人教新课标五年级数学上册《循环小数：从有限到无限的探索》教案

人教新课标五年级数学上册《循环小数：从有限到无限的探索》教案一、教材与学情分析（一）教材分析：【基础】【重要】本课“循环小数”是人教版小学数学五年级上册第三单元“小数除法”中的核心内容，是在学生已经掌握了除数是整数的小数除法、一个数除以小数以及商的近似数的基础上进行教学的。这部分内容不仅是小数除法知识的延伸和拓展，更是学生数概念发展的一次重要飞跃——从对“有限”数学的认识扩展到对“无限”数学的初步感知。教材通过例8（通常指400÷75）这一典型计算情境，引导学生在计算过程中发现除不尽且商的小数部分数字重复出现的现象，从而引出循环小数的概念。随后，教材进一步介绍循环节、循环小数的简便记法，并通过对比计算引入有限小数和无限小数的概念，帮助学生构建更为完整的小数认知体系。该内容为学生后续学习分数与小数的互化、认识无理数等奠定了重要的基础，蕴含着“极限”、“无限”、“推理”等重要的数学思想。（二）学情分析：【基础】五年级的学生已经具备了较强的整数计算能力和初步的小数除法运算技能，能够熟练地进行除数是整数的小数除法计算。在生活经验中，学生对“循环”现象已有感性认识，如四季更替、昼夜交替、红绿灯变化等，这为理解“依次不断重复出现”提供了认知基础。然而，循环小数的概念较为抽象，尤其是“无限”和“循环”这两个核心要点的结合，是学生认知上的一个难点。学生在计算过程中容易产生困惑：为什么这个算式总也除不完？商的小数部分到底有多少位？如何表达这样一个“无穷无尽”的数？因此，本课的教学需要从具体的生活和计算实例出发，引导学生通过观察、比较、分析、归纳等思维活动，逐步抽象出循环小数的本质特征，实现从感性认识向理性认识的跨越。二、教学目标（一）知识与技能目标：【重要】1.学生理解循环小数、有限小数和无限小数的意义，能正确识别循环小数。2.学生认识循环节，掌握循环小数的两种表示方法（一般表示法和简便记法）。3.学生能够运用循环小数表示除法算式的商，并能根据要求用“四舍五入”法求循环小数的近似值【高频考点】。（二）过程与方法目标：【重要】1.经历循环小数的探究过程，通过在除法计算中观察余数和商的变化规律，培养学生的观察、比较、分析与抽象概括能力【重要】。2.经历小数概念的系统分类，初步体会“极限”和“集合”的数学思想方法。（三）情感、态度与价值观目标：1.在自主探究与合作交流的过程中，感受数学的规律美与逻辑美，激发学习数学的兴趣和探索欲望。2.通过认识无限小数，初步感悟有限与无限的辩证关系，形成科学的态度和严谨的学风。三、教学重难点（一）教学重点：【非常重要】【高频考点】理解循环小数的意义，掌握循环小数的简便记法，能正确区分有限小数和无限小数。（二）教学难点：【难点】【非常重要】1.理解“依次不断重复出现”的含义，能够通过余数的变化规律判断商是循环小数。2.明确循环小数是无限小数的一种，构建小数之间的集合关系。四、教学准备教师：多媒体课件（PPT，包含情境图、计算演示、练习题等）、彩色粉笔。学生：练习本、笔、计算器（可选，用于辅助验证较复杂的计算）。五、教学过程（一）创设情境，感知“循环”概念1.生活引入，激发兴趣：上课伊始，教师面带微笑，用亲切的语气向学生提问：“同学们，生活中有许多有趣的现象。比如，一年有哪几个季节？”（学生回答：春、夏、秋、冬）。教师继续引导：“四季是按照什么顺序出现的？春天过后是夏天，夏天过后是秋天，秋天过后是冬天。那冬天过后呢？”（学生回答：又是春天）。教师顺势总结：“对了，春、夏、秋、冬……春、夏、秋、冬……这种按一定顺序，周而复始、重复出现、无穷无尽的现象，我们数学上可以把它叫做——”（引导学生说出“循环”或“重复出现”等关键词，教师板书：“循环”或“依次不断重复出现”）。2.举例拓展，深化感知：教师追问：“除了四季，你还能举出生活中哪些类似的‘循环’现象吗？”学生积极发言，可能提到：每天的24小时、每周的星期一到星期日、十字路口的红绿灯交替、钟表上秒针的转动等。【重要】通过这些生动具体的例子，将抽象的数学概念与学生鲜活的生活经验建立联系，为后续理解循环小数中的“依次不断重复出现”打下坚实的心理基础。3.故事激趣，自然过渡：“老师还想起一个永远讲不完的故事，你们想听吗？”教师讲“从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚，老和尚对小和尚说：‘从前有座山……’”。讲两句后，请学生接着往下讲。讲了一会儿，教师提问：“这个故事能讲得完吗？为什么？”（学生回答：讲不完，因为它总是在重复同一段话）。教师小结：“其实，在数学的计算王国里，也有一些像这样永远也算不完，数字总是重复出现的现象。今天，我们就一起来探究数学中的这种‘循环’现象。”【重要】由此引出并板书课题：“循环小数”。（二）自主探究，建构“循环小数”概念【非常重要】【核心环节】1.任务驱动，初次计算：教师利用多媒体课件出示教材例8（或类似情境）的主题图：王鹏400米跑了75秒，平均每秒跑多少米？学生根据情境列出算式：400÷75=教师提出要求：“请同学们在练习本上用竖式计算这道题，在计算过程中仔细观察，看看你有什么发现？比一比谁的眼力最尖。”学生开始独立计算。教师巡视，关注学生的计算过程。2.交流汇报，聚焦发现：当大多数学生计算到小数部分已经除出两三位后，教师组织课堂交流。教师提问：“算完的同学请举手？是不是都算完了？在计算中你发现了什么特别的现象？”学生可能会汇报：“我发现这道题总也除不完。”“我发现余数总是25。”“我发现商的小数部分总是重复出现3。”教师根据学生的回答，利用课件或板书展示竖式过程，并着重用红笔圈出每次出现的余数“25”和商“3”，引导学生观察余数和商出现的规律。3.深度追问，揭示本质：教师引导学生深入思考：“为什么商的小数点后面总是不断地出现‘3’？这是偶然的，还是由某种规律决定的？”组织学生进行小组讨论。讨论后，学生能够明白：因为每次除完后，余数都是“25”，添0继续除，就是250除以75，商3，又得到余数25……如此循环往复。【非常重要】正是因为余数“25”在不断地重复出现，导致商“3”也在不断地重复出现。教师追问：“如果继续除下去，第10位商是多少？第100位商是多少？”（学生回答：还是3）。教师明确：无论除到哪一位，只要余数25重复出现，商3就会重复出现，这个过程是无限的。4.尝试表示，引出概念：教师提出问题：“这道题的商是算不完的，它的小数部分有无数个3。我们怎么把这个‘无穷无尽’的商简洁地写下来呢？”学生可能已经有所了解，回答：可以用省略号表示。教师肯定学生的想法，并规范板书：400÷75=5.333…（板书，并强调省略号表示后面还有无数个3）。教师再次出示一个补充算式，如：28÷18=（让学生尝试计算并观察，得出1.555…）。【难点】引导学生观察这两个小数（5.333…和1.555…）的特点。学生总结：它们的小数部分都是“一个数字”在“依次不断重复出现”。教师在此基础上，给出循环小数的描述性定义：“像5.333…、1.555…这样，一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。”【非常重要】【高频考点】并将定义关键词（一个数、小数部分、某一位起、一个/几个数字、依次不断重复出现）与板书中的实例进行一一对应讲解。5.再次探究，深化认识（认识“几个数字”重复）：教师出示第二个探究算式：78.6÷11=学生独立列竖式计算。由于计算较复杂，教师可引导学生在计算过程中圈出每次出现的余数，并观察商的变化。计算完成后，学生汇报：这个算式也除不尽，商是7.14545…（板书）。教师引导学生观察这个小数与前面两个有什么不同。学生发现：这个小数的小数部分，第一位是1，但从第二位开始，后面的“45”这两个数字在依次不断重复出现。教师补充：这同样是一个循环小数，只不过重复出现的不再是一个数字，而是两个数字（45）。它的写法同样是7.14545…。【重要】通过这一环节，学生对循环小数“一个或几个数字依次不断重复出现”的内涵有了全面的理解。（三）自学互学，掌握循环节的简便记法1.认识循环节：教师引导：“在一个循环小数中，依次不断重复出现的那个数字或那几个数字，我们给它起个名字，叫做这个循环小数的‘循环节’。”【基础】让学生找出以上三个小数的循环节。5.333…的循环节是“3”；1.555…的循环节是“5”；7.14545…的循环节是“45”。2.自学简便记法：教师提出：“像这样一直用省略号来表示循环小数，虽然可以，但还不够简洁。数学家们发明了一种更简洁的写法。请大家打开课本（或看大屏幕），自学循环小数的简便记法。”【重要】培养学生自主获取知识的能力。学生自学后，进行汇报交流。教师根据学生的汇报，进行示范讲解：5.333…可以写作5.3（并在3的上面点一个点），读作：五点三，三循环。1.555…可以写作1.5（并在5的上面点一个点），读作：五点五，五循环。7.14545…可以写作7.145（并在4和5的上面各点一个点，或者在45的头尾各点一个点，取决于教材版本或惯例，通常采用在循环节首位和末位数字上各点一个点的方法），读作：七点一四五，四五循环。强调：循环节是多个数字时，只在循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。如果循环节是单个数字，就在这个数字上面记一个圆点。（四）对比分类，认识“有限小数”与“无限小数”【重要】1.对比计算，引发冲突：教师出示两组计算题，请两名学生板演，其余学生在练习本上完成。第一组（可除尽）：15÷16=第二组（除不尽）：1.5÷7=2.观察比较，分类讨论：计算完成后，引导学生观察这两组算式的商有什么不同。学生发现：15÷16=0.9375，这个商的小数部分的位数是有限的，最后能除尽。而1.5÷7=0.2142857142857…，这个商的小数部分的位数是无限的，并且数字在循环。3.给出定义，构建体系：教师顺势引出“有限小数”和“无限小数”的概念。板书：小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。例如：0.9375。小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。例如：0.…。教师提问：“我们刚才学的‘循环小数’是有限小数还是无限小数？为什么？”引导学生讨论得出：循环小数的小数部分位数是无限的，所以循环小数一定是无限小数。教师进一步补充：“无限小数除了包括我们刚学的循环小数，还包括一种更特殊的小数，它的小数部分虽然也是无限的，但没有循环的规律，我们以后到中学还会继续学习。比如我们刚才计算的1.5÷7，其实也是循环小数，但圆周率π=3.…就是一个无限不循环小数。”【难点】用集合图的形式（板书或用课件展示），清晰地表示出小数、有限小数、无限小数、循环小数之间的关系，帮助学生构建完整的知识体系。（五）巩固练习，内化提升【高频考点】1.基础练习（判断与识别）：下面的数中，哪些是循环小数？是的请圈出来，并用简便记法写在旁边。0.666…3..73734.15656…7.250.15757…（注意2.7373虽然是小数，但如果没有省略号，表示它是有限小数，不是循环小数，以此强化概念。）2.综合练习（求近似值）：写出上面循环小数的近似值（保留两位小数）。例如：0.666…≈0.674.15656…≈4.16强调：求循环小数的近似值时，一般要把循环小数多写几位，直到比需要保留的位数多一位，再用“四舍五入”法取近似值。【高频考点】3.拓展练习（规律探索）：用计算器计算下面各题，哪些商是循环小数？是什么循环节？1÷9=2÷9=3÷9=4÷9=引导学生发现规律：1÷9=0.111…，2÷9=0.222…，以此类推，几除以9，商就是零点几的循环。培养学生的数感和探索精神。（六）课堂总结，反思升华1.知识回顾：教师提问：“今天这节课，我们一起研究了什么？你有什么收获？还有什么疑问？”引导学生从知识层面（循环小数的意义、记法、分类）、方法层面（观察、比较、分类）、思想层面（无限思想）进行总结。2.思想升华：教师总结：“今天我们认识的循环小数，把我们带进了一个‘无限’的世界。小数部分可以像故事一样，一个数字或几个数字不断地、重复地、无穷无尽地出现。这其中蕴藏着奇妙的数学规律和秩序美。希望同学们在今后的学习中，继续用你们敏锐的眼睛去发现更多的数学奥秘。”六、板书设计循环小数（一）生活实例：四季更替、昼夜交替……→依次不断重复出