西安2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页西安2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数（i为虚数单位），则z的虚部为（

）A．6 B．7i C．7 D．2．化简（

）A． B． C． D．3．学校举办运动会，小明仅参加了两场比赛，下列事件中与事件“小明至少一场比赛获奖”互为对立的是（

）A．小明只有一场比赛获奖 B．小明两场比赛均获奖C．小明至多一场比赛获奖 D．小明两场比赛均未获奖4．已知平面向量，，若，则（

）A． B．2 C． D．45．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则（

）A．5 B． C． D．6．给出下列4个命题，其中正确的是（

）①平行于同一直线的两条直线平行；

②平行于同一直线的两个平面平行；③垂直于同一直线的两个平面平行；

④垂直于同一平面的两个平面平行．A．②③ B．①② C．①③ D．①④7．已知8个样本数据，，，…，的平均数为4，其中，则这8个数据的方差为（

）A．18 B．20 C．24 D．288．晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图1是该建筑的剖面画图.圣母殿以其独特的木构技术、历史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”.现使用图2简单模拟圣母殿的屋顶结构，其中四边形为矩形，，，，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为，圆心角为.已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（

）

A． B． C． D．二、多选题9．已知一组样本数据：4，5，6，8，9，10，则下列说法正确的是（

）A．该组样本数据的极差为6 B．该组样本数据的平均数为7C．该组样本数据的第60百分位数为7 D．该组样本数据的标准差为10．已知复数在复平面内对应的向量，则下列关于复数的说法正确的是（

）A． B．的共轭复数为C． D．11．堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》．如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）．如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥称为阳马，三棱锥称为鳖臑．则（

）A．阳马的四个侧面中仅有两个是直角三角形B．鳖臑的四个面均为直角三角形C．阳马的体积是鳖臑的体积的两倍D．堑堵、阳马与鳖臑的外接球的半径都相等三、填空题12．已知，则____________．13．在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率为_____________．14．如图，四面体中，，，分别为的中点．若异面直线与互相垂直，则的长为________．四、解答题15．已知平面向量，的夹角为，且，，．(1)若，求；(2)若，求实数．16．已知某黑箱子中放着编号的n张纸条，每张纸条除了编号不同其他完全一致，现随机抽取一张纸条，记随机事件“抽出的纸条上的编号小于3”，随机事件“抽出的纸条上的编号是偶数”.(1)当时，计算、、，并判断随机事件A与B是否相互独立；(2)当时，计算、、，并判断随机事件A与B是否相互独立．17．在中，角，，的对边分别为，，，已知．(1)求；(2)若，且的面积等于，求的周长．18．某高中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）．(1)求身高在区间的学生人数；(2)将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人．①求从这三个组分别抽取的学生人数；②若要从6名学生中抽取2人，求B组中至少有1人被抽中的概率．19．在四棱锥中，平面平面ABCD，，底面ABCD为菱形，，，E，F分别是SA，BC的中点．

(1)求证：平面SCD；(2)求二面角的余弦值；(3)求点B到平面SCD的距离．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案题号1234567891011答案CADBDCBBABACDBCD1．C【详解】由题意知，z的虚部为2．A【详解】可知.3．D【分析】直接利用对立事件的定义判断即可.【详解】小明仅参加了两场比赛，情况如下：①两次都获奖；②只有一次获奖；③两次均未获奖，所以与事件“小明至少一场比赛获奖”互为对立的事件是“小明两场比赛均未获奖”.4．B【详解】因为，，，所以，解得.5．D【详解】由正弦定理，得.6．C【分析】利用平行线的传递性、线面垂直的性质定理判断正确命题，借助长方体模型排除错误命题即可.【详解】对于①，根据平行线的传递性，平行于同一直线的两条直线平行，故①正确；对于②，若取长方体，易得平面，且平面，但平面与平面相交，故②错误；③根据线面垂直的性质定理，垂直于同一直线的两个平面平行，故③正确；④若取长方体，平面与平面都垂直于平面，但平面与平面相交，故④错误.综上，正确的命题为①③.7．B【详解】因8个样本数据，，，…，的平均数为4，记为，则可得，又，则．8．B【分析】将区域还原到圆柱中求得其面积，由区域和全等可求得总面积.【详解】由题意可知区域和全等，且都是底面半径为，高为的圆柱的侧面的一部分，将区域还原到如图所示圆柱中.

由图可知，，，由扇形的弧长公式可知，的长为，结合圆柱的侧面积公式可知，所以，所以被瓦片覆盖的区域和的总面积为.故选：B9．AB【详解】由题知，该组样本数据的极差为，A正确；平均数为，B正确；因为，故第60百分位数为第4个数据8，C错误；方差：，标准差：，D错误.10．ACD【详解】由题意知，，其共轭复数为，故A正确；B错误；又，故C正确；，故D正确.11．BCD【分析】对于A，根据阳马的定义结合线面垂直的判定与性质分析判断，对于B，根据鳖臑的定义结合线面垂直的判定与性质分析判断，对于C，根据棱锥的体积公式结合已知条件分析判断，对于D，根据堑堵、阳马与鳖臑的定义分析判断.【详解】对于A，如图，由题意可知平面，平面，所以，因为平面，平面，所以，因为平面，平面，所以，所以阳马的四个侧面都是直角三角形，所以A错误，对于B，如图由题意可知平面，平面，所以，因为平面，平面，所以，所以鳖臑的四个面均为直角三角形，所以B正确，对于C，设长方体的长，宽，高分别为，则，所以阳马的体积，鳖臑的体积，所以阳马的体积是鳖臑的体积的两倍，所以C正确，对于D，由题意可知堑堵、阳马与鳖臑都是由同一个长方体分割而成，且堑堵、阳马与鳖臑的顶点都是原长方体的顶点，所以堑堵、阳马与鳖臑均可以补成原长方体，所以它们的外接球的半径都等于原长方体外接球的半径，所以D正确.故选：BCD12．【详解】设为坐标原点，因为，所以，，所以.13．0.45【分析】根据给定条件，利用频率的定义求解.【详解】正面向上的频率为：.故答案为：14．/【分析】取中点，连接，可得，，且，根据勾股定理即可求解.【详解】取中点，连接，又分别为的中点，所以，，又，，异面直线与互相垂直，所以，，且，所以，即.15．(1)(2)【分析】（1）由向量的模长公式计算即可；（2）由向量的数量积公式列方程求解即可.【详解】（1）当时，，则，所以.（2）当时，，解得．16．(1)，，，随机事件A与B相互独立(2)，，，随机事件A与B不相互独立【分析】（1）、（2）先根据古典概率定义计算、、，再根据事件相互独立的成立条件判定即可.【详解】（1）由题意得，时，样本空间包含6个等可能样本点，其中随机事件A包含2个等可能样本点，随机事件B包含三个等可能样本点，随机事件包含1个样本点，所以，，，因为此时，所以随机事件A与B相互独立．（2）由题意得，时，样本空间包含7个等可能样本点，其中随机事件A包含2个等可能样本点，随机事件B包含三个等可能样本点，随机事件包含1个样本点，所以，，，因为此时，所以随机事件A与B不相互独立．17．(1)(2)【详解】（1）因为，由正弦定理得，因为，所以，所以，即，，因为，所以，得，即.（2）因为，所以，所以由余弦定理得，，因为，，所以，所以的周长为.18．(1)30人(2)①3人，2人，1人；②【分析】（1）根据频率分布直方图的概念，求出身高在区间的频率。进而根据总人数，求出这一区间的学生人数；（2）根据分层抽样的概念和方法，分别求出这三组的人数，根据比例求出各组抽取的人数，再根据古典概率公式，求出事件的概率；【详解】（1）设的频率为，由频率分布直方图可知，解得．所以身高在区间的学生人数为（人）．（2）①，，三组的人数分别为30人，20人，10人．因此三组中每组各抽取（人），（人），（人）．②设组的3位同学为，，，组的2位同学为，，组的1位同学为，则从6名学生中抽取2人有15种可能：，，，，， ，，，，，，，，，．其中组的2位学生至少有1人被抽中有9种可能：，，，，，，，，．所以组中至少有1人被抽中的概率为．19．(1)取SD的中点M，连接ME，MC，因为E，M分别为SA，SD的中点，则且，又因为F为BC的中点，且四边形ABCD为菱形，则且，可得且，可知四边形EFCM是平行四边形，则，且平面SCD，平面SCD，所以平面SCD．(2)(3)【分析】（1）作辅助线，可证，结合线面平行的判定定理分析证明；（2）作辅助线，根据线面垂直分析可知为二面角的平面角，即可得结果；（3）由（2）可知：平面ABCD，利