隐马尔可夫模型有例子具体易懂

隐马尔可夫模型有例子具体易懂第1页，共76页。主要内容马尔可夫模型隐马尔可夫模型隐马尔可夫模型的三个基本问题三个基本问题的求解算法

1.前向算法

2.Viterbi算法 3.向前向后算法隐马尔可夫模型的应用隐马尔可夫模型的一些实际问题隐马尔可夫模型总结第2页，共76页。马尔可夫链一个系统有N个状态S1，S2，···，Sn，随着时间推移，系统从某一状态转移到另一状态，设qt为时间t的状态，系统在时间t处于状态Sj的概率取决于其在时间1，2，···，t-1的状态，该概率为：

如果系统在t时间的状态只与其在时间t-1的状态相关，则该系统构成一个离散的一阶马尔可夫链(马尔可夫过程)：第3页，共76页。马尔可夫模型如果只考虑独立于时间t的随机过程：其中状态转移概率aij必须满足aij>=0,且，则该随机过程称为马尔可夫模型。第4页，共76页。例假定一段时间的气象可由一个三状态的马尔可夫模型M描述，S1：雨，S2：多云，S3：晴，状态转移概率矩阵为：第5页，共76页。例（续）

如果第一天为晴天，根据这一模型，在今后七天中天气为O=“晴晴雨雨晴云晴”的概率为：第6页，共76页。在MM中，每一个状态代表一个可观察的事件在HMM中观察到的事件是状态的随机函数，因此该模型是一双重随机过程，其中状态转移过程是不可观察（隐蔽）的(马尔可夫链)，而可观察的事件的随机过程是隐蔽的状态转换过程的随机函数(一般随机过程)。第7页，共76页。HMM的三个假设对于一个随机事件，有一观察值序列：O=O1,O2,…OT该事件隐含着一个状态序列：Q=q1,q2,…qT。假设1：马尔可夫性假设（状态构成一阶马尔可夫链）

P(qi|qi-1…q1)=P(qi|qi-1)假设2：不动性假设（状态与具体时间无关）

P(qi+1|qi)=P(qj+1|qj)，对任意i，j成立假设3：输出独立性假设（输出仅与当前状态有关）

p(O1,...,OT|q1,...,qT)=Πp(Ot|qt)第8页，共76页。HMM定义一个隐马尔可夫模型(HMM)是由一个五元组描述的：

λ＝（N，M，A，B，π）其中：N={q1,...qN}：状态的有限集合M={v1,...,vM}：观察值的有限集合A={aij}，aij=P(qt=Sj|qt-1=Si)：状态转移概率矩阵B={bjk}，bjk

=P(Ot=vk|qt=Sj)：观察值概率分布矩阵π={πi}，πi=P(q1=Si)：初始状态概率分布第9页，共76页。观察序列产生步骤给定HMM模型λ=(A，B，π)，则观察序列O=O1,O2,…OT

可由以下步骤产生：1.根据初始状态概率分布π=πi,选择一初始状态q1=Si；2.设t=1；3.根据状态Si的输出概率分布bjk,输出Ot=vk；4.根据状态转移概率分布aij,转移到新状态qt+1=Sj；5.设t=t+1,如果t<T，重复步骤3、4，否则结束。第10页，共76页。HMM的三个基本问题令λ

={π，A，B}为给定HMM的参数，令O=O1,...,OT为观察值序列，则有关于隐马尔可夫模型（HMM）的三个基本问题：1.评估问题：对于给定模型，求某个观察值序列的概率P(O|λ)；2.解码问题：对于给定模型和观察值序列，求可能性最大的状态序列maxQ{P(Q|O,λ)}；3.学习问题：对于给定的一个观察值序列O，调整参数λ，使得观察值出现的概率P(O|λ)最大。第11页，共76页。例:赌场的欺诈某赌场在掷骰子根据点数决定胜负时,暗中采取了如下作弊手段:在连续多次掷骰子的过程中,通常使用公平骰子AB0.90.1A,偶而混入一个灌铅骰子B.

0.80.2公平骰子灌铅骰子第12页，共76页。骰子A骰子B1点1/602点1/61/83点1/61/84点1/63/165点1/63/166点1/63/8公平骰子A与灌铅骰子B的区别:第13页，共76页。时间1234567骰子AAABAAA掷出点数3345162一次连续掷骰子的过程模拟

隐序列 明序列查封赌场后,调查人员发现了一些连续掷骰子的记录,其中有一个骰子掷出的点数记录如下:

…第14页，共76页。问题1–评估问题给定一个骰子掷出的点数记录问题会出现这个点数记录的概率有多大?求P(O|λ)第15页，共76页。问题2–解码问题给定一个骰子掷出的点数记录问题点数序列中的哪些点数是用骰子B掷出的?求maxQ{P(Q|O,λ)}第16页，共76页。问题3–学习问题给定一个骰子掷出的点数记录问题作弊骰子掷出各点数的概率是怎样的?公平骰子掷出各点数的概率又是怎样的?赌场是何时换用骰子的?第17页，共76页。骰子B

本例中HMM的定义

赌场的例子中:隐状态集:S={骰子A,骰子B}明字符集:V={1,2,3,4,5,6}b21=0,b22=b23=1/8,b24=b25=3/16,b26=3/81/61/61/61/61/61/601/81/83/163/163/8初始状态概率:π1=1,π2=0隐状态转移概率:

a11=0.9,a12=0.1

a21=0.8,a22=0.2

初始状态明字符生成概率:

b11=b12=…=b16=1/61.00

1: 2: 3: 4: 5:骰子A6:

0.1 1: 2: 3: 4: 5: 6:0.80.90.2第18页，共76页。HMM将两个序列相联系起来：1.由离散隐状态组成的状态序列(路径)Q=(q1,…,qT),每个qt∈S均是一个状态由初始状态概率及状态转移概率(π,A)所决定2.由明字符组成的观察序列O=(o1,…,oT),每个ot∈V均为一个离散明字符由状态序列及各状态的明字符生成概率(Q,B)所决定第19页，共76页。赌场的例子中:隐状态明观察AAAABAAAAABAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABAABAAAAAAAAA…33454141553663441134625445334223332124225631341…q1q2q3q4qT...o1o2o3o4oT...观察序列O状态序列QHMMλ第20页，共76页。本例中三个基本问题1.评估问题•给定观察序列O和HMM

=(π,A,B),判断O是由

产生出来的可能性有多大•计算骰子点数序列的确由“作弊”模型生成的可能性2.解码问题•给定观察序列O和HMMλ=(π,A,B),计算与序列O相对应的状态序列是什么•在骰子点数序列中,判断哪些点数是用骰子B掷出的3.学习问题•给定一系列观察序列样本,确定能够产生出这些序列的模型λ=(π,A,B)•如何从大量的点数序列样本中学习得出“作弊模型”的参数第21页，共76页。三个基本问题的求解算法评估问题：前向算法定义前向变量采用动态规划算法，复杂度O(N2T)解码问题：韦特比（Viterbi）算法采用动态规划算法，复杂度O(N2T)学习问题：向前向后算法EM算法的一个特例，带隐变量的最大似然估计第22页，共76页。解决问题一—前向算法定义前向变量为：“在时间步t,得到t之前的所有明符号序列,且时间 步t的状态是Si”这一事件的概率， 记为

(t,i)=P(o1,…,ot,qt=Si|λ)则

第23页，共76页。算法过程

第24页，共76页。HMM的网格结构第25页，共76页。前向算法过程演示t=1t=2t=3t=4t=5t=Tt=6t=7t=T-1i=Ni=N-1i=5i=4i=3i=2i=1α(t,i)第26页，共76页。t=1t=2t=3t=4t=5t=Tt=6t=7t=T-1

前向算法过程演示i=Ni=N-1i=5i=4i=3i=2i=1初始化α(1,i)=π(i)b(i,o1)第27页，共76页。t=1t=2t=3t=4t=5t=Tt=6t=7t=T-1

前向算法过程演示i=Ni=N-1i=5i=4i=3i=2i=1第28页，共76页。t=1t=2t=3t=4t=5t=Tt=6t=7t=T-1

前向算法过程演示i=Ni=N-1i=5i=4i=3i=2i=1第29页，共76页。t=1t=2t=3t=4t=5t=Tt=6t=7t=T-1

前向算法过程演示i=Ni=N-1i=5i=4i=3i=2i=1第30页，共76页。t=1t=2t=3t=4t=5t=Tt=6t=7t=T-1

前向算法过程演示i=Ni=N-1i=5i=4i=3i=2i=1第31页，共76页。t=1t=2t=3t=4t=5t=Tt=6t=7t=T-1

前向算法过程演示i=Ni=N-1i=5i=4i=3i=2i=12.递归第32页，共76页。t=1t=2t=3t=4t=5t=Tt=6t=7t=T-1

前向算法过程演示i=Ni=N-1i=5i=4i=3i=2i=1

第33页，共76页。t=1t=2t=3t=4t=5t=Tt=6t=7t=T-1

前向算法过程演示i=Ni=N-1i=5i=4i=3i=2i=1

第34页，共76页。t=1t=2t=3t=4t=5t=Tt=6t=7t=T-1

前向算法过程演示i=Ni=N-1i=5i=4i=3i=2i=1

第35页，共76页。t=1t=2t=3t=4t=5t=Tt=6t=7t=T-1

前向算法过程演示i=Ni=N-1i=5i=4i=3i=2i=1

第36页，共76页。t=1t=2t=3t=4t=5t=Tt=6t=7t=T-1

前向算法过程演示i=Ni=N-1i=5i=4i=3i=2i=1

第37页，共76页。t=1t=2t=3t=4t=5t=Tt=6t=7t=T-1

前向算法过程演示i=Ni=N-1i=5i=4i=3i=2i=1

第38页，共76页。

前向算法过程演示i=Nt=1t=2t=3t=4t=5t=Tt=6t=7t=T-1i=N-1i=5i=4i=3i=2i=1

第39页，共76页。前向算法过程演示t=1t=2t=3t=4t=5t=Tt=6t=7t=T-1i=Ni=N-1i=5i=4i=3i=2i=1

第40页，共76页。t=1t=2t=3t=4t=5t=Tt=6t=7t=T-1

前向算法过程演示i=Ni=N-1i=5i=4i=3i=2i=1第41页，共76页。t=1t=2t=3t=4t=5t=Tt=6t=7t=T-1

前向算法过程演示i=Ni=N-1i=5i=4i=3i=2i=1第42页，共76页。t=1t=2t=3t=4t=5t=Tt=6t=7t=T-1

前向算法过程演示i=Ni=N-1i=5i=4i=3i=2i=1第43页，共76页。t=1t=2t=3t=4t=5t=Tt=6t=7t=T-1

前向算法过程演示i=Ni=N-1i=5i=4i=3i=2i=1第44页，共76页。t=1t=2t=3t=4t=5t=Tt=7t=6t=T-1

前向算法过程演示i=Ni=N-1i=5i=4i=3i=2i=1第45页，共76页。t=1t=2t=3t=4t=5t=Tt=T-1t=6t=7

前向算法过程演示i=Ni=N-1i=5i=4i=3i=2i=1第46页，共76页。t=1t=2t=3t=4t=5t=Tt=T-1t=6t=7

前向算法过程演示i=Ni=N-1i=5i=4i=3i=2i=1第47页，共76页。前向算法过程演示t=1t=2t=3t=4t=5t=Tt=T-1t=6t=7i=Ni=N-1i=5i=4i=3i=2i=13.计算P(O|λ)第48页，共76页。t=1t=2t=3t=4t=5t=Tt=T-1t=6t=7

前向算法过程演示i=Ni=N-1i=5i=4i=3i=2i=1

第49页，共76页。例子（前向算法应用）HMM模型如下，试根据前向算法计算产生观察符号序列O={ABAB}的概率。状态集Q={S1,S2,S3}观察序列集O={A,B}第50页，共76页。例（续）初始概率矩阵π=(1,0,0),即开始处于状态1。按照前向算法公式，我们依次递推解出

t(i)。解法如下：

1.当t=1时：

第51页，共76页。例（续）2.当t=2时：3.当t=3时：

第52页，共76页。例（续）4.当t=4时：所以最终有：

P(O|λ)=

4(1)+4(2)+4(3)=0.0717696即观察序列O由HMM模型

产生的概率第53页，共76页。例（续）最后将其计算过程示意图表示如下：第54页，共76页。问题2—解码问题

所求的Q应当在某个准则下是“最优”的,因此也称Q为最优路径,解码问题即是确定最优路径的问题。第55页，共76页。

qt=Si产生出o1,…ot的最大概率，即：

解决问题二—Viterbi算法Viterbi算法也是类似于前向算法的一种网格结构第56页，共76页。Viterbi算法（续）目标：给定一个观察序列和HMM模型，如何有效选择“最优”状态序列，以“最好地解释”观察序列“最优”→概率最大：Viterbi变量：递归关系：记忆变量：记录概率最大路径上当前状态的前一个状态第57页，共76页。Viterbi算法（续）初始化：递归：终结：路径回溯：第58页，共76页。例子（Viterbi算法应用）HMM模型如下，试根据Viterbi算法计算产生观察符号序列O={ABAB}的最优状态序列Q。

状态集Q｛S1,S2,S3｝观察序列集O={A,B}第59页，共76页。例（续）

初始概率矩阵π=(1,0,0),即开始时处于状态1。按照上面的公式，我们依次递推解出，以及。解法如下：

1.当t=1时：

第60页，共76页。例（续）2.当t=2时：3.当t=3时：第61页，共76页。例（续）4.当t=4时：

第62页，共76页。例（续）其递推结果为：可以看出，最有可能的状态序列是：

S1，S2，S2，S2.第63页，共76页。例（续）其计算结果示意图如下所示：绿色的箭头表示最有可能的状态序列

第64页，共76页。问题3—学习问题也称训练问题、参数估计问题

化准则，使得观察序列的概率P(O|λ)最大。第65页，共76页。状态序列已知情况可以由最大似然估计来估计HMM的参数：第66页，共76页。EM(Expectation-Maximization)算法由于HMM中的状态序列是观察不到的（隐变量），以上的最大似然估计不可行。EM算法可用于含有隐变量的统计模型的最大似然估计。EM算法是一个由交替进行的“期望(E过程)”和“极大似然估计(M过程)”两部分组成的迭代过程：

·对于给定的不完全数据和当前的参数值，“E过程”从条件期望中相应地构造完全数据的似然函数值，“M过程”则利用参数的充分统计量，重新估计概率模型的参数，使得训练数据的对数似然最大。EM算法的每一次迭代过程必定单调地增