中农大设计与制图基础课件第10讲 投影变换

当空间几何元素（直线、平面）相对于投影面处于一般位置时，投影既不反映空间几何元素的真实形状和大小，也无积聚性，这使我们难于直接得到空间几何元素定位与度量的相关信息

改变几何元素与投影面的相对位置，从而使空间几何元素更易于定位和度量的方法称为投影变换

§5－1投影变换改变几何元素与投影面的相对位置的方法有两种：２）改变几何元素的位置１）改变投影面的位置变换投影面法（简称换面法）旋转法投影变换的方法

保持几何元素的位置不动，通过树立新投影面来构造新的直角投影面体系并使几何元素在新投影面体系中处于有利于解题的位置，然后用正投影法获得几何元素的新投影。一、变换投影面法1）新投影面必须垂直于原投影系中的一个投影面。惟其如此，才能组成一个新的两面投影系并应用两面投影系中的全部投影规律。2）新投影面对空间几何元素应处于有利于解题的位置。1、投影面的选择条件：换面法2、点的换面

点是最基本的几何元素。点的投影变换，是其他几何元素投影变换的基础，因此必须首先研究点的投影变换规律。

点是零维的几何元素，本身并无度量性可言。单纯的对点换面，只是为了从中探寻其换面法的规律，因此可以自由选择要变换的投影面，但应该使变换后的图形应不与原图形重合

旧投影体系X—VH

新投影体系V1HX1—A点的两个投影：a,a

A点的两个投影：a,a

1(1)换V面X1V1XVHA

a

a

ax

a

1ax1

VHXV1HX1aa

axax1●a

12.1点的一次换面VHA

a

axXX1a

1ax1

新旧投影之间的关系1)

aa

1

X12)

a

1ax1=a

ax2)点的新投影到新投影轴的距离等于被替换的投影

到原投影轴的距离。a

一般规律：点的新投影和与保留投影的连线，必垂直于新投影轴。V1

VHXV1HX1aa

axax1●a

1(2)换H面

XVHaa

ax

a1ax1.X1H1VO1O

XVHaa

ax更换H面

求新投影的作图方法

VHXV1HX1

由点的不变投影向新投影轴作垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。aa

X1H1V

a1axax1ax1更换V面●a

1作图规律：

..2.2点的两次换面先把V面换成平面V1，V1H，得到中间新投影体系:V1HX1—再把H面换成平面H2，H2

V1，得到新投影体系:X2—V1H2⑴新投影体系的建立AaVHa

axXX1V1a

1ax1

H2X2

ax2a2

按次序更换⑵求新投影的作图方法ax2

a

aXVH

a2X1HV1X2V1H2

作图规律：a2a

1X2轴；a2ax2=aax1a

1

axax1##**..二次换面作图步骤：

1）定出新投影轴Ｏ1Ｘ1；2）根据点的换面规律，求出新投影ａ1’；3）作新投影轴Ｏ2Ｘ2；4）根据点的换面规律，求出新投影ａ2，5）ａ2即为变换后的新投影。３、直线的换面

3.1一次换面1．把一般位置直线变换为新投影面平行线

1)能反映直线的实长2)对投影面的倾角V1X1

a

b

abXVHHX1HV1VABa

b

aba

1b1

换H面行吗？不行！作图：新投影轴的位置？a

1●与ab平行。

.［例1］：求直线AB的实长及与H面的夹角

。空间分析：用V1面代替V面，在V1/H投影体系中，AB//V1。b

1●X［例2］已知：直线AB的两投影ａｂ、ａ′ｂ′，试求：直线AB的实长和对V面的夹角。

把投影面平行线变换为投影面垂直线，是为了使直线投影成为一个点，从而解决与直线有关的度量问题(如求两直线间的距离)和定位问题(如求线面交点)。2.把投影面平行线变换为新投影面的垂直线［例3］已知水平线AB的两投影，试把它变为投影面垂直线

［例4］已知正平线AB的两投影，试把它变为投影面垂直线3.2两次换面

把一般位置直线变换为投影面垂直线，只经过一次换面是不能实现的，因为垂直于一般位置直线的平面是一般位置平面，它与原有的两个投影面均不垂直，不能构成正投影体系，所以需要经过两次换面。第一次：将一般位置直线变为新投影体系中的投影面平行线。第二次：将投影面平行线变为另一投影体系中的投影面垂直线。a1●b1●a

b

abXVHX1HV1V1H2X2作图：a2

(b2

)

.先变换V面然后再换H面VHa

aXBb

bAX1V1a1b1X2V2

A2(b2)ax2［例5］把一般位置直线变换为投影面垂直线例3已知直线AB的V投影和端点A的H投影，其实长为30mm，试完成该直线的H投影。分析:

由于一次换面可把一般位置直线变换为投影面平行线，利用已知直线AB=30，先求出新投影a1b1，然后再返回求出其旧投影ab。注：直角三角形法XVHab1b2axbxOa

b

a1b21b11VO1X1H1ax1bx130301）在V面适当位置作O1X1∥a

b

；作图步骤：2）求得点A的H1投影a1；3）以a1为圆心，以为30mm半径画圆弧，与过b

垂直于O1X1的直线交于两点b11、

b21

，

连a1b11,a1b21，即为实长；4）过b

作直线垂直于OX轴，并量取b1bx=b11bx1,b2bx=b21bx1，

连ab1、ab2,即为所求（两个解答）。X

c

bcdHBCD

a

b

aVA

d

V1X1c1b1a1（d1）例如：求平面△ABC对H面的倾角α.4、平面的换面4.1一次换面

（1）把一般位置平面变换成投影面垂直面思考：如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。

在平面内取一条投影面平行线，经一次换面后变换成新投影面的垂直线，则该平面变成新投影面的垂直面。

一般位置直线变换成投影面垂直线，需经几次变换？能否只进行一次变换？两次例如：求平面△ABC对H面的倾角α.X

c

bcdHBCD

a

b

aVA

d

V1X1c1b1a1（d1）αHV1X1dd1●a1（d1）●c1●.a

a

c

cbXVHd

b

XVHa

c

b

bac

d

X1H1V

db1

a1c1d1［例］求平面△ABC的

角作图过程：

在平面内取一条正平线AD。

将AD变换成新投影面的垂直线。（2）把投影面垂直面变换为投影面平行面试求:正垂面△ABC的实形

右图表示了把正垂面△ABC变换成V/H1体系中H1的平行面的作图方法，注意：新投影轴O1X1平行于直线b

a

c

。第一次：把一般位置平面换为投影面垂直面，第二次：再把投影面垂直面换为投影面平行面。X2V1H2aba

c

b

XVHca2●c2●b2●c

1●.X1HV1.如图所示：先换V面再换H面4.2二次换面a

1（b

1）●db1

a1c1d1X1H1Va2

c2

b2

X2V2H1

［例1］试求平面△ＡＢＣ的实形和

角

实形

c

b

a

acbXVH先换H面再换V面d

d2

例2已知一般位置平面

ABC的V、H投影，试求其内切圆中心的投影。分析因为

ABC为一般位置平面，为求其内切圆中心的投影，应先用两次换面求出

ABC的实形，然后在实形上求出内切圆中心，最后返回求出内切圆中心的投影。作图步骤：1）换V面，把

ABC变换为正垂面；2）换H面，把

ABC变换为水平面；3）在实形

a2b2c2上求出内切圆中心G2；4）返回求得内切圆中心的投影G、G

。综合举例

空间几何元素的定位与度量包含两类问题：即距离问题和角度问题，其中大量的是线、面定位与度量问题。换面法对下列七种常见线、面度量问题显得思路清晰、方法简捷。遇到包含此类问题的求解时应注意使用。线段实长点线之距异面线距点面之距两线夹角线面夹角两面夹角七种换面法用于线、面的定位与度量

本节给出用换面法解决一些较复杂的相对位置问题的一些例子。应用换面法解题时，一般来说，最终都会归结为上述的七种度量问题并采用换面法中的四个基本问题的作图解法来求得解决。1．一般位置直线变换为投影面平行线2.投影面平行线变换为投影面垂直线3．一般位置平面变换为投影面垂直面4．投影面垂直面变换为投影面平行面1）空间分析已知条件和待求问题之间的相互关系2)分析空间几何元素与投影面的相对位置3)定出解题方案，找出它们之间处于何种相对位置时解题最为简便，进而确定需要的

换面次数和顺序从而明确解题思路步骤：例1已知一般位置直线AB与平面CDE平行，试求它们之间的距离例2求点M与直线AB之间的距离解

由图可见，求点M与直线AB间的距离，应由点M向直线AB引垂线，交AB于K点，则线段Mk即为点M与直线AB间的距离。当直线AB垂直于某一投影面时，则线段MK必平行于该投影面，且在该投影面上的投影反映实长。m

b

a

abXm

图所示直线AB为水平线，若求点M到直线AB的距离，应进行一次投影换面，将直线AB变换为投影面垂直线，则在新的投影体系中，即可求出点M与直线AB之间的距离的实长。将其返回原投影体系中，就可求出距离的投影。AKBA(b)(k)MmHm

b

a

abXmk

km

b

a

abXmX1HV1(b1)a1

k1

m1

作图步骤：1）取新投影轴X1垂直于ab，求出点M与直线AB的新投影m1

和a1b1;2）由点M向直线AB作垂线，与直线AB相交于点K，点K在新投影体系中的投影k1

与a1

b1

重合，连接m1k1

即为所求距离的实长；3）自m引直线平行于X1轴，与ab相交于k；4）由k求出k

，则可求得点M与直线AB的距离MK(mk,m

k

)。例3求点S到平面ABC的距离解求点到平面的距离，需自该点向平面作垂线，求出该垂线与平面相交的的垂足，则该点到垂足的距离，即为所求点到平面的距离。如图(a)可见，当平面垂直于某一投影面时，则由点M向平面所作的垂线MK为该投影面的平行线，且在该投影面上的投影反映实长。

图(b)所示的平面ABC为一般位置平面，求点S到平面的距离时，应先把点S和ABC平面作一次换面，使平面ABC在新的投影体系中为投影面垂直面，再由点S向平面ABC作垂线，则垂足L和点S的连线SL即为所求点S到平面ABC的距离。作图步骤：1）在ABC平面上作水平线CD(cd,c

d

)；2）取X1轴垂直于cd，在V1投影面上求出s1

和a1b1

c1(积聚为一直线）；3）自s1

引a1b1

c1

的垂线与之相交于l1

，则s1l1

即为所求距离的实长；4）自s作X1的平行线，并在其上根据l1

求出l；5）用取面上点的方法求出l

，则线段SL(sl,s

l

)即为所求点到平面的距离。例4求平面ABC和平面ABD间的夹角解由图(a)可见，当两平面同时垂直于某投影面时，这两个平面在此投影面上的投影反映两平面夹角的真实大小。要使两平面同时变换为投影面垂直面，只需将它们的交线变换为投影面垂直线即可。图(b)中，平面ABC和ABD的交线AB为一般位置直线，因此需要两次换面，才能使交线AB变换为投影面垂直线。作图步骤：1）更换V面，作轴X1平行于ab，求出两平面在新的投影体系中的投影a1b1

c1

和a1b1

d1

，此时，交线AB平行于V1面；2）更换H面，作轴X2垂直于a1b1

，求出两平面在新的投影体系中的投影a2b2c2和a2b2d2

，此时交线AB垂直于H2面，

c2a2d2即为所求两平面夹角

的真实大小。例5过点K作一条直线，使其与平面CDE平行，并与直线AB相交。解过定点K作一条直线平行于已知平面CDE，有无穷多解，这些直线的轨迹为一个过点K且平行于

CDE的平面Q。所作的直线还应与直线AB相交，而Q平面与直线AB只有一个公共点，即直线AB与平面Q的交点S。因此KS即为所求直线。作图步骤：1）过K点作平面KFG平行于平面CDE(KF∥CE,KG∥CD)；2）用换面法求直线AB与平面KFG的交点S；3）连接K、S两点，则直线KS(ks,k

s

)即为所求。例7求一般位置交叉两直线AB与CD之间的距离

一般位置直线与一般位置平面相交，其投影都没积聚性，采用换面法将一般位置直线或平面变成投影面的垂直线或垂直面，在新的投影体系中利用积聚性直接求得交点的投影。然后利用所得交点的投影返回到原体系当中，即可求的平面与直线的交点。例8求一般位置直线MN与一般位置平面ABC的交点解

根据上述分析，应采用换面法将平面ABC变换成投影面垂直面，这样就可以在新的投影体系中直接求得交点的投影。作图步骤：1）在平面ABC上作水平线

AD(ad,a

d

);2）作X1轴垂直于ad;3）求出直线MN和平面ABC在V1投影面上的新投影m1

n1

和a1

b1

c1

；4）求出m1

n1

和a1

b1