23展示了算例的数值解和精确解，可以看到数值解和精确解很吻合。图1.24给出了算例1.9的,和误差，我们可以看到数值误差很稳定并且保持了二阶收敛，值得注意的是误差的的收敛阶也达到了二阶。显然，数值结果验证了GFDM求解该算例的稳定性和准确性。算例1.10：考虑上述算例，任意形状的界面表达式(3-50)中取该算例考虑任意形状界面表达的另一种参数，其形状如图1.25所示。图1.26展示了算例的数值解和精确解，可以看到数值解和