2025~2026学年难点9新定义问题讲(期末重难点攻略)

2025~2026学年难点9新定义问题讲(期末重难点攻略)一、解答题1.平面向量与轴非负半轴所成角为，，定义“变换”：将绕起点逆时针旋转角，得到新向量.(1)求证：，并已知，将经过变换得到，求点的坐标.(2)设非零向量，对连续作次变换依次得到.若，求与的关系，并求时的值.(3)已知，，，取（2）中时求得的，将经过变换得，经过变换得，若，在上有且仅有两个不同的根，求的取值范围.2.在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，，作，．当，不共线时，记以，为邻边的平行四边形的面积为；当，共线时，规定．(1)分别根据下列已知条件求：①，；②，；(2)若向量（，，），证明：(3)若，，是以为圆心的单位圆上不同的点，记，，．当时，求的最大值．3.定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为.(1)设向量的“积函数”为，若且，求的值；(2)若向量的“积函数”满足，求的值；(3)已知，且，设（，），且的“积函数”为，其最大值为，证明：.4.在平面几何中，三角形的“莱莫恩点”是一个具有优美性质的特殊点，其定义如下：记的内角，，所对的边分别为，，，内一点到三边，，的距离，，满足，称点为的“莱莫恩点”．(1)若在中，，，，求常数的值；(2)在（1）的条件下，若，求，的值；(3)若，且满足，试判断的形状，并说明理由．5.在中，若点P满足，则点P称为的布洛卡点，角为的布洛卡角．已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点P是的布洛卡点．(1)若△ABC为正三角形，求；(2)已知①求证：；②若，，求面积的最大值．6.如图，延长的边至点，边至点，边至点，使得线段的长分别为的倍，我们将称为的“变换三角形”．(1)当时，若，求的长；(2)若是边长为2的等边三角形，点为其“2变换三角形”中线段上的动点，求的最大值；(3)设点为的重心（三角形的三条中线的交点），证明：．7.公元1799年，哥廷根大学的高斯在其博士论文中证明了如下定理：任何复系数一元次多项式方程在复数域上至少有一根．此定理被称为代数基本定理，在代数乃至整个数学中起着基础作用．由此定理还可以推出如下结论：①设实系数一元二次方程在复数集内的两根为满足如下关系；②设实系数一元三次方程在复数集内的三根为满足如下关系(1)在复数域内解方程；(2)若三次方程的三个根分别是（为虚数单位），求的值；(3)按照代数基本定理，设实系数一元四次方程在复数集内的四根为满足关系是（填写在答题卡上），并加以证明．8.由复数的三角形式，若复数，在复平面内对应的向量分别为、，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角，再把它的模变为原来的倍．请根据所学知识，回答下列问题．(1)在平面直角坐标系中，点绕坐标原点逆时针旋转角至点，证明：点的旋转坐标公式(2)已知单位圆以坐标原点为圆心，点为该圆上一动点，点，以为边作等边，且在边的上方．求线段长度的最大值．9.我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作，关于复向量的有关运算，现定义如下：两个复向量，的积记作，定义为，其中，分别为，的共轭复数，显然两个复向量的积也为复数．复向量的模定义为，与的夹角记作，则，若复向量与满足，则称复向量与平行．定义以复向量，为“邻边”的“平行四边形”的面积为．记i为虚数单位．设复向量．(1)若复向量，求；(2)若复向量，且与平行，求z；(3)若复向量，其中m，，且．试问对于满足条件的任意实数m，n，是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由．10.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与相邻的顶点，且平面，，…平面和平面为多面体的所有以为顶点的面．现给出如图所示的三棱锥．(1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；(2)若平面，，三棱锥在顶点处的离散曲率为．①求直线与直线所成角的余弦值；②点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度．二、多选题11.数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论正确的是（）

A．长方体中含有两个相同的等腰四面体B．“等腰四面体”各面的面积相等，且为全等的锐角三角形C．“等腰四面体”可由锐角三角形沿着它的三条中位线折叠得到D．三组对棱长度分别为，，的“等腰四面体”的外接球直径为三、填空题12.类