离散控制系统

离散控制系统第1页，共94页。后向差分是现在时刻采样值e(k)与上一时刻采样值e(k-1)之差▽e(k)

。即， ▽e(k)=e(k)

-e(k-1)

▽e(k)称为一阶后向差分。二阶后向差分:

▽2e(k)=▽[▽e(k)]=▽[e(k)

-e(k-1)]=▽e(k)

-▽e(k-1)]

=[e(k)

-e(k-1)]-[e(k-1)

-e(k-2)]

=e(k)

-2e(k-1)+e(k-2)]

n阶后向差分:▽ne(k)=▽n-1[▽e(k)]=▽n-1e(k)

-▽n-1e(k-1)]=kT(k+1)T(k-1)TΔe(k)▽e(k)te*(t)第2页，共94页。2.线性常系数差分方程

对于单输入单输出线性定常离散系统，在某一采样时刻的输出值c(k)不仅与这一时刻的输入值r(k)有关，而且与过去时刻的输入值r(k-1)、r(k-2)…有关，还与过去的输出值c(k-1)、c(k-2)…有关。可以把这种关系用n阶后向差分方程描述：n—系统的阶次k—系统的第k个采样周期线性定常系统差分方程的一般形式。递推形式特别适合在计算机上求解。比连续系统方便！在实际当中，应用较广泛第3页，共94页。

线性定常离散系统，也可以用n阶前向差分方程描述,即n—系统的阶次k—系统的第k个采样周期递推形式在实际当中，较少应用第4页，共94页。1)迭代法线性定常系统差分方程可以写成递推形式

当给出输出函数的n个初始值后，可以从n+1个值递推计算下去，它适合于计算机运算，简单快捷。例8-18已知离散系统的后向差分方程

c(k)-5c(k-1)+6c(k-2)=r(k)初始条件c(0)=0,c(1)=1。试用迭代法求在r(k)=1(k)=1(k>0)作用下的输出序列。3.差分方程的解法有经典法*-较繁琐：通解+特解、迭代法和z变换法。第5页，共94页。解：可以写出后向差分方程的递推形式c(k)=r(k)+5c(k-1)-6c(k-2)

根据初始条件c(0)=0,c(1)=1，并令k=2,3,4…，逐拍递推，有

k=0 c(0)=0 k=1 c(1)=1初始条件

k=2 c(2)=r(2)+5c(1)-6c(0)=6 k=3 c(3)=r(3)+5c(2)-6c(1)=25 k=4 c(4)=r(4)+5c(3)-6c(2)=90 …由此可以画出输出c(k)随时间变化的曲线。

n阶方程需要n个初始值，从n+1开始递推，初始值不同解也不同，初始值可以看作为输入。2T3TTte*(t)4T第6页，共94页。*例8-23将后向差分方程

c(k)-5c(k-1)+6c(k-2)=r(k)转换为前向差分方程，并用迭代法求输出序列c(k)。解：

对应的初始条件可根据原方程初值及变量和的关系求出。对后向差分方程c(k)-5c(k-1)+6c(k-2)=r(k)令k’=k-2，则变换为前向差分方程c(k’+2)-5c(k’+1)+6c(k’)=r(k’+2)当，k’=0有k=2，则c(k’)|k’=0=c(0’)=6 r(k’)|k’=0=r(0’)=1当，k’=1有k=3，则c(k’)|k’=1=c(1’)=25 r(k’)|k’=1=r(1’)=1第7页，共94页。c(k’+2)=r(k’+2)+5c(k’+1)-6c(k’)写出差分方程的递推形式

根据新的初始条件，并令k’=2,3,4…，逐拍递推，有 k’=0 c(0)=6 k’=1 c(1)=25初始条件

k’=2 c(2)=r(2)+5c(1)-6c(0)=90 k’=3 c(3)=r(3)+5c(2)-6c(1)=301 k’=4 c(4)=r(4)+5c(3)-6c(2)=966 …由此可以画出输出c(k)随时间变化的曲线。第8页，共94页。3)z变换法

用z变换法求解常系数差分方程的方法与用拉氏变换求解微分方程方法类似。差分方程式r(k)c(k)求解代数方程时域解Zz的代数方程R(z)C(z)z域解Z-1经典法求解第9页，共94页。

用z变换法求解常系数差分方程的一般步骤：利用z变换的超前或延迟定理对差分方程两边进行z变换，代入相应的初始条件，化为复变量z的代数方程；求出代数方程的解c(z)；对c(z)进行反变换，得出c(kT)或c*(t)。第10页，共94页。例8-24一阶离散系统的差分方程为

c(k+1)-bc(k)=r(k)已知r(k)=ak,初始条件c(0)=0，求响应c(k)。解：对差分方程两边取z变换

zC(z)-zc(0)-bC(z)=R(z)代入求得部分分式法求z反变换查表得第11页，共94页。例8-25二阶离散系统的差分方程为

c(k+2)-5c(k+1)+6c(k)=r(k)已知r(k)=1(k)=1,初始条件c(0)=6,c(1)=25,求响应c(k)。解：对差分方程两边取z变换

[z2C(z)-z2c(0)-zc(1)]–5[zC(z)-zc(0)]-6C(z)=R(z)代入求得部分分式法求z反变换查表得第12页，共94页。脉冲传递函数

在连续系统中，传递函数是s域的数学模型，分析起来比时域里面的微分方程更方便；同样，在离散系统中通过z变换，可以建立z域的数学模型，称为z传递函数，又称脉冲传递函数。

给分析和计算带来极大方便。作为一个数学模型，仅依赖于对象本身，与输入无关。1.脉冲传函的定义

定义：在线性定常离散系统中,初始条件为零时，系统输出与输入信号的z变换之比，称为脉冲传函。第13页，共94页。设系统的差分方程为：在零初始条件下，进行z变换脉冲传递函数为

如果已知G(z)和R(z)，输出离散信号可通过z反变换求得第14页，共94页。注意：

(1)原则上不反映非零初条件下系统响应的全部信息;(2)一般只适合描述单输入单输出系统;(3)只适合用于描述线性定常离散系统。

强调：G(z)作为离散系统的数学模型，与差分方程一样，仅描述离散信号之间的关系。对大多数系统来说，系统的输出都是连续信号c(t),并不是c*(t)，在此情况下，输出离散信号通过虚设的同步理想开关来表示。G(s)r(t)r*(t)c(t)c*(t)G(z)第15页，共94页。2.脉冲传函的意义

离散脉冲响应函数的z变换等于脉冲传函。同样第16页，共94页。3.脉冲传递函数的求法由差分方程求脉冲传函

令初始条件为零，对方程两端进行z变换

→整理→脉冲传递函数例8-21已知离散系统差分方程求脉冲传递函数。第17页，共94页。２)由连续部分的传函求脉冲传函例8-22已知离散系统的连续部分传函求脉冲传递函数。第18页，共94页。例8-23已知离散系统的连续部分传函求系统的差分方程和脉冲传函。解法1：连续部分为延迟环节，c(t)=r(t-τ)令τ

=nT,t=kT,

离散化得差分方程

c(kT)=r[(k-n)T]取z变换可得脉冲传递函数第19页，共94页。由定义差分方程

c(kT)=r[(k-n)T]解法2：由连续部分传函，取z变换可得脉冲传函第20页，共94页。离散系统结构图与脉冲传递函数1)串联各环节之间有采样开关

离散型系统结构图的绘制与连续系统方法相同，脉冲传递函数的定义在形式上与连续系统一致。等效变换的原则也相同，即变换前后信号应完全等效。由于离散与连续信号并存，简化的法则与连续系统不再完全一致！只有每一个方框都是独立的离散单元，过去的代数法则才有效。1.串联环节的脉冲传函

脉冲传函等于两个环节的脉冲传函之积，这一法则是否成立，与有无采样开关有关。第21页，共94页。G2(s)G1(s)离散环节串联

这种情况下乘法法则成立：脉冲传函等于两个环节的脉冲传函之积。第22页，共94页。例8-24已知上述离散系统求脉冲传递函数。第23页，共94页。2)串联各环节之间无采样开关G2(s)G1(s)

没有采样开关分隔的两个线性环节串联时，其脉冲传函为这两个环节的传递函数相乘之积的z变换。即此时乘法法则不再成立。第24页，共94页。例8-25已知图示离散系统求脉冲传递函数。G2(s)G1(s)第25页，共94页。3)零阶保持器与环节串联Gp(s)Gh(s)

由于e-Ts为一延迟，利用实数位移定理零阶保持环节第26页，共94页。例8-26已知上述有零阶保持器的离散系统求脉冲传递函数G(z)。查z变换表有第27页，共94页。G2(s)G1(s)4)连续信号进入连续环节的情况此时无法写出脉冲传函G(z)。第28页，共94页。2.并联环节的脉冲传函

连续系统中，并联各环节传递函数等于两个环节的脉冲传函之和。在离散系统中，这一法则仍然成立。c*(t)++r(t)G2(s)G1(s)第29页，共94页。

对于存在并联支路输入连续信号的情况，加法法则对于c*(t)仍然成立，但此时无法写出脉冲传函C(z)/R(z)。c*(t)++r(t)G2(s)G1(s)第30页，共94页。c*(t)+-r(t)零阶保持器等效结构图零阶保持器例8-27求零阶保持器的脉冲传函G(z)。为常数1，表明输出信号与输入信号完全一致，只起信号恢复的作用。第31页，共94页。3.闭环采样系统脉冲传函

在连续系统中，闭环传函与开环传函有确定的关系。可以用典型结构描述，有通用公式求闭环传函。但在采样系统中，由于采样开关的位置不同，结构形式就不一样，求出的脉冲传函和输出表达式不同，因此不存在唯一的典型结构图，因此课本上也没有给出所谓的通用公式。计算相当烦琐！

不过，也有一定的规律可循。第32页，共94页。

设闭环采样系统的结构如图所示。虚线表示为分析而虚设的理想采样开关，均以相同的周期T同步工作。

离散系统，按连续系统公式求输入下的闭环传递函数时

1.若环节之间有开关隔开，则只把X(s)改成X(z)即可；

2.若无开关隔开，则先组合后再Z变换；

3.若输入与前向通道的第一个环节间无开关，则只能写出C(z)，写不出G(z)。仍可按公式来！

在扰动输入时，例外！但如果是单位反馈，仍适用。第33页，共94页。1)对于给定输入的脉冲传函令扰动d(t)=0,有由开环通道采样代入z变换误差对输入脉冲传函整理，得第34页，共94页。闭环脉冲传函z变换系统输出代入第35页，共94页。误差对输入脉冲传函闭环脉冲传函第36页，共94页。2)对于扰动输入的脉冲传函令输入r(t)=0,有联立整理采样z变换整理第37页，共94页。输出对扰动脉冲传函误差对扰动脉冲传函若H(s)为单位反馈,有第38页，共94页。误差对扰动脉冲传函输出对扰动脉冲传函但若H(s)为单位反馈时,仍有例外！第39页，共94页。例8-29已知采样系统结构如图所示，试推求输出信号的z变换表达式C(z)。解：第40页，共94页。(3)对各式采样后取z变换(4)消除中间变量解：(1)输入r(t)和输出c(t)都是连续信号。(2)根据结构图有第41页，共94页。例(表8-1第2项）已知采样系统结构如图所示，试推求输出信号的z变换表达式C(z)。第42页，共94页。例（表8-1第5项）当采样系统中有数字控制器时第43页，共94页。

例有干扰信号的采样系统(R(s)=0，单位反馈),求扰动对输出的影响关系。第44页，共94页。8.6离散系统的时域分析c(t)t01T2T

3T

4T

c(t)t01T2T

3T

时域分析也包含3项内容：动态响应的品质、稳定性分析和稳态误差。分析方法与连续系统类似。

对于离散系统的z变换理论，如前所述，它仅限于采样值的分析。对于离散系统的性能分析的讨论也只限于在采样点的值。然而，当采样周期T选择较大时，采样间隔中隐藏着振荡，可能反映不出来，这造成实际连续信号和采样值变化规律不一致，会得出一些不准确的分析结果。因此，必须注意采样周期T是否小于系统的最大时间常数这一问题。只有满足这一点，才会使离散理论分析结果贴近连续信号的变化规律。第45页，共94页。s平面和z平面的映射关系设复变量则z平面s平面与z平面的映射关系在s平面内 在z平面内σ>0右半平面 |z|>1，单位圆外σ=0虚轴 |z|=1，单位圆周上σ<0左半平面 |z|<1，单位圆内主频带0s平面

连续系统如何判稳？离散系统有很大不同，只要找到s平面和z平面的映射关系就好办了。第46页，共94页。0

j[s]0ReIm[z]1第47页，共94页。离散系统的动态性能分析离散系统的时间响应及性能指标求法

离散系统的瞬态质量，可以直接由时间响应获得，这一点比连续系统方便且直观。也可以在z域中，通过分析零极点的位置关系获得。

利用z反变换长除法可以方便地求出系统输出在各采样时刻的值。离散系统时域性能指标与连续系统相同。选定单位阶跃输入信号后，可以直接由时间响应评价动态性能。

由时域解求性能指标的步骤：由离散系统闭环传函，写出输出量的z变换函数C(z)。(2)用长除法展成幂级数，通过z反变换求得c*(t)。(3)由c*(t)给出的各采样时刻的值，直接求出

p%,tr

,tp,ts等性能指标。第48页，共94页。例8-32系统结构图如图所示，T=K=1，r(t)=1,求系统单位阶跃响应c*(t)和动态指标。解:第49页，共94页。用长除法可得出系统的单位阶跃响应序列c*(t):由响应序列可以求出系统动态性能指标：对应的连续系统性能指标：

采样器使系统的调节时间、上升时间、峰值时间略有减小，但超调增大，降低稳定性。2T3TTtc*(t)4T15T6T第50页，共94页。例8-33在上例中，增加采样保持器，如图所示，T=1，r(t)=1(t),

求系统动态指标。解:开环脉冲传函闭环脉冲传函第51页，共94页。用长除法可得出系统的单位阶跃响应序列c*(t)．0T2T3T4T5T6T7Tc*(t)1t第52页，共94页。0T2T3T4T5T6T7Tc*(t)1t由响应序列可以求出系统动态性能指标：

零阶保持器使系统的调节时间、上升时间、峰值时间及超调增大，这是因为零阶保持器的相角滞后作用，降低了稳定性。第53页，共94页。设闭环采样系统的脉冲传函当输入为单位阶跃信号时，输出信号的z变换2.闭环极点与动态响应的关系设只有单重极点暂态分量第54页，共94页。1）当特征根为正实数时发散收敛等幅脉冲发散收敛等幅脉冲第55页，共94页。2）当特征根为负实数时振荡发散振荡收敛正负交替等幅脉冲振荡周期包含2个采样周期T，故振荡周期为2T。振荡角频率为第56页，共94页。ｚ平面ImRe01-1闭环实极点分布与相应的动态响应关系

（极点在实轴上）第57页，共94页。

共轭复数极点对应的瞬态分量以余弦规律振荡。

当相位等于2π时，过渡过程完成一个振荡周期，故振荡周期为kT

，振荡角频率为

振荡频率与幅角有关，幅角越大，振荡频率越高。所以位于左半单位圆内复极点瞬态分量的振荡频率要高于右半单位圆内的情况，设振荡周期包含采样周期T的个数为k，则发散收敛等幅脉冲3）当特征根为一对共轭复数第58页，共94页。ImRe1–1闭环分布与相应的动态响应关系

（共轭复数极点）第59页，共94页。1.离散系统z域稳定的充要条件闭环脉冲传函离散系统特征方程

离散系统稳定的充要条件:差分方程特征根的模都小于1。即全部特征根位于z平面以原点为圆心的单位圆内。离散系统的稳定性分析第60页，共94页。开环脉冲传递函数闭环特征方程

特征根：z1=-0.15,z2=-3.13。|z2|>1,

离散系统不稳定。而二阶连续系统总是稳定的。说明采样器的引入降低了系统的稳定性！改善措施：提高采样频率，降低开环增益。例8-35已知采样系统结构如图所示，T=0.07s,e-10T=0.5。试分析系统的稳定性。第61页，共94页。2.代数判据双线性变换法z和w均为复变量

离散系统稳定的充要条件是其差分方程特征根的模都小于1。对于直接求根的方法，总是不方便的。

但又因为离散系统稳定的边界是单位圆，而不是虚轴，所以不能直接引用劳斯判据。为此引入线性变换。

z平面w平面或或则有上式表明，z与w之间互为线性变换关系，故得名。第62页，共94页。讨论：（1）w平面的虚轴对应于z平面单位圆0w平面z平面第63页，共94页。（2）w平面的左半平面对应于z平面单位圆内0w平面z平面第64页，共94页。（3）w平面的右半平面对应于z平面单位圆外

利用上述变换，z平面离散系统特征方程1+GH(z)=0,可以变换为w平面特征方程1+GH(w)=0。稳定的充要条件由z平面全部特征根位于单位圆内，变换为w平面的左半平面，可直接使用（w域）劳斯判据。0w平面z平面第65页，共94页。

例8-36若采样系统的特征方程为3z3+3z2+2z+1=0，试用w平面的劳斯判据判别稳定性。

劳斯表中第一列元素均大于零,系统稳定。w3w2w1w017

7940/79解：利用w变换即代入上式得第66页，共94页。

例8-37设控制系统如图所示，分析放大倍数K和采样周期T对稳定性的影响。解：求开环脉冲传函第67页，共94页。系统闭环脉冲传函特征方程即利用w变换代入上式得即第68页，共94页。

列写劳斯表，可知二阶系统稳定的条件为上述方程的各系数大于0。即解得

可以画出采样周期T和临界放大系数关系曲线（稳定与不稳定区域）。当T=1时，系统稳定所允许的最大K值为4.32。随着采样周期T的增大，系统稳定的临界K值减小。1T4.32K不稳定区稳定区第69页，共94页。T、k对离散系统性能的影响TK结论：T不变时,K越大性能越差K不变时,T越大性能越差第70页，共94页。离散系统的稳态误差设系统开环脉冲传递函数G(z),则误差脉冲传函为1.用终值定理计算稳态误差稳态误差也是离散系统分析和设计的一个重要指标。用离散系统理论分析的稳态误差，仍然是指采样时刻的值。与连续系统相类似，离散系统的稳态误差可以由z域终值定理得到，也可以通过系统的类型划分和典型输入信号两个方面进行分析。第71页，共94页。

根据z变换的终值定理，在输入作用下采样系统的稳态误差终值为:例8-38，设离散系统如图所示，T=0.1(s),输入连续信号r(t)分别为1(t)和t，求离散系统的稳态误差。解:开环脉冲传函)()(11+=sssG第72页，共94页。误差脉冲传函

一对共轭极点位于z平面单位圆内，根据z变换的终值定理，稳态误差终值为:闭环极点第73页，共94页。（1）输入信号为单位阶跃函数时的稳态误差2.用静态误差系数求稳态误差－－位置误差系数第74页，共94页。（2）输入信号为单位斜坡函数时的稳态误差－－速度误差系数第75页，共94页。（3）输入信号为单位抛物线函数时的稳态误差－－加速度误差系数第76页，共94页。本章小结1基本知识点

A离散控制系统的定义、常用术语和特点；在系统中，只要有一个地方的信号是脉冲信号；开环、闭环、线性；采样器、周期采样、保持器等；特点：结构简单；灵敏度高；抗干扰能力强；编程灵活，控制能力强；设备利用率高，经济性好；对大延迟系统，可使之稳定。

B采样过程的数学描述，采样定理和信号恢复；

数学描述：信号的频谱：连续系统是单频谱，离散系统是周期频谱采样定理（香农定理）：信号恢复（零阶保持器）：第77页，共94页。CZ变换；

Z变换的定义：采样函数的拉氏变换

求Z变换的方法：

1）级数求和法（由定义式）

2）部分分式展开法（查表法），将E(s)部分分式展开，对应查表得出。

Z变换的性质：

1）线性性质，2）平移性质（延迟，超前），3）位移性质，4）初值定理，5）终值定理，6）卷积和定理第78页，共94页。

DZ反变；

1）长除法得到一个降幂排列的级数特点：简单，开式

2）部分分式法

3）留数法*

a)单根时

b)重根时第79页，共94页。E离散系统的数学模型；

1差分方程；前向差分，后向差分差分方程的解法：经典法，迭代法，z变换法

2差分方程的建立（了解）：由微分方程求，由传递函数求（卷积和公式）

3脉冲传递函数定义：在线性定常离散系统中,初始条件为零时，系统输出与输入信号的z变换之比。求法：1）由差分方程求；2）由传递函数求（部分分式法，然后查表）4结构图的等效变换串联，并联，闭环（规律）第80页，共94页。F离散系统的时域分析；

1稳定性充要条件代数判据(双线性变换)2动态性能性能指标的求法闭环极点与瞬态响应的关系

3稳态误差终值定理(条件是稳定)，静态误差系统（分型，典型输入信号）2有关例题

课本P358~365例题：8-45，8-46，8-47，8-51