高一预习人教A版（2019）高中数学必修一第18讲 对数函数

2/2第18讲对数函数目录TOC\o"1-2"\h\z\u01思维导图与题型归纳 202基础知识梳理 3知识点一、对数函数的概念 3知识点二、对数函数的图象与性质 3知识点三、底数对对数函数图象的影响 4知识点四、反函数 403题型精讲举一反三 6题型一：对数函数的概念辨析 6题型二：参数取值与范围求解 7题型三：函数解析式的确定 8题型四：图象定点求解问题 9题型五：图象识别与分析应用 10题型六：定义域的求解计算 14题型七：值域的求解计算 15题型八：单调性的综合运用 18题型九：对数式大小比较 20题型十：对数型不等式求解 22题型十一：奇偶性的判定与应用 26题型十二：反函数的求解与应用 29题型十三：对数函数性质的综合运用 3104过关测试 37

知识点一、对数函数的概念1、函数叫做对数函数．其中是自变量，函数的定义域是，值域为．2、判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件：（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量．知识点诠释：（1）只有形如的函数才叫做对数函数，像，，等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数．（2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论．知识点二、对数函数的图象与性质图象性质定义域：值域：过定点，即时，在上增函数在上是减函数当时，，当时，当时，，当时，知识点诠释：关于对数式的符号问题，既受．．的制约又受的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错．下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考．以1为分界点，当，同侧时，；当，异侧时，．知识点三、底数对对数函数图象的影响1、底数制约着图象的升降．如图知识点诠释：由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．2、底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图）知识点四、反函数1、反函数的定义设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为．由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域．知识点诠释：并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如．一般说来，单调函数有反函数．2、反函数的性质（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．（2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上．

题型一：对数函数的概念辨析例1．下列函数是对数函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】形如，且的函数为对数函数，故B正确.故选：B.例2．下列函数是对数函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由对数函数的定义：形如且的形式，则函数为对数函数，只有D符合.故选D

例3．（多选题）下列函数为对数函数的是（

）A．（，且） B．C． D．【答案】AC【解析】形如（，且）的函数为对数函数，对于A，由，且，可知，且，故A符合题意；对于B，不符合题意；对于C，符合题意；对于D，不符合题意；故选：AC.变式1．（多选题）下列函数中为对数函数的是（

）A． B．C． D．（是常数）【答案】CD【解析】对于A，真数是，故A不是对数函数；对于B，，真数是，不是，故B不是对数函数；对于C，的系数为1，真数是，故C是对数函数；对于D，底数，真数是，故D是对数函数．故选：CD题型二：参数取值与范围求解例4．（多选题）函数中，实数的取值可能是（）A． B．3C．4 D．5【答案】AC【解析】因为，所以根据对数函数的定义得：，即：，所以或，故选：AC.例5．（2026·高一·上海·期中）函数为对数函数，则实数的值为（

）A．3 B． C．2 D．或2【答案】C【解析】因为函数为对数函数，所以，解得，所以实数的值为2，故选：C例6．若函数是对数函数，则a的值是（

）A．1或2 B．1 C．2 D．且【答案】C【解析】函数是对数函数，且，解可得或，，故选：C．变式2．（2026·高一·吉林长春·阶段检测）若函数为对数函数，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题可知：函数为对数函数所以或，又且所以故选：B变式3．函数是对数函数，则实数（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】由解得或，又，且，所以故选：B.题型三：函数解析式的确定例7．对数函数的图像过点，则此对数函数的表达式为________．【答案】【解析】设，由题意可得，解得.所以此对数函数的表达式为.故答案为：.例8．（2026·高三·江苏·期末）满足的函数可以为______.（写出一个即可）【答案】（答案不唯一）【解析】可令，满足要求.故答案为：.（答案不唯一）例9．（2026·高一·上海·阶段检测）已知对数函数过点，则其解析式为________．【答案】【解析】设对数函数解析式为（，且），因为对数函数过点，所以，解得，所以对数函数解析式为.故答案为：变式4．对数函数的图象过点，则对数函数的解析式为____________.【答案】【解析】设对数函数的解析式为(且)，由已知可得，即，解得，即函数解析式为，故答案为：变式5．已知对数函数过点，则的解析式为____________.【答案】【解析】设，结合已知有，∴，又且，∴，则，故答案为：.变式6．（2026·高一·河北保定·开学考试）写出一个满足且不是常数函数的函数：__________．【答案】（答案不唯一）【解析】若，则，故符合题意的函数可以为.故答案为：（答案不唯一，符合即可，其中且，其他满足条件的函数亦可）.题型四：图象定点求解问题例10．（2026·高一·山东济南·期末）函数（且）图象恒过定点坐标为______．【答案】【解析】因为对任意且，，令得，将代入，得，所以函数的图象恒过定点坐标为.故答案为：例11．（2026·高一·江西赣州·期末）当且时，函数的图象经过定点__________.【答案】【解析】当且时，对于函数，令可得，所以，故函数的图象经过的定点坐标为.故答案为：.例12．（2026·高一·陕西安康·期末）函数的图象恒过定点_____.【答案】【解析】令，解得，则，所以函数的图象恒过定点.故答案为：.变式7．（2026·高一·上海·期中）已知函数为指数函数，则函数的图像过一定点，该定点的坐标是________．【答案】【解析】因为为指数函数，所以，且底数，，求解可得：，，根据对数函数恒有，所以令，求解得，所以，因此的图像经过定点．变式8．（2026·高一·浙江·阶段检测）已知且，函数的图象过定点，则的坐标为______.【答案】【解析】令得，，所以函数的图象过定点，即的坐标为.题型五：图象识别与分析应用例13．（2026·高一·湖北宜昌·期末）若，则与在同一坐标系中的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，所以，所以是减函数，且时，，是增函数，排除选项BD，又的定义域为，故排除选项A，只有选项C满足．例14．（2026·高一·黑龙江哈尔滨·期末）函数的图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】的定义域为，解得，渐近线为，，，故函数过点，的底数，单调递增，综上，选项B中图象符合函数图象的性质，故B正确．故选：B．例15．（2026·高一·湖南·阶段检测）函数满足，那么函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意得函数满足，即，可得.因为函数是偶函数，图象关于轴对称，而函数的图象是由向左平移1个单位得到的，因此图象关于直线对称，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，，图象过原点，综上可得：函数的图象如图所示，故B正确.变式9．（2026·高一·广东东莞·期末）如图，①②③④中不属于函数的一个是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】C【解析】根据函数都是指数函数且为减函数，过点，又，结合图象可知①函数为，②函数为，函数为单调递减的对数函数，过，，结合图象可知④函数图象符合.所以③不是已知函数的图象.故选：C变式10．（2026·高一·四川成都·期末）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，可得，即函数的定义域为且，关于原点对称，由，可知函数为奇函数，故排除B、D；又因为，故排除A.故选：C.题型六：定义域的求解计算例16．（2026·高一·云南昭通·阶段检测）若函数的定义域为，则实数a的取值范围为________．【答案】【解析】因为函数的定义域为，所以在上恒成立，当时，，解得，不合题意；当时，则，解得．综上实数的取值范围为．例17．函数的定义域是________.【答案】且【解析】定义域满足，解得且.故所求定义域为且例18．（2026·高一·天津河北·期末）函数的定义域为________．【答案】【解析】要使函数有意义所以解得函数的定义域为．变式11．（2026·高一·河南郑州·期末）函数的定义域为_______．【答案】【解析】由题得，解得，所以函数的定义域为.变式12．（2026·高一·浙江·开学考试）函数的定义域为_________．【答案】【解析】因为，所以解得或，所以函数的定义域为．题型七：值域的求解计算例19．（2026·高一·上海·期末）设常数，，．(1)已知的图象过点，求实数的值；(2)若成立，求实数的取值范围；(3)当时，求函数，的最大值（用实数表示）．【解析】（1）因为的图象过点，所以，所以，解得.（2）因为，所以，则，化简得，整理得，当时，恒成立，当时，可得，故实数的取值范围为.（3）当时，，令，因为，所以，则，设，而，，而开口向上，则讨论端点值即可，当时，即，函数有最大值为6，当时，即，函数有最大值为，综上可得，当时，最大值为6，当时，最大值为.例20．（2026·高一·上海浦东新·阶段检测）已知函数．(1)当时，求不等式的解集；(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围．【解析】（1）当时，，由，所以不等式的解集为；（2）令，因为，所以，，因为，所以由，因为，所以，当且仅当时取等号，即时，取等号，所以在单调递减，则，因此当时，恒成立，只需，所以实数的取值范围为.例21．（2026·高一·河南商丘·阶段检测）已知函数（，且），若函数在区间上的最大值与最小值之差为1．(1)求函数解析式；(2)当，求函数的最值，并求出取得最值时对应的x的值；【解析】（1）当时，函数单调递增，函数在区间上的最大值与最小值分别为，，由题意可得：，此时区间为；当时，此时，显然区间不成立，综上所述：，即；（2），令，因为，所以，所以，所以，，，，所以当时，函数有最小值，当时，函数有最大值0.变式13．（2026·高一·安徽宿州·期末）设（，且），且.(1)求的值及的定义域；(2)求在区间上的最值.【解析】（1）因为，所以，解得，由题意可得，解得，故函数定义域为；（2）由（1）可得，令，对称轴为，当时，，则，，故，故函数的最小值为，最大值为2.变式14．（2026·高一·甘肃定西·期末）已知函数．(1)求的定义域；(2)求的最大值．【解析】（1）要使函数有意义，则，解得，所以的定义域为．（2）．

因为函数是开口朝下的二次函数，对称轴在区间，故的最大值为，

所以的最大值为．题型八：单调性的综合运用例22．（2026·高一·上海·期末）函数的单调减区间是__________．【答案】【解析】函数定义域为或.又二次函数在上单调递减，对数函数在其定义域内单调递增，从而函数的单调减区间为.例23．（2026·高一·上海闵行·期中）函数的单调增区间是_____．【答案】【解析】由，得或，所以函数的定义域为.又在定义域内单调递增，且函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的单调增区间是.例24．（2026·高一·安徽淮北·期末）已知函数在单调递增，则的取值范围为________．【答案】【解析】令，原题意等价于函数在单调递增，可知在内单调递增，且在内恒成立，则，解得，所以的取值范围为.变式15．（2026·高一·浙江杭州·期中）函数在R上单调递增，则a的取值范围是______．【答案】【解析】因为在上单调递增，所以对于时，单调递增，即，解得，对于时，单调递增，即，且，即，解得，综上，a的取值范围是变式16．（2026·高一·黑龙江大庆·开学考试）函数在上单调递减，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】令，，外层函数是减函数，要使函数在上单调递减，因此内层函数必须在上单调递增，且满足恒成立，即，解得：.因此实数a的取值范围是.变式17．（2026·高一·山西大同·期末）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】由于函数在单调递减，又因为在上是减函数，根据复合函数的单调性法则“同增异减”得：函数在上单调递增，且.由题意得：，解得，得.综上，实数的取值范围为.故答案为：题型九：对数式大小比较例25．（2026·湖北武汉·三模）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】对数函数在上单调递增，且，所以，即；对数函数在上单调递增，且，所以，即；对数函数在上单调递增，且，所以，即；综上可得．例26．（2026·高一·四川泸州·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由指数函数的性质可得，，由对数函数的性质可得，.例27．（2026·高一·江苏镇江·期末）已知，，，则下列判断正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】比较与：因为，故，由对数函数单调递增，得，即，又，故，由对数函数单调递增，得，即，因此.比较与：因为，故，由对数函数单调递增，得，即，又，故，由对数函数单调递增，得，即，因此.综上，.变式18．（2026·高一·贵州遵义·期中）设，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，所以.变式19．已知，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，．变式20．（2026·上海嘉定·一模）若实数x、y、z满足，则x、y、z的大小关系不可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，得，在同一直角坐标系内作出函数的图象，则分别是函数，的图象与直线交点的纵坐标，设点的横坐标为，点的横坐标为，观察图象得当时，，当时，，当时，，所以ABD是可能的，C不可能.题型十：对数型不等式求解例28．（2026·高一·广西百色·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上对于任意两个不相等的实数、恒有成立，若实数满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在区间上对于任意两个不相等的实数、恒有成立，不妨取，则，即，所以函数在区间上是减函数，又函数为偶函数，则等价于，即，可得，解得，故实数的取值范围是.例29．（2026·高一·天津和平·阶段检测）已知定义在上的函数满足，、，当时，都有，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】、，当时，都有，不妨设，则，所以，即，令，则，即函数在上为减函数，又因为定义在上的函数满足，则函数的定义域为，且，故函数为偶函数，因为，则，由可得，即，所以，所以，所以或，解得或，因此不等式的解集为.故选：D.例30．（2026·高一·河北石家庄·期末）已知定义在上的函数满足：对任意均有成立，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为任意均有，即，令，则，所以在上单调递减，因为，所以，所以不等式，化为，因为在上单调递减，故，因为定义在上，所以，即，解得，故原不等式解集为.故选：B.变式21．（2026·高一·山西忻州·期末）已知函数，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意，函数设，则有，解可得，即函数的定义域为，关于原点对称，又由，即函数为奇函数，设，则，，在上为增函数，而在上为增函数，故在区间上为增函数，又为增函数，所以在区间上为增函数，不等式即为，也即，所以，解得.故选：A.变式22．（2026·高一·江苏宿迁·期末）已知函数，若满足不等式，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由可得，又因为的定义域为，所以是偶函数，当时，由指数函数和二次函数可知是在上的增函数，又因为，所以不等式，则，故选：A变式23．（2026·高一·天津·期末）若不等式在上有解，则的取值范围是（

）A． B．．C． D．【答案】C【解析】若，当时，因为在上单调递增，在上单调递增，可得，故不等式在上有解，满足要求；若，当时，因为在上单调递增，在上单调递减，同一坐标系内画出和在的图象，如下：要想在上有解，需满足，即，解得，故的取值范围为.故选：C变式24．（2026·高一·河南新乡·期末）已知是奇函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为是奇函数，，所以，由可得，又在上单调递增，所以，即，所以不等式的解集为，故选：B题型十一：奇偶性的判定与应用例31．（2026·高一·内蒙古赤峰·阶段检测）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A.函数的定义域是，所以函数是非奇非偶函数，故错误；对于B，因为，所以函数是偶函数，故错误；对于C,在上单调递减，故错误；对于D，因为，所以函数是奇函数，且在上单调递增，正确；例32．（2026·高一·江西上饶·阶段检测）函数为奇函数，则（

）A．3 B．-1C．3或-1 D．不存在这样的和【答案】C【解析】奇函数，则有，根据奇函数的定义可知，，得，即，所以对定义域中的x恒成立，可得，即，此时或，其定义域为，关于原点对称，满足奇函数定义，所以或.故选：C.例33．（2026·高一·河南·期末）设是奇函数，当时，，则（

）A． B． C． D．3【答案】D【解析】，因为为奇函数，故，所以.故选：D变式25．已知函数是奇函数，且当时，，则的值为（

）A． B．4 C． D．2【答案】A【解析】由，得，则，而函数是奇函数，且当时，，所以.故选：A变式26．（2026·高一·广东广州·期中）已知函数，则下列判断中正确的是（

）A．是奇函数且为增函数 B．是奇函数且为减函数C．是偶函数且为增函数 D．是偶函数且为减函数【答案】A【解析】根据题意，由，解得，所以的定义域为，关于原点对称，则，所以为奇函数；由，因为在上单调递增，为增函数，所以为增函数.故选：A变式27．（2026·高一·天津武清·阶段检测）下列函数是奇函数，且在区间上单调递增的为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】选项A：函数的定义域为，因为，所以是奇函数，任取，则，易知当时，，即，所以在单调递减，不满足题意；选项B：函数的定义域为，不是奇函数，不满足题意；选项C：函数的定义域为，因为，所以不是奇函数，不满足题意；选项D：函数的定义域为，因为，所以是奇函数，又，在单调递增，所以在单调递增，满足题意；故选：D变式28．（2026·高一·北京·阶段检测）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的函数为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A选项，定义域为，且，所以为偶函数，A错误；对于B选项，在上单调递减，故B错误；对于C选项，的定义域为，故不是奇函数，C错误；对于D选项，的定义域为，又，故为奇函数，当时，，故函数在上单调递增，D正确.故选：D题型十二：反函数的求解与应用例34．（2026·高一·湖南长沙·开学考试）已知实数满足，，则__________.【答案】【解析】由关于对称，又与垂直，所以与的交点关于对称，结合题设有，，且，所以是与的交点；是与的交点，所以与关于对称，则且，所以.例35．（2026·高一·江西景德镇·期末）若的反函数的图象经过点，则______．【答案】3【解析】因为函数的反函数的图象经过点，所以函数的图象过点，则，解得.故答案为：3例36．（2026·高一·安徽·阶段检测）已知，则________________.【答案】2【解析】由，可得，所以分别为直线与和的图像交点横坐标，因为和的图像关于直线对称，如图所示，联立方程组，解得，所以，可得,故答案为：.变式29．（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）已知实数，满足，，则的值_____【答案】【解析】因为，可得，所以为方程的解，即函数的图象与函数的图象交点的横坐标，又因为，可得，即，可得，令，可得，所以为方程的解，即为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，由函数和互为反函数，其图象关于对称，如图所示，函数与的图象的交点为，所以，所以，所以，即则.故答案为：.变式30．（2026·高一·甘肃兰州·阶段检测）若函数与的图象关于直线对称，则为______.【答案】3【解析】易知函数与的图象关于直线对称，即上一点，则有在上，设，则，解得.故答案为：3变式31．（2026·高一·山西太原·开学考试）已知，，，，则_____.【答案】1【解析】依题意，分别可视为函数与和图象交点的横坐标，函数的图象关于直线对称，的图象也关于直线对称，因此两个交点也关于直线对称，则，由，得，所以.故答案为：1题型十三：对数函数性质的综合运用例37．（2026·高一·湖北武汉·期末）定义在的函数满足对任意、，都有，则称为“类对数型”函数.(1)求证：为“类对数型”函数；(2)当时，，请判断并证明函数的单调性；(3)若为“类对数型”函数，求的值.【解析】（1）证明：的定义域为，满足定义要求.对任意，；，即，满足“类对数型”函数定义，故是“类对数型”函数.（2）是单调递增函数.证明：令，得，解得.对任意，有.根据题目条件，当时，因此.将改写为，代入“类对数型”恒等式得，移项整理得结合，可得.即对任意，都有，因此在定义域上单调递增.（3）令，代入定义得.对任意，令，代入定义得，即，得.原式中，共对，加上，总和为.例38．（2026·高一·湖北武汉·期末）已知函数为奇函数.(1)求实数的值；(2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围；(3)解关于的不等式.【解析】（1）因为是奇函数，定义域为，由奇函数性质，代入得，验证可得，满足奇函数定义，故.（2）已知，可知是上的增函数.当时，的最小值为.对任意，存在使，等价于在上的最小值大于等于在上的最小值.令，，则，，是开口向上的二次函数，对称轴，则最小值为，令，即实数的取值范围为.（3）由（1）知，是定义域为的奇函数，得，因此.将代入得，已知对任意，都有，不等式两边同乘正数，整理得，对系数分类讨论：①：若，不等式变为，恒成立；若，，不等式变形为，此时右边，而恒成立，不等式恒成立.因此，当时，解集为.②：此时，不等式变形为，由于，因此右边，而恒成立，不等式无解因此，当时，解集为空集.③：此时，不等式变形为，此时，对不等式两边以3为底取对数得.因此，当时，解集为.综上，当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为.例39．（2026·高一·浙江杭州·期末）已知函数．(1)设，（i）求的值；（ii）解不等式；(2)若，，求的取值范围．【解析】（1）当时，（i），所以；（ii）由题知．由对数函数的单调性可得：化简得：，解得或；（2）由，设，使得且，即，所以，设，所以，所以，因为，当且仅当时等号成立，所以，故的取值范围是．变式32．（2026·高一·河北唐山·开学考试）已知函数，函数图象与的图象关于对称．(1)若函数是奇函数，求实数的值(2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1）函数，由函数图象与的图象关于对称，得，由为奇函数，得，则，整理得，而，解得，此时函数定义域为，且，符合题意，所以实数的值为2.（2）由（1）知，依题意，不等式在上恒成立，则，即，，不等式恒成立，因此在恒成立，当时，，，当且仅当时取等号，于是，解得，所以的取值范围为.变式33．（2026·高一·陕西榆林·阶段检测）已知函数（且）．(1)求函数的定义域；(2)判断函数的奇偶性，并证明；(3)若，求a的取值范围．【解析】（1）要使函数的解析式有意义，则，解得．∴函数的定义域为．（2）函数是偶函数，证明如下：由（1）知函数的定义域为，关于原点对称．

∵，∴，

∴∴函数是定义在上的偶函数．（3）的定义域为，∵，∴，

当时，函数为上的增函数，∴函数在上的最小值为，∴，∴．

当时，函数为上的减函数，

∴函数在上的最小值为，∴，∴，不符合题意综上，a的取值范围为．变式34．（2026·高一·湖北襄阳·阶段检测）设(1)求函数的最大值.(2)当不等式在上有解时，求的取值范围.【解析】（1），令，因为对称轴为，则函数在上单调递增，上单调递减，所以当时，.（2）由题可知，不等式在上有解，即，化简得，令，则在上有解.解法1：令，则在上有解，即有，即.解法2：当时，，无解；当时，在上单调增，∴当时，，只需，综上：.

1．（2026·高一·浙江衢州·期末）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由指数函数的单调性可知，而不能推出，（例如时函数意义），又，所以“”是“”的必要不充分条件.2．定义在上的偶函数在上单调递增，定义在上的奇函数满足当时，.若，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据题意可得在上单调递减，且.因为为奇函数，所以的图象关于原点对称.画出的大致图象，如图所示，不妨设的图象如图所示，易得与的函数值异号的区间为，，，所以不等式的解集是.3．（2026·高一·贵州毕节·期中）大模型人工智能训练过程中，模型损失值随迭代轮次呈指数衰减规律，是AI训练优化的核心指标．某国产大模型迭代训练时，损失函数值与迭代轮次的函数模型为：，下列说法正确的是（参考数据：）（

）A．迭代12轮时，损失值为B．损失值下降为初始以下时，迭代轮次至少约轮C．迭代36轮后，损失值为初始的D．该模型每迭代12轮，损失值匀速减少【答案】B【解析】由题意得损失函数，初始损失值时，.对选项A，当时，，不等于，故A错误.对选项B，令，两边取常用对数得.，代入得，化简得，迭代轮次至少约轮，故B正确.对选项C，当时，，不等于，故C错误.对选项D，为指数型函数，令，则，不是一次函数，损失值不是匀速减少，故D错误.4．（2026·高一·湖北荆州·期中）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为在上单调递增，所以，，，所以.故.5．（2026·高一·山西忻州·期中）函数的单调递减区间（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可得，因为当，则对数函数在上单调递减，所以当时，单调性与对数函数的一致，则单调递减区间为；当时，的单调性与对数函数相反，即在上单调递增，综上，函数的单调递减区间为.6．（2026·山东临沂·二模）已知实数x，y，z满足，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，．由，得，函数在上单调递增，单调递减，故方程有唯一解，且．由，代入得，故．令，该函数在上单调递增，因为，，所以．综上，．7．（2026·高一·重庆·期中）已知对于任意的，都有成立，且在上单调递减，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以关于对称，又在上单调递减，所以在上单调递增，由可得即，转化得，可得.8．（2026·山东济宁·三模）设函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为函数和均是增函数，所以是上的增函数，只需要满足，即，解得.由得，即恒成立.因为，即.所以实数的取值范围是.9．（多选题）高一某数学兴趣小组通过对课本习题的研究，探究到函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是是偶函数．则下列说法正确的是（

）A．的图象关于点对称B．的图象关于点对称C．的图象关于点对称D．的图象关于直线对称【答案】ACD【解析】对于A，令，则，所以为奇函数，故A正确；对于B，令，则，所以不是奇函数，故B错误；对于C，令，则，所以为奇函数，故C正确；对于D，令，则，所以为偶函数，故D正确.10．（多选题）（2026·高一·湖北荆州·阶段检测）已知函数，则下列选项正确的有（

）A．若的定义域为，则B．若的定义域为R，则C．若的值域为R，则D．若在上单调递增，则【答案】AC【解析】对于A，由的定义域为，所以的解集为，所以为方程的两个根，所以，故A正确；对于B，由的定义域为，所以对于恒成立，当时，满足题意，当时，，所以，故B错误；对于C，由的值域为R，令，则，当时，不满足题意，当时，，所以，故C正确；对于D，由在上单调递增，令，当时，不满足题意，当时，二次函数的对称轴为，由外函数为增函数，所以在上单调递增，所以对于，恒成立，所以，所以，故D错误.11．（多选题）（2026·高一·湖北武汉·期末）若，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】由题意得，设，因为单调递增，单调递增，所以单调递增，则，对于A，因为单调递增，所以，故A正确，对于B，等价于，无法由得出，故B错误，对于C，，因为，且单调递增，所以，故C正确，对于D，单调递减，所以，即，故D正确.12．不等式的解集为______.【答案】【解析】不等式，可化为，因为在上是增函数，所以不等式，即为，解得所以不等式的解集为13．（2026·高一·贵州毕节·期中）已知，，，则，b，c的大小关系为______.【答案】或【解析】因为，，对数函数在上单调递增，将与两边同时平方可得，，，故，