高一预习人教A版（2019）高中数学必修一第17讲 对数

第17讲对数目录TOC\o"1-2"\h\z\u01思维导图与题型归纳 202基础知识梳理 3知识点一、对数概念 3知识点二、对数的运算法则 3知识点三、对数公式 403题型精讲举一反三 5题型1：指数式与对数式的互化应用 5题型2：对数的概念与定义深度解析 7题型3：积、商、幂的对数运算法则应用 8题型4：对数恒等式的基础应用 10题型5：换底公式的灵活变形与运用 11题型6：基础对数方程的求解方法 13题型7：利用已知对数表示目标对数式 15题型8：常见对数恒等式的推导证明 17题型9：对数运算的综合题型解析 2004过关测试 23

知识点一、对数概念1、对数的概念如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数．知识点诠释：对数式中各字母的取值范围是：且，，．2、对数（且）具有下列性质：（1）0和负数没有对数，即；（2）1的对数为0，即；（3）底的对数等于1，即．3、两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为．4、对数式与指数式的关系由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化．知识点二、对数的运算法则已知，（且，、）（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；推广：（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；知识点诠释：（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：，，．知识点三、对数公式1、对数恒等式：2、换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有：（1）令，则有，，即，即，即：．（2），令，则有，则有即，即，即当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：．

题型1：指数式与对数式的互化应用例1．将下列指数式改写为对数式：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）（且）化为对数式是，所以化为对数式是；（2），对数式是；（3），对数式是；（4），对数式是.例2．将下列对数式改写为指数式：(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）由得.（2）由得.（3）由得.（4）由得.例3．将下列指数式改写为对数式：(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）由得.（2）由得.（3）由得.（4）由得.变式1．将下列对数式改写为指数式（，且）：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）因为，所以.（2）因为，所以.（3）因为，所以.（4）因为，所以.变式2．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【解析】（1）因为，所以（2）因为，所以（3）因为，所以（4）因为，所以（5）因为，所以（6）因为，所以题型2：对数的概念与定义深度解析例4．对数中实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题.故选：C.例5．（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）使式子有意义的的取值范围是（

）A． B． C．且 D．，【答案】C【解析】由式子有意义，则满足，解得且.故选：C.例6．给出下列说法:①零和负数没有对数;②任何一个指数式都可以化成对数式;③以10为底的对数叫作常用对数;④以为底的对数叫作自然对数.其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】零和负数没有对数，命题①正确；，不能写成对数式，命题②错误，；以10为底的对数叫做常用对数，命题③正确；以为底的对数叫作自然对数，命题④正确；故正确命题是①③④，故选：C.变式3．（2026·高一·江苏南通·阶段检测）已知对数式有意义，则a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由有意义可知，解得且，所以a的取值范围为.故选：B变式4．使有意义的实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意知，解得，所以实数a的取值范围是．故选：C.题型3：积、商、幂的对数运算法则应用例7．（2026·高一·山西忻州·期末）计算：__________.【答案】3【解析】故答案为：3.例8．（2026·高一·四川绵阳·期末）计算：__________．【答案】4【解析】，，．故答案为：4．例9．（2026·高一·新疆乌鲁木齐·期末）_______.【答案】【解析】原式.故答案为：.变式5．（2026·高一·广东深圳·期末）计算：______．【答案】/【解析】由题，.故答案为：变式6．（2026·高一·北京·阶段检测）计算：_________.【答案】11【解析】原式.故答案为：11变式7．__________.【答案】【解析】原式.故答案为：.题型4：对数恒等式的基础应用例10．（2026·高一·湖北·期中）计算：的结果为_______.【答案】【解析】依题意，.例11．（2026·高一·浙江·期中）求值：__________.【答案】【解析】原式.例12．（2026·高一·湖南衡阳·阶段检测）已知且，则__________.【答案】29【解析】因为，所以，所以，.变式8．（2026·高一·陕西宝鸡·阶段检测）设函数，则的值为__________.【答案】【解析】因为，则.变式9．（2026·高一·湖北黄石·阶段检测）______．【答案】【解析】原式化为.变式10．（2026·高一·江苏南京·期末）计算：__________.【答案】/【解析】，故答案为：.变式11．（2026·高一·陕西渭南·期末）___________________.【答案】3【解析】因为，，所以.故答案为：题型5：换底公式的灵活变形与运用例13．（2026·高一·湖北武汉·期中）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因，得，则，又，.例14．（2026·高一·广东深圳·期末）已知当时，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以或.因为，所以，所以，即①.所以，所以②.由①②得：，.所以.故选：D.例15．（2026·高一·内蒙古呼和浩特·期末）若，则（

）A．6 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】由可得，可得.故选：C变式12．（2026·高三·湖南·阶段检测）已知，则的最小值为（

）A．3 B．2 C． D．1【答案】D【解析】因为，，所以，，当且仅当时取等号，.故选：D.变式13．（2026·浙江金华·一模）已知，则（

）A．3 B．9 C．27 D．81【答案】C【解析】，所以，则，解得.故选：C.变式14．（2026·高三·四川广元·阶段检测）若，，则（

）A．3 B．6 C．9 D．10【答案】C【解析】设，由换底公式可得，所以，解得或，由于题干中a、b地位等价，不妨设，则，代入可得，由于a在对数的底数上，所以且，由单调可得，解得，则.故选：C.变式15．（2026·宁夏吴忠·一模）若，且，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】设，则，∴.A.，A错误.B.，B错误.C.，C正确.D.，D错误.故选：C.题型6：基础对数方程的求解方法例16．（2026·高一·上海松江·期中）甲、乙两人解关于的方程：，甲写错了常数，得两根，，乙写错了常数，得两根，，则这个方程两个真实根的和为__________.【答案】12【解析】原方程可变形为：可看作关于的一元二次方程，甲写错了，得到根为及，；又乙写错了常数，得到根为及，；原方程为，即，或，或.所以这个方程两个真实根的和为.故答案为：12.例17．（2026·高三·上海·期中）方程的解集为__________．【答案】【解析】已知：，根据换底公式可得：，化简得：，约分整理得：，即：，因此可得：或，即：或.故方程的解集为.故答案为：例18．（2026·高一·上海松江·期中）若方程的两根为、，则___________．【答案】【解析】因为方程的两根为、，由韦达定理可得，故.故答案为：.变式16．方程的实数解为_________.【答案】【解析】由，得，所以，即，即，所以或（舍去），所以.故答案为：.变式17．（2026·高一·上海杨浦·期末）方程的解为___________.【答案】或【解析】令，则方程化为，解得或，即或，故答案为：或.变式18．（2026·高一·广东惠州·期中）记，则关于的方程的解集为_________.【答案】【解析】因为，所以方程可化为，令，则可化为，解得或（舍去），所以，故，所以方程的解集为.故答案为：.题型7：利用已知对数表示目标对数式例19．已知，，试用表示为_______．【答案】【解析】，，．故答案为：例20．（2026·高一·湖南娄底·阶段检测）已知，则____________（用表示）．【答案】【解析】因为，所以，所以，故答案为：．例21．（2026·高一·上海·期中）已知，，则用、表示________．【答案】【解析】.故答案为：.变式19．（2026·高一·上海·期中）已知，用表示___________．【答案】【解析】因为，所以，所以，所以用表示，故答案为：.变式20．（2026·高一·上海·期中）已知，，则______．（用含、的式子表示）【答案】【解析】，，所以.故答案为：.变式21．（2026·高一·江苏淮安·期中）已知，，则______（用含有，式子表示）.【答案】【解析】因为，所以..故答案为：.题型8：常见对数恒等式的推导证明例22．（2026·高一·陕西西安·阶段检测）（1）18世纪，瑞士数学家欧拉发现指数与对数的联系，他指出“对数源出于指数”.为了计算对数的方便，常运用换底公式将代数式中不同底的对数化为同底的对数.①请写出对数的换底公式；②请依据对数的换底公式证明.（2）请分别计算下列两小问中x，y的值：①；②实数a，b满足.【解析】（1）①对数的换底公式：；②；（2）①；②因为，则，所以.例23．（2026·高一·山东济宁·阶段检测）设.(1)求的值；(2)在与这两个等式中，只有一个是正确的，请指出这个正确的等式是哪一个并加以证明.【解析】（1）因为，所以.（2）正确的等式是.理由如下：.例24．（2026·高一·江苏·阶段检测）已知正实数x，y满足.(1)比较x，y，1三个数的大小；(2)求的值；(3)证明：.【解析】（1）由，且，知，即.由，且，知，即.综上可知.（2）由，可得，，则，，因此，.（3）证明：由（2）知，即，则.变式22．（2026·高一·福建龙岩·阶段检测）阅读下面材料：由于，设，，①于是.②根据对数的定义，由①得，，③由②得④，把③代入④得.(1)仿照上述过程，证明：；(2)已知，求的值.（提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及（1）中的结论）【解析】（1）由①知：，将③代入上式，有，得证.（2）由题设，，，所以.变式23．（2026·高一·陕西安康·期末）某人工调控的河流的河道容量上限可以用如下公式测算：，其中是河道宽度，是平均径流量，是平均蒸发量．(1)若初始情况下，在不改动河道宽度的前提下，要使扩大，求应控制的值；(2)已知径流量，证明：．【解析】（1）当时，，扩大，即，因此，即，则，所以（2）当时，，而，又,所以，即原等式成立.变式24．（2026·高一·江苏徐州·期中）我们知道，十进制中的任何一个正实数x都可以表示成．当时，等于x的整数部分的位数；当时，．例如．(1)求，并写出的表达式（不必写出过程）；(2)若，且取，求以及；(3)已知，猜想：与的大小关系，并证明你的结论．【解析】（1）依题意，，，当时，整数部分的位数为，当时，的非有效数字的位数为，所以.（2）由，得，则，所以，，.（3）猜想：，当时，为正整数且不可能是10的倍数，因此存在，使得，此时，而，因此，所以.题型9：对数运算的综合题型解析例25．求值：．【解析】.例26．（2026·高一·贵州遵义·期末）计算：(1)；(2).【解析】（1）因为，，，，所以；（2）.例27．（2026·高一·广东·期末）（1）；（2）.【解析】（1）由指数幂的运算公式，可得又由对数的运算公式，可得：，所以.（2）由对数的运算公式，可得：变式25．（2026·高一·天津宁河·阶段检测）化简与求值：(1)(2)【解析】（1）.（2）.变式26．计算下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)；(5).【解析】（1）原式；（2）原式.（3）原式；（4）原式；（5）原式＝.变式27．（2026·高一·福建莆田·阶段检测）（1）计算：；（2）已知，求的值.【解析】（1）；（2），故，故.

1．（2026·高一·江苏宿迁·期末）已知，用表示为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可得，所以故选：B.2．2025年10月31日，搭载神舟二十一号载人飞船的运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，这标志着我国航天技术实现了新的突破．已知某型运载火箭在理想状态下的喷流相对速度（单位：m/s），则的近似值为（

）（参考数据：，）A．1200m/s B．1500m/s C．1800m/s D．2100m/s【答案】C【解析】（m/s）．3．（2026·高三·上海浦东新·期中）已知实数满足，则下列结论一定正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于选项A，可知，无法判断正负，所以选项A错误；对于选项B，可知时，所以，所以选项B错误；对于选项C，因为，所以，可知，当且仅当，即时取等号，所以等号取不到，所以，选项C正确；对于选项D，当时，无法判断不等式是否成立，所以选项D错误；4．（2026·高一·新疆克拉玛依·期末）已知函数则（

）A．0 B．3 C． D．【答案】C【解析】已知函数，所以，所以.故选：C.5．已知，则（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】依题意，，则．故选：B6．对于两个均不等于的正数，定义：，设均为小于1的正数，且，则的值是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】由且，得，根据新定义，得.故选：D.7．已知，则的值为（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】D【解析】因为，所以，可得，即，所以，即，所以.故选：D.8．（2026·高一·云南玉溪·阶段检测）若是方程的两个实根，则ab的值等于（

）A．2 B． C．100 D．【答案】C【解析】因为是方程的两个实根，故由韦达定理可知，，即，得.故选：C.9．（多选题）（2026·高一·四川成都·阶段检测）下列命题中正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则的值为 D．若且，则【答案】BC【解析】对于A，当时，，此时，所以A错误；对于B，，故B正确；对于C，因为，所以，所以，故C正确；对于D，因为，所以，又，所以，所以D错误.10．（多选题）（2026·高一·安徽·期末）已知，，且，则（

）A． B．C．的最小值为2 D．的最大值为4【答案】ABD【解析】对于A：因为，，且，所以，当且仅当时取等号，故A正确；对于B：因为，即，当且仅当时取等号，则，当且仅当时取等号，故B正确；对于C：，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为，故C错误；对于D：由，可得，当且仅当，即，时等号成立，所以的