2025-2026学年上海市普陀区甘泉外国语中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市普陀区甘泉外国语中学高一（下）期末数学试卷一、填空题（共有12题，满分54分）1．已知复数（其中为虚数单位），则．2．半径为6，圆心角等于的扇形的面积是．3．等比数列中，，，则．4．曲线在点处的切线方程为．5．已知，，则向量在向量方向上的投影向量为（用坐标表示）．6．记等差数列的前项和为，若，则．7．函数的减区间为．8．如图，在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则．9．设方程的两个根为、，且，则实数的值是．10．在△中，，，分别为内角，，所对的边，，，且，则△的面积为．11．如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面米处观看？（精确到0.1米）12．对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列的“好数”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是．二、选择题（本大题共有4题，满分18分）13．已知，，则的值为（）A． B． C． D．14．若函数图象如图，则图象可能是（）A． B． C． D．15．已知数列为各项均不相等的等比数列，其前项和为，且，，成等差数列，则（）A．3 B． C．1 D．16．设，，函数若函数恰有3个零点，则（）A．， B．， C．， D．，三、解答题（本大题共有5题，14+14+14+18+18＝78分）17．已知数列的前项和为，．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．18．已知为虚数单位，、是实系数一元二次方程的两个虚根．（1）设、满足方程，求、；（2）设，复数、所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围．19．2025年春晚《秧》节目将机器人元素融入舞台，展示了我国在机器人研发领域的卓越实力．某机器人研发团队设计了一款机器狗捕捉足球游戏，在如图所示的矩形中，在点处放置机器狗，在的中点处放置足球，它们做匀速直线运动，且无其他外界干扰．已知米，足球运动速度为米秒，设机器狗在点处捕捉到足球，若点在矩形内（含边界），则捕捉成功．记足球和机器狗的运动方向与所成夹角分别为．（1）当长度不受限制，时，机器狗以米秒的速度捕捉足球，则为何值时，机器狗能捕捉成功？（2）已知足球与机器狗运动方向所成夹角为长度不受限制，当机器狗成功捕捉足球时，求机器狗与足球运动的总路程的最大值．20．（18分）已知函数．（1）求函数的周期；（2）若函数，求函数在区间上的值域；（3）若恒成立，试求实数的取值范围．21．（18分）若函数在处取得极值，且（常数，则称是函数的“相关点”．（1）若函数存在“相关点”，求的值；（2）若函数（常数存在“1相关点”，求的值：（3）设函数的表达式为（常数、、且，若函数有两个不相等且均不为零的“2相关点”，过点存在3条直线与曲线相切，求实数的取值范围．

参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分）1．已知复数（其中为虚数单位），则2．解：复数（其中为虚数单位），则，故答案为：2．2．半径为6，圆心角等于的扇形的面积是．解：由扇形的面积公式可知，半径为6，圆心角等于的扇形的面积为．故答案为：．3．等比数列中，，，则4．解：等比数列中，，，，解得，，．故答案为：4．4．曲线在点处的切线方程为．解：由，得，则，曲线在点处的切线方程为．故答案为：．5．已知，，则向量在向量方向上的投影向量为（用坐标表示）．解：，，则向量在向量方向上的投影向量为：．故答案为：．6．记等差数列的前项和为，若，则110．解：根据题意，数列为等差数列，有，若，则，必有，故．故答案为：110．7．函数的减区间为．解：函数的定义域为，求函数的导数，得，令，解得，，时，函数为减函数．函数的单调减区间为．故答案为：．8．如图，在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则．解：，是对角线上靠近点的三等分点，则点在上，则，即，解得，．故答案为：．9．设方程的两个根为、，且，则实数的值是2或0．解：由一元二次方程根与系数的关系得：，，当、为虚数根时，原方程的根是即故答案为：2或0．10．在△中，，，分别为内角，，所对的边，，，且，则△的面积为．解：根据题意可知，及正弦定理可得，又，所以，由知，故，所以，即，所以，，所以．故答案为：．11．如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面3.2米处观看？（精确到0.1米）解：设点在直线上的射影为，则就是小明与大屏幕所在平面的距离，由题意得，，设，则，，可得，当且仅当，即时取等号，结合正切函数在锐角范围内是增函数，可知：当时，小明可以获得观看的最佳视野．故答案为：3.2．12．对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列的“好数”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是．解：由题意可知，，则时，，两式相减得：，，又，，满足，故，，显然是等差数列，对任意的恒成立，中最大，则，解得：，故实数的取值范围是：，．二、选择题（本大题共有4题，满分18分）13．已知，，则的值为（）A． B． C． D．解：，，，．故选：．14．若函数图象如图，则图象可能是（）A． B． C． D．解：由的图象可知，在上单调递增，排除选项和，，在处的切线斜率为0，排除选项，故选：．15．已知数列为各项均不相等的等比数列，其前项和为，且，，成等差数列，则（）A．3 B． C．1 D．解：设等比数列的公比为，，，，成等差数列，，，化为，解得（舍去）或．当时，，故选：．16．设，，函数若函数恰有3个零点，则（）A．， B．， C．， D．，解：当时，，得；最多一个零点；当时，，，当，即时，，在，上递增，最多一个零点．不合题意；当，即时，令得，函数递增，令得，，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在，上有2个零点，如右图：且，解得，，．，故选：．三、解答题（本大题共有5题，14+14+14+18+18＝78分）17．已知数列的前项和为，．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．解：（1）由数列的前项和为，，当时，由得，，两式相减得，即为，当时，，得，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，且．（2）由（1）知，所以，所以，即．18．已知为虚数单位，、是实系数一元二次方程的两个虚根．（1）设、满足方程，求、；（2）设，复数、所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围．解：（1）因为、是实系数一元二次方程的两个虚根，所以设，．则，即，所以，，解得，，所以或．（2）由题意：，，故，故．由于向量与的夹角为钝角，设两向量夹角为，故，解得，故．19．2025年春晚《秧》节目将机器人元素融入舞台，展示了我国在机器人研发领域的卓越实力．某机器人研发团队设计了一款机器狗捕捉足球游戏，在如图所示的矩形中，在点处放置机器狗，在的中点处放置足球，它们做匀速直线运动，且无其他外界干扰．已知米，足球运动速度为米秒，设机器狗在点处捕捉到足球，若点在矩形内（含边界），则捕捉成功．记足球和机器狗的运动方向与所成夹角分别为．（1）当长度不受限制，时，机器狗以米秒的速度捕捉足球，则为何值时，机器狗能捕捉成功？（2）已知足球与机器狗运动方向所成夹角为长度不受限制，当机器狗成功捕捉足球时，求机器狗与足球运动的总路程的最大值．解：（1）在△中，为，，由正弦定理知，即，所以，解得，因为，所以，此时，因为，所有点在矩形内，捕捉成功．（2）在△中，由余弦定理知，故，当且仅当时等号成立，整理得，即，此时，故机器狗与足球运动的总路程的最大值为8米．20．（18分）已知函数．（1）求函数的周期；（2）若函数，求函数在区间上的值域；（3）若恒成立，试求实数的取值范围．解：（1）因为，所以的周期．（2）由（1）知，当时，，，所以，，所以，所以函数区间上的值域为．（3）因为，所以当时，．恒成立，等价于，所以，即，解得，所以实数的取值范围为，．21．（18分）若函数在处取得极值，且（常数，则称是函数的“相关点”．（1）若函数存在“相关点”，求的值；（2）若函数（常数存在“1相关点”，求的值：（3）设函数的表达式为（常数、、且，若函数有两个不相等且均不为零的“2相关点”，过点存在3条直线与曲线相切，求实数的取值范围．解：（1）因为在处取得极值（最值），由，解得．（2）记，在处取得极值且，由得，所以且，所以，由，得，设，所以，所以函数在区间上严格单调递增，又（1），所以方程有唯一实数根，即，解得，当时，，，，令，得或（舍去），所以在上，单调递减，在上，单调递增，所以