人教版新课标九年级上册二次函数讲义

引言：从一次函数到二次函数在初中阶段，我们已经学习了一次函数，它描述了两个变量之间的线性关系，其图像是一条直线。然而，现实世界中的许多变化规律并非线性。例如，物体自由下落时，下落距离与时间的关系；正方形边长变化时，面积的变化规律；抛物线形桥梁的设计等等，这些都需要一种新的函数模型来描述。今天，我们就来学习这种更为复杂也更为重要的函数——二次函数。一、二次函数的定义与表达式1.1二次函数的定义形如y=ax²+bx+c（其中a、b、c是常数，且a≠0）的函数，叫做二次函数。*理解要点：*等号右边必须是整式。*自变量x的最高次数是2。*二次项系数a不能为0，这是判断一个函数是否为二次函数的关键。如果a=0，那么函数就退化为一次函数（当b≠0时）或常数函数（当b=0时）。*x的取值范围通常是全体实数，但在具体实际问题中，自变量的取值范围会受到实际意义的限制。1.2二次函数的常见表达式形式1.一般式：y=ax²+bx+c(a≠0)这是二次函数最基本的表达形式，其中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数和常数项。2.顶点式（或配方式）：y=a(x-h)²+k(a≠0)其中(h,k)是二次函数图像的顶点坐标。这种形式在研究函数的最值和图像的平移时非常方便。我们将在后续内容中学习如何将一般式转化为顶点式。3.交点式（或两根式）：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)其中x₁和x₂是二次函数图像与x轴交点的横坐标（即方程ax²+bx+c=0的两个根）。这种形式在已知函数与x轴交点时，求解析式非常便捷。（注：并非所有二次函数都有交点式，当图像与x轴没有交点时，此形式不适用。）二、二次函数的图像与性质（以最基本形式y=ax²为例）2.1二次函数y=ax²(a≠0)的图像二次函数的图像是一条抛物线。我们可以通过“描点法”来画出它的图像。*步骤：1.列表：选取一些自变量x的值，并计算出对应的y值。为了图像的对称性，x的值通常选取0、±1、±2等。2.描点：在平面直角坐标系中，根据列表中的对应值描出各点。3.连线：用平滑的曲线将所描的点连接起来。*示例：画出y=x²和y=-x²的图像。（此处建议学生自行动手列表、描点、连线，教师可在黑板上示范或展示图像。）2.2二次函数y=ax²(a≠0)的性质通过观察图像，我们可以总结出y=ax²(a≠0)的主要性质：1.开口方向：*当a>0时，抛物线开口向上。*当a<0时，抛物线开口向下。2.对称轴：抛物线是轴对称图形，其对称轴是y轴（即直线x=0）。3.顶点坐标：抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。对于y=ax²，其顶点坐标是(0,0)。*当a>0时，顶点是抛物线的最低点。*当a<0时，顶点是抛物线的最高点。4.最值：*当a>0时，函数有最小值，当x=0时，y最小值=0。*当a<0时，函数有最大值，当x=0时，y最大值=0。5.增减性（单调性）：*当a>0时：在对称轴左侧（即x<0时），y随x的增大而减小。在对称轴右侧（即x>0时），y随x的增大而增大。*当a<0时：在对称轴左侧（即x<0时），y随x的增大而增大。在对称轴右侧（即x>0时），y随x的增大而减小。6.a的绝对值对图像的影响：a的大小决定了抛物线开口的宽窄。a越大，抛物线开口越**窄**；a三、二次函数y=ax²+k与y=a(x-h)²的图像与性质二次函数的图像可以由最基本的y=ax²的图像通过平移得到。掌握平移规律，能帮助我们快速画出和理解更复杂形式的二次函数图像。3.1y=ax²+k(a≠0)的图像与性质*图像：y=ax²+k的图像可以由y=ax²的图像上下平移得到。*当k>0时，向上平移k个单位长度。*当k<0时，向下平移|k|个单位长度。*性质（与y=ax²比较）：*开口方向、开口宽窄不变。*对称轴仍为y轴（x=0）。*顶点坐标变为(0,k)。*最值：当a>0时，y最小值=k；当a<0时，y最大值=k。*增减性不变（因为对称轴未变）。3.2y=a(x-h)²(a≠0)的图像与性质*图像：y=a(x-h)²的图像可以由y=ax²的图像左右平移得到。*当h>0时，向右平移h个单位长度。*当h<0时，向左平移|h|个单位长度。（注意：表达式是(x-h)，所以括号内是“减h”，理解“左加右减”时要注意符号。例如y=a(x+2)²=a(x-(-2))²，是向左平移2个单位。）*性质（与y=ax²比较）：*开口方向、开口宽窄不变。*对称轴变为直线x=h。*顶点坐标变为(h,0)。*最值：当a>0时，y最小值=0；当a<0时，y最大值=0。*增减性：以对称轴x=h为界，左右两侧的增减趋势与y=ax²在x=0两侧的增减趋势相同。四、二次函数的一般式y=ax²+bx+c(a≠0)的图像与性质4.1利用配方法将一般式化为顶点式一般式y=ax²+bx+c(a≠0)可以通过“配方法”转化为顶点式y=a(x-h)²+k，从而方便我们确定其图像的顶点、对称轴和最值。配方法步骤：1.提取二次项系数：y=a(x²+(b/a)x)+c2.配方：在括号内加上并减去一次项系数一半的平方，即[(b/(2a))]²。y=a[x²+(b/a)x+(b/(2a))²-(b/(2a))²]+c3.整理成完全平方形式：y=a[(x+b/(2a))²-(b²)/(4a²)]+cy=a(x+b/(2a))²-a*(b²)/(4a²)+cy=a(x+b/(2a))²-b²/(4a)+c4.化简常数项：y=a(x+b/(2a))²+(4ac-b²)/(4a)顶点式：y=a(x-h)²+k，其中*h=-b/(2a)*k=(4ac-b²)/(4a)4.2一般式y=ax²+bx+c(a≠0)的性质总结*开口方向：由a决定。a>0时开口向上；a<0时开口向下。*开口宽窄：由|a|决定。|a|越大，开口越窄；|a|越小，开口越宽。*对称轴：直线x=-b/(2a)。*顶点坐标：(-b/(2a),(4ac-b²)/(4a))。*最值：*当a>0时，函数有最小值，y最小值=(4ac-b²)/(4a)，此时x=-b/(2a)。*当a<0时，函数有最大值，y最大值=(4ac-b²)/(4a)，此时x=-b/(2a)。*增减性：*当a>0时：在对称轴左侧（x<-b/(2a)），y随x的增大而减小。在对称轴右侧（x>-b/(2a)），y随x的增大而增大。*当a<0时：在对称轴左侧（x<-b/(2a)），y随x的增大而增大。在对称轴右侧（x>-b/(2a)），y随x的增大而减小。4.3求二次函数解析式的方法根据已知条件的不同，我们可以选择不同的方法来确定二次函数的解析式：1.已知三点坐标：通常选用一般式y=ax²+bx+c，将三点坐标代入，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组即可。2.已知顶点坐标(h,k)和另一点坐标：通常选用顶点式y=a(x-h)²+k，将顶点坐标代入，再将另一点坐标代入求出a的值。3.已知函数图像与x轴的两个交点坐标(x₁,0)、(x₂,0)和另一点坐标：通常选用交点式y=a(x-x₁)(x-x₂)，将交点坐标代入，再将另一点坐标代入求出a的值。五、二次函数与一元二次方程的关系二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像与x轴的交点情况，与一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的情况密切相关。*当二次函数图像与x轴有两个不同交点时，对应的一元二次方程有两个不相等的实数根。此时，判别式Δ=b²-4ac>0。*当二次函数图像与x轴有一个交点（相切）时，对应的一元二次方程有两个相等的实数根（或说有一个二重根）。此时，判别式Δ=b²-4ac=0。这个交点就是抛物线的顶点。*当二次函数图像与x轴没有交点时，对应的一元二次方程没有实数根。此时，判别式Δ=b²-4ac<0。交点坐标的求法：令y=0，解一元二次方程ax²+bx+c=0，所得的根x₁、x₂就是交点的横坐标，交点坐标为(x₁,0)、(x₂,0)。六、二次函数的应用二次函数在实际生活中有着广泛的应用，特别是在解决最值问题方面。6.1利用二次函数解决最值问题步骤：1.分析问题：找出题目中的变量，确定哪个是自变量x，哪个是因变量y（通常是要求最值的量）。2.建立模型：根据题目中的等量关系，列出二次函数的解析式y=ax²+bx+c(a≠0)。注意自变量x的取值范围要符合实际意义。3.求解最值：*若a>0，抛物线开口向上，函数在顶点处取得最小值。*若a<0，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。*顶点的横坐标x=-b/(2a)，需检查此x值是否在自变量的取值范围内。若在，则代入解析式求出最值；若不在，则根据函数在自变量取值范围内的增减性确定最值。4.检验作答：将结果带回实际问题中检验是否合理，并写出答案。示例：（此处可插入一个具体的几何图形面积最值问题或利润最值问题作为例题，引导学生分析和求解）6.2其他应用如解决抛物线形的实际问题（如拱桥、投篮等），需要建立适当的平面直角坐标系，将已知点的坐标代入，求出函数解析式，再利用解析式解决问题。七、学习建议与注意事项1.数形结合：学习二次函数，一定要注重图像的作用。通过图像理解性质，通过性质分析图像，做到“脑中有图，心中有数”。2.理解本质：掌握二次函数的定义、各种表达式的特点及其相互转化（特别是配方法），理解a、b、c对函数图像和性质的影响。3.勤于练习：通过适量的练习来巩固概念、掌握方法、提高解题能力。注意解题后的反思与总结。4.联系实际：体会二次函数在解决实际问题中的作用，培养应用数学的意识。5.易错点提醒：