高一预习人教A版（2019）高中数学必修一第09讲 二次函数与一元二次方程、不等式

2/2第09讲二次函数与一元二次方程、不等式目录TOC\o"1-2"\h\z\u01思维导图与题型归纳 202基础知识梳理 3知识点一：一元二次不等式的概念 3知识点二：二次函数的零点 3知识点三：一元二次不等式的解集的概念 3知识点四：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 3知识点五：利用不等式解决实际问题的一般步骤 4知识点六：一元二次不等式恒成立问题 4知识点七：简单的分式不等式的解法 403题型精讲举一反三 5题型1：解无参数一元二次不等式 5题型2：一元二次不等式与韦达定理综合 6题型3：含参一元二次不等式解法 8题型4：一次分式不等式解法 11题型5：一元二次不等式实际应用 12题型6：不等式恒成立与有解问题 14题型7：一元二次方程根的分布 1504过关测试 18

知识点一：一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或（其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式．知识点二：二次函数的零点一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点．知识点三：一元二次不等式的解集的概念使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集．知识点四：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集．二次函数（）的图象有两相异实根有两相等实根无实根知识点诠释：（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集．知识点五：利用不等式解决实际问题的一般步骤（1）选取合适的字母表示题中的未知数；（2）由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）；（3）求解所列出的不等式（组）；（4）结合题目的实际意义确定答案．知识点六：一元二次不等式恒成立问题（1）转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立（2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题．知识点七：简单的分式不等式的解法系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”

题型1：解无参数一元二次不等式例1．不等式的解集为（

）A． B．或C． D．或【答案】A【解析】因为，所以，由一元二次不等式解得，所以解集为.例2．（2026·高一·河南周口·期末）不等式的解集为（

）A．或 B．或C． D．【答案】B【解析】，解得或，所以不等式的解集为或例3．（2026·高一·安徽合肥·期末）不等式的解集为（

）A． B．或C． D．或【答案】A【解析】因为，所以，由一元二次不等式解得，所以解集为.故选：A变式1．不等式的解集是（

）A． B．或C． D．【答案】B【解析】将原不等式化为，解得或，所以不等式的解集为或.故选：变式2．（2026·高一·全国·期末）不等式的解集为（

）A．或 B． C．或 D．【答案】C【解析】由不等式，可得，或，故不等式的解集为或，故选：.题型2：一元二次不等式与韦达定理综合例4．（2026·高一·云南昆明·期中）已知的解集为，则的一个充分不必要条件是（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【解析】由的解集为，得和是方程的两个实数根，所以，所以等价于，即，其充要条件为或.所以和均是的既不充分也不必要条件；或是的必要不充分条件；或是的一个充分不必要条件.例5．（2026·高一·黑龙江大庆·开学考试）关于的不等式（）解集中恰有2个整数，则实数取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由得，，因为，所以，得，由不等式（）解集中恰有2个整数，得，得，故实数取值范围是．例6．（2026·高一·重庆·阶段检测）已知关于x的一元二次不等式的解集为，且一元二次方程的两根为和，则的值为（

）A．5 B． C．2 D．【答案】B【解析】令，解得或，而二次函数的二次项系数为正数，因此不等式的解集为，可得，，由韦达定理得，解得，综上可得，故B正确.故选：B.变式3．（2026·高一·河北沧州·期末）已知，关于x的不等式的解集为，则（

）A．3 B．2 C． D．【答案】B【解析】已知关于x的不等式的解集为，则或是方程的两个根，由韦达定理得，解得，，故B正确．故选：B．题型3：含参一元二次不等式解法例7．（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知不等式的解集为.(1)求，的值；(2)解不等式.【解析】（1）由题意知，和是方程的两个实根，由韦达定理得，，解得.（2）将代入不等式得，即.方程的两根为，.当时，解集为或；当时，不等式为，解集为；当时，解集为或.例8．（2026·高一·江苏南通·阶段检测）已知a，b，，关于x的不等式的解集为或(1)求函数的零点；(2)解关于x的不等式．【解析】（1）因为不等式的解集为或，可知与是方程的两个实数根，且，则，解得：，，令，解得或，所以函数的零点为1和2.（2）由（1）知不等式即为，即，①当时，易得不等式的解集为，②当时，不等式可化为，不等式的解集为或．③当时，不等式可化为，当，即时，不等式的解集为；当，即时，不等式的解集为；当，即时，不等式的解集为．例9．（2026·高一·湖南常德·阶段检测）解下列关于的不等式：(1)；(2)；(3)解关于的不等式【解析】（1）由可得，方程对应的两根为或；所以不等式的解集为（2）易知等价于或；解得或，因此该不等式的解集为或；（3）易知即为；当时，该不等式解集为；当时，该不等式解集为；当时，该不等式解集为；当时，该不等式解集为变式4．（2026·高一·广东肇庆·阶段检测）（1）求不等式的解集；（2）解关于的不等式：．【解析】（1）因，故原不等式的解集为．（2）由不等式，得，又因为，所以原不等式等价于，当时，，此时不等式无解；当时，，解得；当时，，解得；综上：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为．变式5．若函数，当时，求的解集.【解析】因为，，所以，即，又，当，即时，的解集为；当，即时，若，解集为，若，解集为；当，即或时，的两根为，，且有，此时，的解集为或；综上所述，当时，的解集为；当，的解集为，当，的解集为；当或时，的解集为或.变式6．求关于的不等式的解集.【解析】不等式，当时，不等式为，解得；当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，当时，解得或；当时，解得；当时，解得或，所以当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.题型4：一次分式不等式解法例10．不等式的解集是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】方法一：由，得，所以，即，即，所以，所以不等式的解集是.方法二：，得或，解得或，所以不等式的解集是.例11．（2026·湖南长沙·三模）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解不等式，得；解不等式，得，而集合真包含于集合，所以“”是“”的必要不充分条件．例12．（2026·高二·湖南·期末）不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】不等式，可化为，整理得，即，解得．所以不等式的解集为．变式7．（2026·高二·全国·期末）不等式的解集为（

）A． B． C．{或} D．【答案】A【解析】不等式，可化为，整理得，即，解得.所以解集为.题型5：一元二次不等式实际应用例13．（2026·高一·江苏镇江·期中）汽车在行驶中，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为80km/h的桥梁上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于，乙车的刹车距离略超过．又知甲、乙两种车型的刹车距离（单位：）与车速（单位：）之间分别有如下关系：．则（

）A．甲、乙两车均超过规定限速B．甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速C．甲车超过规定限速，乙车未超过规定限速D．甲、乙两车均未超过规定限速【答案】B【解析】因为甲车的刹车距离小于且，所以，得到；因为乙车的刹车距离略超过且，所以，得到；所以甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速.故选：B例14．某企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依题意得，调整后研发人员人数为，年人均投入为万元，则有，化简整理得，解得．因为，且，所以．故选：A.例15．用一条长为的铁丝围成一个矩形，设矩形的长为（长大于宽），要使矩形的面积大于，则实数x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题知矩形的长为，则它的宽为，故，即.要使矩形的面积大于，则，解得.综上，.变式8．（2026·高一·广东肇庆·阶段检测）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个，若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，这批削笔器的销售单价（单位：元）的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设这批削笔器的销售价格定为元/个，由题意得，即，∵方程的两个实数根为,，解集为，又，，故应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间(包括15元但不包括20元)，才能使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入.故选：B变式9．（2026·高一·河南·开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（

）A．250元 B．260元 C．270元 D．280元【答案】C【解析】依题意，每天有间客房被租出，该连锁酒店每天租赁客房的收入为．因为要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，所以，即，解得．因为且，所以，即该连锁酒店每间客房每天的租价应定为270元．故选：C．题型6：不等式恒成立与有解问题例16．已知命题：任意，都有0.若命题是假命题，则实数的取值集合是_________.【答案】【解析】若命题为真命题，则，，所以当为假命题时，实数的取值集合为.例17．（2026·高一·上海·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是___________【答案】【解析】因为关于的不等式的解集为，所以，所以实数的取值范围是.故答案为：例18．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】该全称命题“”为假命题，则其否定“”为真命题，即方程在上有解，的取值范围就是函数在上的值域.，这是开口向上，对称轴为的二次函数，.则最小值在处取得：；最大值在端点处取得：.因此的值域为，即.变式10．（2026·高一·重庆·期中）当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为___________.【答案】或【解析】由题意知，当时，有，即，得，当时，不等式即，显然当时，不等式恒成立；当，时，恒成立，则不等式可化为即，欲使恒成立，则，即；当时，不等式即，由，得，得或，不符合题意；综上可得或.故答案为：或.题型7：一元二次方程根的分布例19．（2026·高二·天津滨海新区·阶段检测）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____．【答案】【解析】令二次函数，其图象开口向上.已知方程有两个根，则，化简得，解得或.因为两个实根都大于，所以对称轴位于直线右侧，且处的函数值大于0.即对称轴，即，解得.处的函数值大于：，解得.因此.例20．关于x的一元二次方程有一个大于0小于4的根，则a的取值范围为______．【答案】【解析】方程，解得，依题意，，解得，所以a的取值范围为.例21．（2026·高一·重庆江北·阶段检测）已知，，则的最小值为m，方程在上有两个不相等的实根，则t的范围是________.【答案】【解析】由，得，当且仅当，即时取等号，则，方程，由，得，依题意，关于的一元二次方程在上有两个不相等的实根，因此，解得，所以t的值范围是.故答案为：变式11．（2026·高一·上海宝山·期中）若方程有两个正根，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】由方程有两个正根，得，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：变式12．（2026·高三·北京·阶段检测）已知方程的两根一个比2大另一个比2小，则实数m的范围是____________.【答案】【解析】方程，可得，故方程的两个根分别为或.由于两根一个比2大另一个比2小，故,解得，故答案为：.

1．（2026·高一·四川成都·期末）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，原不等式化为，显然恒成立；当时，不等式对一切恒成立，则有且，即，解得，综上可得，.2．（2026·高一·福建厦门·期中）若两个正实数x，y满足，且对任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A．或 B．C．或 D．【答案】D【解析】由题意，，当且仅当，即时等号成立.因对任意这样的，使不等式恒成立.则需使，解得.3．（2026·高一·福建泉州·期中）已知正实数满足时，有恒成立，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为正实数满足，所以，当且仅当时，等号成立，即时，等号成立，因为正实数满足时，有恒成立，所以，即，即，得最大值为8．4．（2026·高一·四川眉山·期中）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，使得为假命题，则，都有为真命题，当，则，满足，当，则，满足，综上，.5．关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为（

）A．2 B．0 C．1 D．2或0【答案】B【解析】设一元二次方程的两个实数根为，由题意，解得或，当时，方程为无解，舍去，当时，方程为，两根为符合题意.故则的值为0.6．（2026·高一·湖北十堰·阶段检测）质数p，q是方程的两根，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为质数p，q是方程的两根，所以，，因为p，q是质数，所以或，所以，所以.故选：C.7．（2026·高一·甘肃定西·期末）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由不等式，得或.而或，或.所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A.8．（2026·高一·贵州黔南·期末）已知命题，命题，则是的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解，得；反之是的必要不充分条件.故选:B.9．（多选题）（2026·高一·四川成都·期中）已知关于的不等式的解集为.则（

）A． B．不等式的解集是C． D．不等式的解集是【答案】BC【解析】由题意知，（A错误），且，是方程的两根，所以，，即，.B：可化为，因为，，所以不等式的解集是，B正确.C：因为，所以，C正确，D：可化为，因为，所以，解得或，故D错误.10．（多选题）（2026·高一·浙江杭州·期中）关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（

）A．不等式的解集可以是B．不等式的解集可以是C．不等式的解集可以是D．不等式的解集可以是【答案】ABD【解析】对于A，若，解集为，故A正确；对于B，当时，，解集为，故B正确；对于C，若不等式的解集为，则，显然该不等式组无解，假设不成立，故C错误；对于D，若不等式的解集是，则且方程的两根为，所以，解得，所以当时，不等式的解集是，故D正确．11．（多选题）（2026·高一·山东德州·期末）已知实数满足，若关于的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数的可能取值是（

）A． B．3 C． D．【答案】ACD【解析】由题意知实数满足，则，，关于的不等式即，当时，表示开口向下的抛物线，则的解集中不可能仅有3个整数，不合题意；当时，即，解得，则的解集中不可能仅有3个整数，不合题意；当时，，则的解集为，因为解集中有且仅有3个整数，所以解集里的整数是，，故，所以，结合，可得，解得，故，故实数的取值范围是，故实数的可能取值，，.12．已知命题，使得.则命题为真命题的一个充要条件是______.【答案】【解析】当时，显然，使得；当时，，解得，即，综上，命题为真命题的充