等比数列基础及应用专项训练题

等比数列基础及应用专项训练题同学们，在我们的数学学习旅程中，等比数列是一个非常重要的概念，它不仅在理论知识体系中占据一席之地，在解决实际问题时也有着广泛的应用。掌握等比数列的基础，能够帮助我们更深入地理解数列的本质，并灵活运用其规律解决各类问题。本次专项训练，我们将从基础概念入手，逐步深入到性质应用和综合题型，希望能通过系统的练习，帮助大家巩固知识，提升解题能力。一、等比数列的基础知识回顾在开始训练之前，让我们先简要回顾一下等比数列的核心知识点，这是我们解决所有问题的基石。1.等比数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母`q`表示（`q≠0`）。数学表达式：对于数列`{aₙ}`，若`aₙ₊₁/aₙ=q`（`q`为常数，`n∈N*`），则`{aₙ}`是等比数列。特别提醒：由于分母不能为零，且公比`q`不能为零，所以等比数列中的每一项都不能为零。2.等比数列的通项公式等比数列`{aₙ}`的首项为`a₁`，公比为`q`，则其第`n`项`aₙ`可表示为：`aₙ=a₁*qⁿ⁻¹`（`n∈N*`）这个公式揭示了等比数列中任意一项与首项、公比以及项数之间的关系。已知其中任意三个量，我们可以求出第四个量。3.等比中项如果在`a`与`b`中间插入一个数`G`，使`a`，`G`，`b`成等比数列，那么`G`叫做`a`与`b`的等比中项。此时，`G²=a*b`，即`G=±√(a*b)`。显然，只有当`a`和`b`同号时，它们才有等比中项，且等比中项有两个，互为相反数。4.等比数列的前`n`项和公式设等比数列`{aₙ}`的首项为`a₁`，公比为`q`，其前`n`项和为`Sₙ`。当`q≠1`时，`Sₙ=a₁*(1-qⁿ)/(1-q)`或`Sₙ=(a₁-aₙq)/(1-q)`。当`q=1`时，数列各项均相等，`Sₙ=n*a₁`。在使用前`n`项和公式时，一定要先判断公比`q`是否为1，这是一个非常容易出错的地方，大家务必留意。5.等比数列的常用性质*若`m+n=p+q`（`m,n,p,q∈N*`），则`aₘ*aₙ=aₚ*a_q`。特别地，若`m+n=2k`，则`aₘ*aₙ=a_k²`。*等比数列中，每隔`k`项取出一项（例如`a₁,a₁₊ₖ,a₁₊₂ₖ,...`），仍构成等比数列，其公比为`qᵏ`。*若`{aₙ}`是正项等比数列，则`{logₐaₙ}`（`a>0`且`a≠1`）是等差数列；反之，若`{bₙ}`是等差数列，则`{a^bₙ}`（`a>0`且`a≠1`）是等比数列。*等比数列的前`n`项和`Sₙ`，若`q≠-1`，则`Sₙ`，`S₂ₙ-Sₙ`，`S₃ₙ-S₂ₙ`，...也构成等比数列，其公比为`qⁿ`。这些性质是从定义和公式中推导出来的，熟练掌握它们，能在解题时起到事半功倍的效果，简化运算过程。二、等比数列基础巩固训练（一）选择题1.下列数列中，是等比数列的为（）A.1，2，4，8，16，...B.0，0，0，0，...C.1，-1，1，-1，1，...D.1，2，3，4，5，...解答与点拨：选项A，从第二项起，每一项与前一项的比为2，是常数，所以是等比数列，公比为2。选项B，各项均为0，由于等比数列的每一项及公比均不能为0，所以不是等比数列。选项C，从第二项起，每一项与前一项的比为-1，是常数，所以是等比数列，公比为-1。选项D，相邻两项的差为1，是等差数列，不是等比数列。故正确答案为AC。点拨：紧扣等比数列定义，注意“每一项”、“同一个常数”、“不为零”这几个关键词。2.在等比数列`{aₙ}`中，已知`a₁=2`，`q=3`，则`a₄`的值为（）A.6B.18C.54D.162解答与点拨：根据等比数列通项公式`aₙ=a₁*qⁿ⁻¹`，可得`a₄=a₁*q³=2*3³=2*27=54`。故正确答案为C。点拨：直接应用通项公式，注意指数运算的准确性，这里是`q`的`(4-1)`次方。3.等比数列`{aₙ}`中，`a₂=4`，`a₅=32`，则公比`q`等于（）A.2B.-2C.3D.-3解答与点拨：方法一：由通项公式，`a₂=a₁q=4`，`a₅=a₁q⁴=32`。两式相除，得`(a₁q⁴)/(a₁q)=q³=32/4=8`，所以`q=2`。方法二：`a₅=a₂*q^(5-2)=a₂q³`，即`32=4q³`，解得`q³=8`，`q=2`。故正确答案为A。点拨：方法二直接利用了`aₙ=aₘ*q^(n-m)`这个由通项公式推导出来的常用关系，更为简便。（二）填空题1.等比数列`{aₙ}`中，`a₁=1`，`aₙ=16`，`q=2`，则项数`n=`______。解答与点拨：由通项公式`aₙ=a₁qⁿ⁻¹`，得`16=1*2ⁿ⁻¹`，即`2ⁿ⁻¹=16=2⁴`，所以`n-1=4`，`n=5`。答案：5点拨：将等式两边化为同底数幂的形式，利用指数相等求解。2.已知`2`和`x`的等比中项是`±6`，则`x=`______。解答与点拨：根据等比中项的定义，若`G`是`a`与`b`的等比中项，则`G²=ab`。所以`(±6)²=2*x`，即`36=2x`，解得`x=18`。答案：18点拨：等比中项的平方等于前后两项的乘积，注意等比中项有两个，但平方后结果相同。3.等比数列`{aₙ}`的前`n`项和为`Sₙ`，若`a₁=1`，`q=2`，则`S₅=`______。解答与点拨：因为`q≠1`，所以使用公式`Sₙ=a₁(1-qⁿ)/(1-q)`。`S₅=1*(1-2⁵)/(1-2)=(1-32)/(-1)=(-31)/(-1)=31`。答案：31点拨：直接代入求和公式，注意运算符号。也可逐项相加验证：1+2+4+8+16=31。（三）解答题1.已知等比数列`{aₙ}`中，`a₃=3`，`a₆=81`，求数列的通项公式`aₙ`及前`n`项和`Sₙ`。解答与点拨：设等比数列`{aₙ}`的首项为`a₁`，公比为`q`。根据题意，有：`a₃=a₁q²=3`...(1)`a₆=a₁q⁵=81`...(2)(2)式除以(1)式，得：`q³=81/3=27`，解得`q=3`。将`q=3`代入(1)式，得`a₁*(3)²=3`，即`9a₁=3`，解得`a₁=3/9=1/3`。所以，通项公式`aₙ=a₁qⁿ⁻¹=(1/3)*3ⁿ⁻¹=3ⁿ⁻²`。前`n`项和`Sₙ=a₁(1-qⁿ)/(1-q)=(1/3)(1-3ⁿ)/(1-3)=(1/3)(1-3ⁿ)/(-2)=(3ⁿ-1)/6`。答：数列的通项公式为`aₙ=3ⁿ⁻²`，前`n`项和为`Sₙ=(3ⁿ-1)/6`。点拨：已知等比数列中的两项，通常可以通过联立方程求出首项`a₁`和公比`q`，进而得到通项公式和求和公式。这里求解`a₁`和`q`时，采用了“两式相除”消去`a₁`的方法，是常用技巧。2.已知等比数列`{aₙ}`的前`n`项和为`Sₙ`，若`S₃=7`，`S₆=63`，求公比`q`和`a₁`。解答与点拨：若`q=1`，则`S₃=3a₁=7`，`S₆=6a₁=14`，但题目中`S₆=63≠14`，故`q≠1`。由等比数列前`n`项和公式，有：`S₃=a₁(1-q³)/(1-q)=7`...(1)`S₆=a₁(1-q⁶)/(1-q)=63`...(2)(2)式除以(1)式，得：`[a₁(1-q⁶)/(1-q)]/[a₁(1-q³)/(1-q)]=(1-q⁶)/(1-q³)=63/7=9`。注意到`1-q⁶=(1-q³)(1+q³)`，所以`(1-q³)(1+q³)/(1-q³)=1+q³=9`（因为`q≠1`，所以`1-q³≠0`，可以约去）。从而`q³=8`，解得`q=2`。将`q=2`代入(1)式：`a₁(1-2³)/(1-2)=a₁(1-8)/(-1)=a₁(-7)/(-1)=7a₁=7`，解得`a₁=1`。答：公比`q=2`，首项`a₁=1`。点拨：当已知`Sₙ`和`Sₘ`（`m>n`）时，若`q≠1`，利用`Sₘ/Sₙ`并结合平方差或立方差公式进行因式分解，往往能简化计算，快速求出`qⁿ`。三、等比数列的性质与应用提升训练（一）选择题1.在等比数列`{aₙ}`中，若`a₁a₂a₃a₄=1`，`a₁₃a₁₄a₁₅a₁₆=8`，则`a₄₁a₄₂a₄₃a₄₄`的值为（）A.64B.128C.256D.512解答与点拨：方法一：设公比为`q`。`a₁a₂a₃a₄=a₁*a₁q*a₁q²*a₁q³=a₁⁴q⁶=1`...(1)`a₁₃a₁₄a₁₅a₁₆=a₁q¹²*a₁q¹³*a₁q¹⁴*a₁q¹⁵=a₁⁴q⁵⁴=8`...(2)(2)式除以(1)式得：`q⁴⁸=8`。`a₄₁a₄₂a₄₃a₄₄=a₁q⁴⁰*a₁q⁴¹*a₁q⁴²*a₁q⁴³=a₁⁴q¹⁶⁶=a₁⁴q⁶*q¹⁶⁰=(a₁⁴q⁶)*(q⁴⁸)^(160/48)=1*(8)^(10/3)=(2³)^(10/3)=2¹⁰=1024`。咦，这个结果不在选项里，说明方法可能绕远了或者计算有误。方法二：利用等比数列的性质，相隔相同项数的积也构成等比数列。