2027届高考数学一轮总复习7.8翻折问题与探索性问题【课件】

第8节翻折问题与探索性问题研考点•精准突破考点一翻折问题例1

(2025·北京海淀三模)如图,在直角三角形ABC中,AB=BC=3,点E,F分别在线段AB,AC上,且EF∥BC,将△AEF沿EF折起到△PEF的位置,使得二面角P-EF-B的大小为60°.(1)设平面PEB与平面PFC的交线为m,请直接写出m与直线CF的位置关系.(2)若点E为线段AB的靠近B点的三等分点.(ⅰ)求证:PB⊥平面BCFE;(ⅱ)求PC与平面PEF所成角θ的正弦值.(1)解

相交(方法一

寻找交线)如图,在平面EFBC中,因为EFBC为梯形,所以延长CF,交BE延长线于点G.连接PG,因为G∈EB,G∈CF,所以PG⊂平面PEB,PG⊂平面PFC,所以PG即为交线m,PG与CF相交于点G.(方法二

反证法)假设直线m和直线CF不相交,由于两直线都在平面PFC内,所以CF∥m.又CF⊄平面PEB,m⊂平面PEB,所以CF∥平面PEB.又CF⊂平面EFBC,平面EFBC∩平面PEB=EB,所以CF∥EB,矛盾,故直线m和直线CF相交.

规律方法

翻折问题的两个解题策略

[对点训练1](2025·北京海淀三模)如图1,在等腰直角三角形ABC中,AB=4,点D在线段AC上,DE⊥AB,交AB于E,现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置(如图2).图1图2(1)求证:DE⊥PB;(2)若PE⊥BE,AE=1,求直线PD与平面PBC所成的角的正弦值;(3)设平面PDE∩平面PBC=l,试判断l与平面DEBC的位置关系,并说明理由.

(3)解

延长BC,ED交于点M,连接MP,∵DE⊂平面PDE,∴M∈平面PDE,又BC⊂平面PBC,∴M∈平面PBC,又P∈平面PDE,P∈平面PBC,∴平面PDE∩平面PBC=MP,由平面PDE∩平面PBC=l,得l=MP,∵MP∩平面DEBC=M,∴l与平面DEBC相交.考点二与空间角有关的探究性问题

(1)证明:DF∥平面ABE.(2)若直线EF与底面ABCD的交点为G,直线AG上是否存在点N,使得平面EBN与平面ECD的夹角为60°?若存在,求AN的长;若不存在,请说明理由.(1)证明

取CD中点M,连接FM.因为△CDF是正三角形,所以FM⊥CD,又因为平面CDF⊥平面ABCD,平面CDF∩平面ABCD=CD,FM⊂平面CDF,所以FM⊥平面ABCD,因为AE⊥平面ABCD,所以AE∥FM,又因为FM⊂平面CDF,AE⊄平面CDF,所以AE∥平面CDF.因为四边形ABCD为正方形,所以AB∥CD.又因为AB⊄平面CDF,CD⊂平面CDF,所以AB∥平面CDF.又因为AB∩AE=A,AB⊂平面ABE,AE⊂平面ABE,所以平面ABE∥平面CDF.因为DF⊂平面CDF,所以DF∥平面ABE.

规律方法

与空间角有关的存在性问题的解题流程

考点三与空间角有关的最值、范围问题

(1)证明

取AB的中点G,连接DG,交AF于点H.

因为AF⊥DE,DE∩DG=D,DE,DG⊂平面DEG,所以AF⊥平面DEG,又EG⊂平面DEG,故AF⊥EG.由于平面ABE⊥平面ABCD,平面ABE∩平面ABCD=AB,BC⊥AB,故BC⊥平面ABE,又EG⊂平面ABE,则BC⊥EG.因为AF⊥EG,AF∩BC=F,AF,BC⊂平面ABC