中农大AutoCAD及计算机图学基础课件第11章 图形变换

46二维图形几何变换

一、概述二、平移变换三、缩放变换四、旋转变换五、变形变换六、组合变换点的平移变换是指该点在X轴和Y轴方向上分别移动一段距离。设图形上点P(x,y)，将在X轴和Y轴方向分别移动Tx和Ty，结果生成新的点P´(x´,y´),如图所示，则有平移变换yxP(x,y)P´(x´,y´)TxTy其中TX,TY称为点在X轴和Y轴上的位移。平移变换(续)用齐次坐标和矩阵形式可表示为：yxxy如果Tx或Ty大于零，则点向右或向上移动；

如果Tx或Ty小于零，则点向左或向下移动。缩放变换点的缩放是指将该点沿X轴和Y轴方向按比例缩小或放大的变换。设图形上的点P(x,y)，在X轴和Y轴方向分别作Sx和Sy的缩放，结果生成新的点坐标P´(x´,y´)，如图所示缩放变换(续)用齐次坐标和矩阵形式可表示为：缩放变换(续)|Sx|或|Sy|大于1，图形在X轴方向或Y轴方向放大；|Sx|或|Sy|小于1，图形在X轴方向或Y轴方向缩小；|Sx|或|Sy|等于1，图形在X轴方向或Y轴方向不变；Sx或Sy小于零，图形在X轴方向或Y轴方向作镜面变换。旋转变换点的旋转变换是只将点绕坐标原点旋转一角度的坐标变换。设有图形上点P(x,y)，将其绕原点旋转变换α角度(假设按逆时针旋转为正角)，结果生成的新的点坐标P´(x´,y´)。将点P绕原点做逆时针旋转α角度的变换看作将坐标系绕原点做顺时针旋转α角度的等价变换。旋转变换(续)yyxxθθy´x´P(x,y)P(x,y)P´(x´,y´)P´(x´,y´)旋转变换(续)其中θ为点绕原点旋转的角度(逆时针为正，

顺时针为负)。用齐次坐标和矩阵形式可表示为x´=xcosθ-ysinθ

y´=xsinθ+ycosθ旋转变换(续)变形变换变形变换是用来产生一个目标图形的失真的变换。现考虑y-变形和x-变形两种：y-变形是将点P(x,y)变换到点P´(x´,y´),使

x´=x

y´=y·shy+y (shy≠0)

其中shy为变形系数。

当shy大于零时，表示向上变形，

如一条垂直线变形后将向上移动，

一条水平线变形后将向上倾斜；

当shy小于零时，表示向下变形，

如一条垂直线变形后将向下移动，

一条水平线变形后将向下倾斜。yxyx变形变换x-变形变换是指将点P(x,y)变换到点P´(x´,y´)应有

x´=x+y·shx(shx≠0)

其中shx为变形系数，shx的符

y´=y

号决定了图形向右或向左变形令x-变形变换矩阵和y-变形变换矩阵分别为：

shx(shx)= shy(shy)=1shy0010001100shx10001yxyx组合变换实际上，一般的图形变换更多的是组合变换，即有一系列基本的几何变换组合而成的，则组合变换矩阵也可由一系列基本几何变换矩阵的乘积来表示，矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律。下面将举例说明组合变换的方法。组合变换举例（一）例:对一线段先放大2倍(即Sx=Sy=2)，再平移Tx=10,Ty=0。

解:设点(x,y)为线段上的任意一点,

点(x´,y´)为点(x,y)放大后的坐标则:

设点(x´´,y´´)为点(x´,y´)经平移后的坐标为：

[x´´,y´´,1]=[x´,y´,1]T2(10,0) 则：

[x´´,y´´,1]=[x´,y´,1]T2(10,0)=[x,y,1]S2(2,2)T2(10,0) [x´,y´,1´]=[x,y,1]S2(2,2)yx(x,y)yx(x´,y´)yx(x´´,y´´)Tx组合变换举例（一）(续)令：M=S2(2,2)T2(10,0)=

=

M即为组合变换矩阵。 设线段的两端点坐标为(x1,y1)和(x2,y2)，

经M变换后，得到新的坐标(x´1,y´1)和(x´2,y´2)，

连接这两个新的坐标点便生成了变换后的线段。20002000110001010012000201001yx(x,y)yx(x´,y´)yx(x´´,y´´)Tx组合变换举例（二）例：对一图形，绕平面上的一点(Cx,Cy)

作旋转变换，旋转角度为θ，

计算其变换矩阵。解：旋转变换是绕坐标原点旋转的，

此处不能直接使用旋转变换，

应先将点(Cx,Cy)平移至原点，

然后作旋转变换，最后再把该点移回原处。

设点(x,y)为图形中的点，点(x´,y´)为点(x,y)经变换后的坐标，

则: [x´,y´,1]=[x,y,1]=[x,y,1]T2(-Cx,-Cy)R2(θ)T2(Cx,Cy)

则组合矩阵为：M=T2(-Cx,-Cy)R2(θ)T2(Cx,Cy)

=cosθ

sinθ0-si