初中数学八年级上册：整式的除法（单元复习与拓展）教案

初中数学八年级上册：整式的除法（单元复习与拓展）教案

一、教学理念与设计思路

本教案的设计立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心要求，以发展学生核心素养为导向，超越对运算法则的简单记忆与机械应用。整式的除法作为“数与式”主题下的关键内容，是连接数的运算与式的运算、算术与代数的重要桥梁。本设计遵循“运算本质—算理理解—算法掌握—应用迁移”的逻辑主线，强调对数学概念与原理的深度理解。

设计思路凸显“智汇课堂”的内涵，即通过“智慧”的内容整合与“汇聚”多元的学习方式，构建高效、深度的学习场域。具体体现为：第一，溯源寻根，将整式的除法与分数的约分、乘法的逆运算、幂的运算性质进行本质关联，帮助学生构建知识网络。第二，问题驱动，创设来源于数学内部发展逻辑和跨学科应用的真实问题情境，激发探究欲望。第三，思维可视化，借助几何直观（面积模型、数形结合）和符号推理双路径，促进学生对算理的深度内化。第四，分层递进，设计从基础巩固到综合拓展，再到创新应用的多层次任务，满足不同学生的学习需求，指向数学运算、逻辑推理、抽象能力等核心素养的协同发展。第五，技术赋能，恰当地融合动态数学软件或编程环境，实现抽象运算的可视化验证与规律探索，提升探究的深度与广度。

二、教学背景分析

（一）教材内容分析

“整式的除法”位于人教版八年级上册第十五章《整式的乘除与因式分解》的最后一节。在本章知识结构中，它既是整式乘法运算的逆运算，也是后续学习分式运算、函数表达式变形、方程求解等知识的坚实基础。教材通常先安排同底数幂的除法作为铺垫，进而分别研究单项式除以单项式、多项式除以单项式。其核心是转化为系数、同底数幂分别相除的过程，深刻依赖于有理数除法、幂的运算性质（同底数幂相除）和乘法分配律。本课时作为单元复习与拓展课，旨在帮助学生打通知识间的内在联系，形成结构化的认知体系，并能够灵活解决更为综合复杂的问题。

（二）学情分析

认知基础：学生已经熟练掌握了有理数的四则运算、整式的加减、幂的运算性质（特别是同底数幂的除法）、整式的乘法（单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式）。他们具备了初步的代数运算能力和从特殊到一般的归纳思维。

认知障碍：首先，学生容易将“除法”简单地视为“乘法”的逆过程，但对其独立的算理逻辑，尤其是多项式除以单项式时，对每一项分别进行除法的分配律本质理解不深，容易出现漏项错误。其次，在处理复杂的、涉及多重符号或多项式的除法时，运算的步骤性和规范性容易缺失。最后，学生普遍缺乏将代数式运算与几何图形、实际背景建立联系的意识，运算停留在符号操作层面，对运算意义的理解不足。

发展可能：通过本课时的深度学习和拓展，学生能够从“会算”上升到“懂理”，并初步尝试“用模”（数学模型）。他们不仅能准确、熟练地进行整式除法运算，更能阐释运算每一步的依据，并能主动运用整式除法工具去简化表达式、解决跨学科情境下的简单问题，实现代数思维从程序性向结构性的跃迁。

（三）教学目标

1.知识与技能：系统梳理并牢固掌握单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法则；能准确、熟练、规范地进行整式除法运算，包括涉及乘除混合的运算；能运用整式的除法对代数式进行化简、求值。

2.过程与方法：经历从具体数字运算到抽象字母运算的类比归纳过程，体会“转化”与“化归”的数学思想；通过几何面积模型的解释，发展数形结合思想，深化对算理的理解；通过解决综合性、应用性问题，发展分析问题、建立模型和数学表达的能力。

3.情感、态度与价值观：在探索算理和解决问题的过程中，感受数学的严谨性与简洁美；通过跨学科应用的实例，体会数学作为基础工具的价值，增强学习兴趣和应用意识；在小组合作与交流中，养成乐于探究、敢于质疑、严谨求实的科学态度。

（四）教学重难点

教学重点：整式除法的运算法则及其算理理解；整式除法的综合运算与应用。

教学难点：理解整式除法（特别是多项式除以单项式）的算理本质；灵活运用整式除法解决复杂的化简求值问题及简单的实际应用问题。

（五）教学准备

教师准备：精心设计的导学案（含前置回顾问题、探究活动单、分层练习题组）；多媒体课件（包含动态几何软件链接或动画演示）；实物投影仪。

学生准备：复习整式乘法及幂的运算性质；准备练习本、作图工具。

三、教学过程实施

（一）情境启思，问题导学（预计时间：8分钟）

教师活动：首先，不直接进入运算，而是抛出两个“元问题”引发学生认知冲突和思考。

问题一（逻辑起点）：我们已精通整式的乘法。如果已知两个整式相乘的积和其中一个乘式，如何求另一个乘式？这引导我们自然需要研究整式的何种运算？

问题二（几何直观）：呈现一个动态几何画面。已知一个长方形的面积为6

x

3

y

+

9

x

2

y

2

6x^3y+9x^2y^2

6x3y+9x2y2平方单位，且其宽为3

x

y

3xy

3xy单位，如何表示其长？你能用两种不同的方法得到这个结果吗？（一种是通过列除法算式(

6

x

3

y

+

9

x

2

y

2

)

÷

(

3

x

y

)

(6x^3y+9x^2y^2)\div(3xy)

(6x3y+9x2y2)÷(3xy)，另一种是借助面积模型进行“分割”思考）。

学生活动：独立思考后，进行简短的同桌交流。针对问题一，学生能明确说出“除法”或“逆运算”。针对问题二，学生尝试列出代数式，并部分学生可能尝试将大面积视为两个小长方形面积之和（6

x

3

y

6x^3y

6x3y和9

x

2

y

2

9x^2y^2

9x2y2），这两个小长方形拥有相同的宽3

x

y

3xy

3xy，从而直观得到长应为2

x

2

+

3

x

y

2x^2+3xy

2x2+3xy。

设计意图：问题一从数学知识的内在逻辑出发，明确本课学习内容的必要性。问题二创设了一个具有几何意义的真实情境，为多项式除以单项式的算理理解埋下伏笔。两种方法（直接列式与几何分割）的对比，初步渗透了数形结合与算理直观，有效激发学生的学习动机。

（二）溯源探理，构建法则（预计时间：15分钟）

教师活动：承接问题二，引导学生将几何操作翻译成代数语言。

引导语：“我们把‘将大面积长方形分割成两个同宽的小长方形’这一操作，用代数式表达出来，就是：(

6

x

3

y

+

9

x

2

y

2

)

÷

(

3

x

y

)

=

(

6

x

3

y

)

÷

(

3

x

y

)

+

(

9

x

2

y

2

)

÷

(

3

x

y

)

(6x^3y+9x^2y^2)\div(3xy)=(6x^3y)\div(3xy)+(9x^2y^2)\div(3xy)

(6x3y+9x2y2)÷(3xy)=(6x3y)÷(3xy)+(9x2y2)÷(3xy)。这运用了我们学过的哪一条运算律？”

待学生回答“乘法分配律”或“除法对加法的分配律”后，教师强调：在代数中，我们规定多项式除以单项式可以转化为单项式除以单项式的和。接着，聚焦核心：如何计算单项式除以单项式？

教师不直接给出法则，而是设计一组渐进式追问：

计算(

12

a

3

b

2

x

3

)

÷

(

4

a

b

2

)

(12a^3b^2x^3)\div(4ab^2)

(12a3b2x3)÷(4ab2)

1.这可以写成什么形式？（分数形式：12

a

3

b

2

x

3

4

a

b

2

\frac{12a^3b^2x^3}{4ab^2}

4ab212a3b2x3​）

2.这个分数如何化简？依据是什么？（联想分数的约分，依据是分数基本性质）

3.系数12和4如何约分？字母部分a

3

a^3

a3与a

a

a，b

2

b^2

b2与b

2

b^2

b2，x

3

x^3

x3与“没有x”如何约分？（引导学生回顾同底数幂的除法法则：a

m

÷

a

n

=

a

m

−

n

a^m\diva^n=a^{m-n}

am÷an=am−n）

4.请将上述思考过程，用规范的两步运算语言描述出来：（1）系数相除；（2）同底数幂相除；（3）对于只在被除式中出现的字母，连同其指数直接作为商的一个因式。

学生活动：跟随教师追问，逐步思考、回答。两人小组合作，尝试用自己的语言概括单项式除以单项式的步骤，并完成2-3个即时巩固练习（如(

15

m

4

n

3

)

÷

(

5

m

2

n

)

(15m^4n^3)\div(5m^2n)

(15m4n3)÷(5m2n)，(

−

8

x

4

y

2

z

)

÷

(

2

x

2

y

)

(-8x^4y^2z)\div(2x^2y)

(−8x4y2z)÷(2x2y)）。

随后，教师引导学生将多项式除以单项式的法则进行一般化表述：(

A

+

B

+

C

)

÷

m

=

A

÷

m

+

B

÷

m

+

C

÷

m

(A+B+C)\divm=A\divm+B\divm+C\divm

(A+B+C)÷m=A÷m+B÷m+C÷m（其中m为单项式），并强调“每一项”的含义及运算的完整性。

设计意图：本环节是算理构建的核心。通过几何情境自然引出分配律的应用，将新知（多项式除法）转化为旧知（单项式除法）。对单项式除法的教学，摒弃直接告知法则的模式，而是通过“分数约分”这一学生熟悉的视角，串联起系数处理（有理数除法）和字母处理（幂的运算），让学生亲身经历法则的生成过程，深刻理解其数学依据，实现“知其然更知其所以然”。

（三）典例精析，深化理解（预计时间：12分钟）

教师活动：选取具有代表性的例题，采用“讲—练—议”结合的方式。

例题1：基础规范运算

计算：（1）(

28

x

4

y

2

)

÷

(

7

x

3

y

)

(28x^4y^2)\div(7x^3y)

(28x4y2)÷(7x3y)（2）(

15

a

3

b

2

−

10

a

2

b

3

)

÷

(

5

a

b

)

(15a^3b^2-10a^2b^3)\div(5ab)

(15a3b2−10a2b3)÷(5ab)

教师示范板书，强调书写规范性：步骤清晰、等号对齐、系数和幂的运算准确。特别在第（2）题中，用下划线或标记强调多项式中的“每一项”。

例题2：含有多重符号或乘方运算

计算：(

−

3

x

2

y

)

3

÷

(

9

x

4

y

2

)

(-3x^2y)^3\div(9x^4y^2)

(−3x2y)3÷(9x4y2)

引导学生先处理乘方，将式子化为(

−

27

x

6

y

3

)

÷

(

9

x

4

y

2

)

(-27x^6y^3)\div(9x^4y^2)

(−27x6y3)÷(9x4y2)，再进行除法运算。讨论运算顺序的重要性。

例题3：化简求值综合

先化简，再求值：[

(

2

x

+

y

)

2

−

y

(

y

+

4

x

)

]

÷

(

2

x

)

[(2x+y)^2-y(y+4x)]\div(2x)

[(2x+y)2−y(y+4x)]÷(2x)，其中x

=

1

2

x=\frac{1}{2}

x=21​。

教师引导学生分析：直接代入数值计算繁琐，应先利用整式乘除法则进行化简。学生独立完成化简过程（预期结果：2

x

2x

2x），再代入求值。引导学生比较直接代入与先化简后代入的优劣，体会代数运算的优越性。

学生活动：独立完成例题1，上台板演并讲解。在例题2、3中，先自主尝试，然后小组内交流易错点（如符号、运算顺序、公式应用等），最后全班共同订正、提炼方法。

设计意图：通过分层递进的例题，巩固运算法则。例题1强调运算的规范性与准确性，是技能形成的基石。例题2引入复杂结构，训练学生的运算顺序意识和符号处理能力。例题3将整式除法置于化简求值的综合背景下，培养学生选择最优解题策略的能力，并展现代数运算的价值。

（四）纵横联系，拓展升华（预计时间：10分钟）

教师活动：此环节旨在打破知识壁垒，进行纵向深化与横向联系。

活动一：纵向探究——除法与乘法的关系验证。

给出等式：(

)

×

3

a

b

=

12

a

2

b

+

9

a

b

2

()\times3ab=12a^2b+9ab^2

()×3ab=12a2b+9ab2，请填写括号内的整式。学生很容易想到用除法计算。教师引导：这验证了乘除互为逆运算。反过来，请计算(

12

a

2

b

+

9

a

b

2

)

÷

(

3

a

b

)

(12a^2b+9ab^2)\div(3ab)

(12a2b+9ab2)÷(3ab)，并用乘法进行验算：(

4

a

+

3

b

)

×

3

a

b

=

?

(4a+3b)\times3ab=?

(4a+3b)×3ab=?。强调验算是检验运算正确性的良好习惯。

活动二：横向联系——跨学科视角下的整式除法。

情境A（物理学）：已知一个物体做匀速直线运动，总路程s由表达式6

t

3

+

9

t

2

6t^3+9t^2

6t3+9t2（米）给出，其中t为时间（秒）。请求出它的速度v的表达式。

引导学生建立模型：v

=

s

÷

t

=

(

6

t

3

+

9

t

2

)

÷

t

=

6

t

2

+

9

t

v=s\divt=(6t^3+9t^2)\divt=6t^2+9t

v=s÷t=(6t3+9t2)÷t=6t2+9t。

情境B（信息编码）：在数据压缩中，有时需要将一段长度为(

8

x

4

+

4

x

2

)

(8x^4+4x^2)

(8x4+4x2)比特的信息均匀分割到4

x

2

4x^2

4x2个数据包中，平均每个数据包承载多少比特信息？

引导学生列式：(

8

x

4

+

4

x

2

)

÷

(

4

x

2

)

=

2

x

2

+

1

(8x^4+4x^2)\div(4x^2)=2x^2+1

(8x4+4x2)÷(4x2)=2x2+1。

学生活动：分组讨论这两个情境，建立数学模型并完成计算。分享交流，体会数学作为工具在解释物理规律和解决技术问题中的应用。

设计意图：活动一通过乘除互逆关系的操作与验证，加深学生对运算本质的理解，培养思维的严谨性。活动二通过物理学和信息学的简单情境，将抽象的整式除法具象化，让学生感受到数学的广泛应用，提升数学建模意识和跨学科应用能力，实现学科育人价值。

（五）分层演练，巩固提升（预计时间：10分钟）

教师设计三组练习题，学生在课上根据自身情况至少完成A、B两组。

A组（基础巩固）：

1.计算：（1）(

36

a

5

b

4

c

)

÷

(

12

a

3

b

2

)

(36a^5b^4c)\div(12a^3b^2)

(36a5b4c)÷(12a3b2)（2）(

24

m

3

n

2

−

18

m

2

n

)

÷

(

6

m

2

n

)

(24m^3n^2-18m^2n)\div(6m^2n)

(24m3n2−18m2n)÷(6m2n)

2.化简：(

5

a

3

b

2

−

10

a

2

b

3

+

a

b

4

)

÷

(

a

b

2

)

(5a^3b^2-10a^2b^3+ab^4)\div(ab^2)

(5a3b2−10a2b3+ab4)÷(ab2)

B组（能力提升）：

3.计算：[

(

−

2

a

2

b

)

3

+

8

a

5

b

4

]

÷

(

4

a

4

b

2

)

[(-2a^2b)^3+8a^5b^4]\div(4a^4b^2)

[(−2a2b)3+8a5b4]÷(4a4b2)

4.一个长方体的体积为3

x

3

−

6

x

2

+

3

x

3x^3-6x^2+3x

3x3−6x2+3x，底面积为3

x

3x

3x，求它的高。

C组（思维拓展，供学有余力者挑战）：

5.已知(

5

x

3

+

a

x

2

+

b

x

)

÷

(

5

x

2

−

3

x

)

(5x^3+ax^2+bx)\div(5x^2-3x)

(5x3+ax2+bx)÷(5x2−3x)的商式为x

+

2

x+2

x+2，余式为c

x

+

4

cx+4

cx+4，求常数a

,

b

,

c

a,b,c

a,b,c的值。（提示：利用被除式=除式×商式+余式）

学生活动：独立完成练习。教师巡视指导，重点关注A组学生的完成情况，对B、C组学生进行思路点拨。完成后，通过投影展示典型解答，学生互评。

设计意图：分层练习尊重学生个体差异，让所有学生都能获得成功的体验。A组题确保所有学生掌握基本技能。B组题综合运算与简单应用，促进知识内化。C组题涉及带余除法，与后续分式和多项式除法衔接，为学有余力的学生提供探索空间，培养高阶思维。

（六）反思小结，结构内化（预计时间：5分钟）

教师活动：不以“今天我们学了什么”的简单回顾结束，而是提出反思性问题链，引导学生进行结构化总结。

问题链：

1.请画出本节课所学知识的思维导图，体现出整式除法与之前所学知识的联系。

2.单项式除以单项式的核心步骤是什么？每一步的依据是什么？（系数相除→有理数除法；同底数幂相除→幂的运算性质；只在被除式中出现的字母→作为商的一部分）

3.多项式除以单项式的法则本质是什么？（乘法分配律的逆向运用）

4.在进行整式除法运算时，你认为最容易出错的地方有哪些？如何避免？（常见错误：符号错误、漏项、幂的运算错误、运算顺序错误。避免方法：理解算理、步骤清晰、勤于验算）

5.你能举出一个可以用整式除法解决的生活或其它学科中的例子吗？

学生活动：先独立构思，然后在小组内分享自己的反思成果，特别是思维导图和易错点总结。每组派代表分享一点收获或一个例子。

设计意图：通过问题链引导的反思，推动学生从知识、方法、易错点、应用四个维度进行系统梳理，将零散的知识点整合成有机的网络。思维导图的构建促进了认知的结构化。分享交流环节进一步巩固学习成果，并激发新的思考。

四、信息技术融合设计

本课拟在以下环节适度融合信息技术：

1.在“情境启思”环节，使用动态几何软件（如GeoGebra）展示面积随宽变化而动态调整的长方形，直观呈现“面积÷宽=长”的关系，以及面积可以分割为多个小长方形之和的动态过程，使几何背景更生动。

2.在“溯源探理”环节，可以展示一个简单的交互程序：输入被除式和除式（单项式），程序自动以分数形式呈现并高亮显示约分过程（系数和同底数幂），将抽象的约分过程可视化。

3.在“拓展升华”的物理情境中，可以链接一个模拟匀速直线运动的动画，并将路程表达式和计算出的速度表达式动态关联，当时间t滑动时，显示对应的路程和速度值，增强数形结合的感受。

4.鼓励有条件的学生，课后尝试用简单的编程（如Python的SymPy库）验证自己完成的复杂整式除法运算结果，体验计算机代数系统与数学思维的关系。

五、板书设计

板书采用分区域、结构化的设计，力求清晰呈现知识脉络和思维过程。

（左侧主板书区）

主题：整式的除法——算理·法则·应用

一、从问题出发

几何问题：(6x^3y+9x^2y^2)÷(3xy)=?

转化为：(6x^3y)÷(3xy)+(9x^2y^2)÷(3xy)…（分配律）

二、核心法则

1.单项式÷单项式：

例：(12a^3b^2x^3)÷(4ab^2)=12

a

3

b

2

x

3

4

a

b

2

\frac{12a^3b^2x^3}{4ab^2}

4ab212a3b2x3​

步骤：①系数相除：12÷4=3

②同底幂相除：a^3÷a=a^(3-1)=a^2；b^2÷b^2=b^0=1

③独有字母：x^3

结果：3a^2x^3

2.多项式÷单项式：

(A+B+C)÷m=A÷m+B÷m+C÷m（m≠0）

三、典例精析

（预留空间用于书写例题关键步骤）

（右侧副板书区）

“思想方法区”：

转化思想：除法→乘法（逆运算）、复杂→简单

数形结合：面积模型

类比归纳：从数到式

“易错点提醒区”：

1.3.符号！

2.4.勿漏项！

3.5.运算顺序（先乘方，再乘除）

4.6.指数运算准确

六、作业设计

（一）必做题（面向全体）：

1.教材对应章节的基础练习题。

2.完成一份“整式乘除运算对照表”：自编3道整式乘法题，并写出其对应的两道除法问题（一道求积中的因式，一道验证逆运算）。

3.反思日记：记录本节课学习中最清晰的一点和最困惑的一点。

（二）选做题（面向大部分学生）：

1.解决一个应用问题：已知一个圆柱体的体积V=π(x^3+2x^2)（π取3.14），底面半径r=x，用含x的式子表示这个圆柱体的高h。

2.探究题：观察下列算式：(

x

2

−

1

)

÷

(

x

−

1

)

=

x

+

1

(x^2-1)÷(x-1)=x+1

(x2−1)÷(x−1)=x+1；(

x

3

−

1

)

÷

(

x

−

1

)

=

x

2

+

x

+

1

(x^3-1)÷(x-1)=x^2+x+1

(