2025~2026学年重点4平面向量的实际应用讲(期末重难点攻略)

2025~2026学年重点4平面向量的实际应用讲(期末重难点攻略)一、解答题1.已知在中，为中点，，，．(1)用和表示；(2)若，求；(3)设和的夹角为，若，求证：．2.如图，四边形是边长为1个单位长度的正方形，是对角线上的一点，四边形是矩形．(1)若，求点的坐标；(2)用向量法证明且．3.在中，角、、所对的边分别为、、，且满足：(1)求角的A大小；(2)若，，，分别为，上的两点，，，相交于点（i）求的值；（ii）求证：．二、单选题4.如图，在△ABC中，已知，，，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为（）

A．B．C．D．5.如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（）

A．B．C．D．6.如图：已知树顶A离地面米，树上另一点离地面米，某人在离地面米的处看此树，则该人离此树（）米时，看A、的视角最大.

A．4B．5C．6D．77.如图，在中，，，.取边中点D，连接AD，设E为中点，连接并延长与交于点F，则的长为（）

A．B．C．D．8.如图，以矩形的顶点为圆心，以长为半径作弧，交于点，交于点，且，若，则的长为（）

A．B．2C．D．9.在中，，，点D为BC的中点，，则（）

A．2B．3C．D．10.如图，在中，，为中点，，若，则的最小值是（）

A．4B．2C．D．11.在平面直角坐标系中，已知点、点，动点B满足，点C满足，记的面积为S，则S的最大值为（）

A．B．C．D．12.已知在梯形中，，，，，点E在边上运动（包含端点），则的取值范围为（）

A．B．C．D．13.在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况（如图所示）．假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为，，且，与的夹角为θ，则以下结论不正确的是（）

A．的最小值为B．θ的范围为C．当时，D．当时，三、填空题14.若同一平面内的三个力作用于同一个物体，且该物体处于平衡状态.已知，且与的夹角为，则力的大小为____________.15.如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为60°．已知礼物重量为2kg，每根绳子的拉力大小相同.则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为______N．（重力加速度g取）四、解答题16.长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度.一艘游船从南岸头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为（），北岸的点在A的正北方向.(1)当时，试判断游船航行到达北岸的位置是在的左侧还是右侧，并说明理由.(2)当多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？（不必近似计算）(3)当时，游船航行到达北岸的实际航程是多少？五、多选题17.一条东西方向的小河，河两岸平行，河宽，一艘小船在河南岸向河北岸航行．已知小船在静水中的速度大小为，河水的流速大小为，关于这艘船的渡河情况，下列说法正确的是（）

A．当小船以北偏西方向航行时，小船实际航向垂直河岸B．当小船垂直河岸航行时，小船实际速度的大小为C．当小船航程最短时，小船到达河北岸的时间为D．当小船渡河时间最短时，小船垂直河岸方向航行六、单选题18.如图所示，小明从家出发到学校，途经超市和银行，已知，，，，，求小明家到学校的位移大小是（）

A．15B．C．D．19.在平面内，质点在三个力，，的作用下恰好处于平衡状态，其中，，现用作用在上产生位移，则力对做功为（）

A．2B．-2C．4D．-420.冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．在冰球运动中冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小华同学在练习冰球的过程中，以力，作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功的最大值为（）（动力做的功）

A．B．3C．4D．5七、填空题21.冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功为______八、解答题22.盘山是中国著名的5A级景区，它有五大主峰.以主峰挂月峰为中心，其余四峰（紫盖峰、自来峰、九华峰、舞剑峰）环绕，合称“五峰攒簇”.如图，工作人员要测量舞剑峰M，九华峰N之间的距离，P，G，M，N四点在同一铅垂平面内，飞机沿水平方向在P，G两点进行测量，途中在点P测得，，在点G测得，，测得．(1)求点P和点M之间的距离；(2)求两主峰M，N间的距离．九、单选题23.为了测量垂直于地面的两座塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型．若米，米，，，，则塔尖之间的距离为（）米．

A．80B．120C．D．十、解答题24.如图，一架飞机以的速度，沿北偏东的航向从A地出发飞往B地，飞行了后到达E地，由于天气原因该飞机按命令改飞C地，已知，，，且，．（参考数据：）(1)求；(2)收到命令时飞机应该沿什么航向飞行？E地离C地的距离是多少？十一、单选题25.重庆某校内“木铎金声钟”雕塑，该雕塑钟原型为北京师范大学本部“木铎金声一百年”的纪念雕塑，木铎金声，寓意传播知识、启迪心智、匡正风气，承载着“为民族复兴办教育”的担当，更与学校“本德宗道、兼济天下”的校训一脉相承，也寄寓着对京师学子治学修身、以德立身、心怀家国的殷切期许、某同学为了测量木铎钟高度，设木铎钟加底座高为，在与点同一水平面旁边小路上且共线的三点，，处分别测得顶点的仰角为30°，45°，60°，且，则木铎金声钟的高约为（）（参考数据：，，）

A．B．C．D．26.中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（）

A．B．C．D．十二、填空题27.如图，，，三点位于同一水平面，位于的北偏西方向，位于的北偏东方向，在的正西方向，且，之间的距离为50米，处正上方建有一栋楼房，处正上方建有一座塔，从处观察塔尖，测得仰角为，从楼房顶处观察塔尖，测得仰角为，则楼房的高度为__________米．十三、解答题28.如图所示，某巡逻艇在处发现北偏东相距3海里的处有一艘走私船，正沿东南方向以2海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以3海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船才发现了巡逻艇，立即改变航向，以3海里/小时的速度向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以4海里/小时的速度沿着直线追击．(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里？(结果精确到0.1海里）(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船？(结果精确到)十四、填空题29.十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置．如图1所示，十字测天仪由杆和横档构成，并且E是的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动．十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A点观察．滑动横档使得A、C在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D，的影子恰好是．然后，通过测量的长度，可计算出视线和水平面的夹角（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置．在某次测量中，，横档的长度为20，则此时的太阳高度角为______°．（精确到1°）十五、解答题30.如图，游客从某旅游景区的景点A处下至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC