泰州二模试题数学及答案

泰州二模试题数学及答案一、单选题（每题2分，共20分）1.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-ax+1=0}，且A∪B=A，则实数a的取值范围是（）（2分）A.{1,2}B.{1,3}C.{2,3}D.{1,2,3}【答案】D【解析】A={1,2}，A∪B=A⇒B⊆A⇒a=1或a=32.函数f(x)=2^x-1在区间[1,2]上的最大值是（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】f(x)在[1,2]上单调递增，最大值为f(2)=33."x>1"是"x^2>1"的（）条件（2分）A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】A【解析】x>1⇒x^2>1，但x^2>1⇒x>1或x<-14.已知向量a=(1,2)，b=(2,-1)，则向量2a+b的坐标是（）（2分）A.(4,1)B.(3,3)C.(5,1)D.(3,-1)【答案】C【解析】2a+b=(2,4)+(2,-1)=(4,3)5.在△ABC中，若cosA=1/2，则sin(A/2)的值是（）（2分）A.1/2B.1/√2C.1/4D.√3/2【答案】A【解析】A=60°⇒A/2=30°⇒sin(A/2)=1/26.不等式|3x-2|<5的解集是（）（2分）A.(-1,3)B.(-1,7/3)C.(-3,1)D.(-3,7/3)【答案】B【解析】-5<3x-2<5⇒-3<x<7/37.已知直线l1:ax+y-1=0与l2:x+by=2互相平行，则ab的值是（）（2分）A.-1B.1C.-2D.2【答案】A【解析】a/b=-1且-1≠2/1⇒ab=-18.抛掷两枚均匀的骰子，点数之和为5的概率是（）（2分）A.1/6B.1/12C.5/36D.1/18【答案】A【解析】基本事件共36个，点数和为5的基本事件有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)共4个9.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)=2，则f(-1)的值是（）（2分）A.-2B.1C.0D.2【答案】A【解析】奇函数f(x)满足f(-x)=-f(x)⇒f(-1)=-f(1)=-210.已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，公比为q(q≠1)，则S_n-1/a_n的值是（）（2分）A.1B.qC.q^2D.0【答案】A【解析】S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)=-q^n/(1-q)⇒S_n-1/a_n=1二、多选题（每题4分，共20分）1.以下命题中，正确的是（）（4分）A.若a>b，则a^2>b^2B.若a>b，则√a>√bC.若a>b，则1/a<1/bD.若a>b>0，则1/a<1/b【答案】C、D【解析】A反例：a=2>b=-3，但a^2=4<b^2=9；B反例：a=-1>b=-2，但√a无意义；C对任意a>b>0，1/a<1/b成立2.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，则下列说法正确的是（）（4分）A.f(x)在x=1处取得极大值B.f(x)在x=-1处取得极小值C.f(x)的图像关于原点对称D.f(x)在区间(-∞,0)上单调递减【答案】A、D【解析】f'(x)=3x^2-6x+2，f'(-1)=1>0，f'(1)=-1<0⇒x=1处有极大值；f(-x)=-x^3+3x^2-2x≠f(x)⇒非奇非偶函数；f'(x)在(-∞,0)上为正，单调递增3.以下不等式成立的是（）（4分）A.log_2(3)>log_3(2)B.(1/2)^(-1.5)>(1/3)^(-1.5)C.sin(π/3)>cos(π/4)D.arcsin(1/2)>arccos(1/2)【答案】A、B【解析】log_2(3)=1+log_2(3/2)>1+log_3(3/2)=log_3(2)；(1/2)^(-1.5)=2^1.5=2√2>(1/3)^(-1.5)=3√3；sin(π/3)=√3/2>√2/2=cos(π/4)；arcsin(1/2)=π/6，arccos(1/2)=π/34.已知圆C:x^2+y^2-4x+6y-3=0，则下列说法正确的是（）（4分）A.圆心在直线y=x上B.圆与x轴相切C.圆与y轴相切D.圆被直线y=x平分【答案】A、C【解析】圆心(2,-3)不在y=x上；圆与x轴相切于(1,0)；圆与y轴相切于(0,3)；圆被y=x平分需圆心在y=x上5.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递减，则下列说法正确的是（）（4分）A.f(-2)>f(1)B.f(0)≥f(1)C.f(-3)=f(3)D.f(1)>f(2)【答案】B、C【解析】由偶函数性质f(-x)=f(x)⇒f(-2)=f(2)，f(-3)=f(3)；由单调性f(0)≥f(1)，f(1)>f(2)⇒f(-2)=f(2)<f(1)<f(0)三、填空题（每题4分，共32分）1.若f(x)=|x-a|+|x-1|的最小值为2，则实数a的值是______（4分）【答案】-1或3【解析】f(x)在x=a或x=1处取最小值⇒|a-1|=2⇒a=-1或32.不等式组{x|x^2-4x+3>0}∩{x|x-1≤0}的解集是______（4分）【答案】(-∞,1]【解析】x^2-4x+3>0⇒x<1或x>3；∩x≤1⇒(-∞,1]3.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=2，cosC=1/2，则△ABC的面积是______（4分）【答案】3√3/2【解析】由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=9+4-6=7⇒c=√7；sinC=√1-(1/2)^2=√3/2⇒面积S=(1/2)absinC=3√3/24.已知函数f(x)=√(x^2+1)-kx在x=1处取得最小值，则实数k的值是______（4分）【答案】1【解析】f'(x)=x/(√(x^2+1))-k⇒f'(1)=1/(√2)-k=0⇒k=1/√25.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_5+a_9=45，则a_5+a_7+a_9=______（4分）【答案】75【解析】a_1+a_5+a_9=3a_1+12d=45⇒a_1+4d=a_5⇒a_5+a_7+a_9=3a_5=756.已知向量a=(3,-1)，b=(1,2)，则向量a×b的模长是______（4分）【答案】7【解析】a×b的模长=|a||b|sinθ=√(3^2+(-1)^2)×√(1^2+2^2)×1=77.已知f(x)=x^2+px+q，若f(1)=0且f(x)的图像开口向上，则f(-1)的值是______（4分）【答案】-2【解析】f(1)=1+p+q=0⇒p+q=-1；f(x)开口向上⇒p^2-4q<0⇒p^2<4(-1-p)⇒p^2+4p<0⇒-4<p<0f(-1)=1-p+q=1-p-(-1-p)=2-2p⇒当p=-1时，f(-1)=-28.执行以下程序段后，变量S的值是______（4分）i=1;S=0;whilei<=10doS=S+i^2;i=i+2;endwhile（4分）【答案】385【解析】i=1,3,5,7,9⇒S=1^2+3^2+5^2+7^2+9^2=1+9+25+49+81=165四、判断题（每题2分，共20分）1.若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，则f(x)在(a,b)上连续。（）（2分）【答案】（×）【解析】单调递增函数不一定是连续的，如狄利克雷函数2.若|z|=1且z=cosθ+isinθ，则z^100=cos100θ+isin100θ。（）（2分）【答案】（√）【解析】由欧拉公式z=e^(iθ)⇒z^100=e^(100iθ)=cos100θ+isin100θ3.若直线l1与直线l2的斜率之积为-1，则l1⊥l2。（）（2分）【答案】（√）【解析】斜率k1k2=-1⇒l1⊥l24.若x为实数，则x^2+1≥1恒成立。（）（2分）【答案】（√）【解析】x^2≥0⇒x^2+1≥15.若样本数据为5,6,7,8,9的平均数为7，则中位数也是7。（）（2分）【答案】（√）【解析】数据已按升序排列，中位数为76.若f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0,+∞)上单调递增，则f(x)在(-∞,0)上单调递减。（）（2分）【答案】（√）【解析】f(-x)=-f(x)⇒f'(x)在(-∞,0)上为负⇒单调递减7.若f(x)=x^3-3x+1，则f(x)在(-1,1)上必存在零点。（）（2分）【答案】（√）【解析】f(-1)=-3<0，f(1)=-1>0⇒由介值定理存在零点8.若集合A={x|x^2-4x+3=0}，B={x|x^2-ax+1=0}，且A⊆B，则实数a的值是4。（）（2分）【答案】（×）【解析】A={1,3}，若A⊆B⇒x^2-ax+1=0有根1和3⇒a=4或a=49.若f(x)是定义在R上的周期函数，周期为T，则f(x)在(x,x+T)上必取得最大值和最小值。（）（2分）【答案】（×）【解析】如狄利克雷函数在任意区间都不取最大最小值10.若a>b>0，则log_a(b)<log_b(a)。（）（2分）【答案】（√）【解析】设t=log_a(b)⇒a^t=b⇒b^t=a⇒log_b(a)=1/t⇒当0<t<1时，t>1/t⇒log_a(b)<log_b(a)五、简答题（每题4分，共20分）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求f(x)的单调区间。（4分）【答案】f'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1当x∈(-∞,1)时，f'(x)>0⇒单调递增；当x∈(1,+∞)时，f'(x)>0⇒单调递增；当x=1时，f'(x)=0⇒极值点，但单调性不变所以单调递增区间为(-∞,+∞)，无单调递减区间2.已知圆C:x^2+y^2-4x+6y-3=0，求圆的半径和圆心坐标。（4分）【答案】圆方程化为标准形式：(x-2)^2+(y+3)^2=16+9+3=28圆心(2,-3)，半径r=√28=2√73.已知函数f(x)=2^x+1，求f(x)的反函数。（4分）【答案】令y=2^x+1⇒2^x=y-1⇒x=log_2(y-1)反函数f^-1(x)=log_2(x-1)（x>1）4.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_5=25，S_10=70，求a_1和d。（4分）【答案】S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]S_5=5/2[2a_1+4d]=25⇒2a_1+4d=10S_10=10/2[2a_1+9d]=70⇒2a_1+9d=14解得a_1=2，d=15.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，求向量a与b的夹角θ的余弦值。（4分）【答案】cosθ=|a·b|/|a||b|a·b=1×3+2×(-4)=-5|a|=√5，|b|=√(3^2+(-4)^2)=5cosθ=-5/(√5×5)=-1/√5六、分析题（每题10分，共20分）1.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值范围。（10分）【答案】f(x)分段：当x<-2时，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1当-2≤x≤1时，f(x)=-(x-1)+(x+2)=3当x>1时，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1f(x)在(-∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增最小值为f(1)=3，取得最小值时x∈[-2,1]2.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，证明f(x)在(-∞,1)上单调递增。（10分）【答案】f'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1当x∈(-∞,1)时，(x-1)^2>0⇒3(x-1)^2-1>0⇒f'(x)>0所以f(x)在(-∞,1)上单调递增七、综合应用题（每题25分，共50分）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求f(x)的所有极值点及极值。（25分）【答案】f'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1令f'(x)=0⇒x=1±√(1/3)当x∈(-∞,1-√(1/3))时，f'(x)>0⇒单调递增当x∈(1-√(1/3),1+√(1/3))时，f'(x)<0⇒单调递减当x∈(1+√(1/3),+∞)时，f'(x)>0⇒单调递增极值点：x=1-√(1/3)处取得极大值f(1-√(1/3))=2√(1/3)-1x