2025-2026学年上海市普陀区同济大学二附中高一（上）期中数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市普陀区同济大学二附中高一（上）期中数学试卷一、填空题（共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．计算．2．已知集合，，则．3．将化成有理数指数幂的形式为．4．用反证法证明命题：“设，．若，则或”时，假设的内容应该是．5．若，，则，的大小关系为．6．已知一元二次不等式的解集为，，，则一元二次不等式的解集是．7．若，则的值为．8．设，方程的解集是．9．已知，，则．10．已知，，且，则的最小值为．11．若不等式的解集为，则实数的取值范围是．12．若关于的不等式恰好有4个整数解，则实数的范围为．二、选择题（本大题共有4题、1满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题份题5分，每题有且只有一个正确选项）13．若，则下列不等式中不能成立的是（）A． B． C． D．14．“且”是“且”的条件．A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要15．污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料．该厂的污水处理装置每小时从处理池清除掉的污染残留物．要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为（）A．14小时 B．18小时 C．20小时 D．24小时16．已知表示不超过的最大整数，集合，，且，则集合的子集个数为（）A．4 B．8 C．16 D．32三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．解下列不等式与方程组．（1）解含绝对值的不等式：；（2）设，求关于与的二元一次方程组的解集．18．已知关于的一元二次方程有实数根．（1）求实数的取值范围；（2）取，设这个一元二次方程两个根为，，求．19．如图，为了开展劳动教育，某校在操场内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区．设育苗区的长为，宽为．（1）若育苗区面积为，则，为何值时，所用篱笆总长最小；（2）若使用的篱笆总长为，则，为何值时，篱笆所围的育苗区面积最大；20．（18分）已知集合．（1）若，求集合；（2）若，求实数的取值范围；（3）若，求实数的取值范围．21．（18分）已知集合，，，，，，若，，或，则称集合具有“包容”性．（1）判断集合，1，2，和集合，0，1，是否具有“包容”性；（2）若集合，，具有“包容”性，求的值；（3）若集合具有“包容”性，且集合的子集有64个，，试确定集合．

参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．计算4．解：，故答案为：4．2．已知集合，，则．解：集合，，由，得，则．故答案为：．3．将化成有理数指数幂的形式为．解：．即化成有理数指数幂的形式为：．故答案为：．4．用反证法证明命题：“设，．若，则或”时，假设的内容应该是且．解：由反证法可知，假设的内容应该是且，故答案为：且．5．若，，则，的大小关系为．解：因为，所以，故答案为：．6．已知一元二次不等式的解集为，，，则一元二次不等式的解集是，，．解：因为的解集为，，，则方程的两根为和2，则有，即，，则等价于，得，解得，故不等式的解集为，，．故答案为：，，．7．若，则的值为．解：因为，所以．故答案为：．8．设，方程的解集是，，．解：当时，方程为，等式成立；当时，方程为，解得，舍去；当时，方程为，等式成立；综上，方程的解集为，，．故答案为：，，．9．已知，，则．解：因为，，所以．即．故答案为：．10．已知，，且，则的最小值为．解：由题意，，且，即，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为．故答案为：．11．若不等式的解集为，则实数的取值范围是．解：①当，即时，，解得；②当，即时，若，则原不等式为，恒成立；若，则原不等式为，即，不符合题目要求，舍去．综上所述，当时，原不等式的解集为．故答案为：．12．若关于的不等式恰好有4个整数解，则实数的范围为．解：因为，所以由题意当且仅当不等式恰好有4个整数解，且，所以首先，解得，又方程的根为，即或，所以不等式的解集为，因为，所以，所以不等式的4个整数解只能是2，3，4，5，所以，又因为，所以解得，即实数的范围为．故答案为：．二、选择题（本大题共有4题、1满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题份题5分，每题有且只有一个正确选项）13．若，则下列不等式中不能成立的是（）A． B． C． D．解：对于选项，，，，即，故不等式成立；对于选项，，，故不等式成立；对于选项，，，即，故不等式成立；对于选项，，，故不等式不成立；故选：．14．“且”是“且”的条件．A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要解：根据同向不等式的性质，前者能推出后者，反之，不成立，比如，，，，推不出前者，故前者时后者的充分不必要条件条件，故选：．15．污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料．该厂的污水处理装置每小时从处理池清除掉的污染残留物．要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为（）A．14小时 B．18小时 C．20小时 D．24小时解：设经过小时，处理池中的污染物水平降到最初的，则，则．故选：．16．已知表示不超过的最大整数，集合，，且，则集合的子集个数为（）A．4 B．8 C．16 D．32解：根据题意，集合，，且，，又，①当时，则2是的根，，，1，2，；②当时，则1是的根，，，2，1，，综合①②可得集合的元素有4个，集合的子集的个数为．故选：．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．解下列不等式与方程组．（1）解含绝对值的不等式：；（2）设，求关于与的二元一次方程组的解集．解：（1）当时，不等式显然成立，当时，因为，则，得，得，又，得，综上知，不等式解集为．（2）因为，两式相减，得到，当时，，代入方程组中的第一式，得到，此时，原方程组的解集为，当时，方程无解，从而原方程组无解，其解集为空集．综上知，当时，解集为；当时，解集为．18．已知关于的一元二次方程有实数根．（1）求实数的取值范围；（2）取，设这个一元二次方程两个根为，，求．解：（1）因为关于的一元二次方程有实数根，所以，解得：且，所以实数的取值范围是．（2）当，一元二次方程即为，所以，所以．19．如图，为了开展劳动教育，某校在操场内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区．设育苗区的长为，宽为．（1）若育苗区面积为，则，为何值时，所用篱笆总长最小；（2）若使用的篱笆总长为，则，为何值时，篱笆所围的育苗区面积最大；解：（1）依题意，所用篱笆总长为，而，当且仅当，即，时取等号，所以育苗区的长为，宽为时，所用篱笆总长最小；（2）依题意，所以篱笆所围的育苗区面积为，当且仅当，即时等号成立，所以育苗区的长为，宽为时，篱笆所围的育苗区面积最大．20．（18分）已知集合．（1）若，求集合；（2）若，求实数的取值范围；（3）若，求实数的取值范围．解：（1）当时，；（2）因为，，又，则，所以，解得：，所以的范围为：；（3）由可得：，当时，此时，而，若，则满足题意，当时，不等式解集为，此时满足；当时，此时，而，若，则或，解得或，则或，综上：实数的取值范围为：或．21．（18分）已知集合，，，，，，若，，或，则称集合具有“包容”性．（1）判断集合，1，2，和集合，0，1，是否具有“包容”性；（2）若集合，，具有“包容”性，求的值；（3）若集合具有“包容”性，且集合的子集有64个，，试确定集合．解：（1）集合，1，2，中的，1，2，，，1，2，，所以集合，1，2，不具有“包容”性，集合，0，1，中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合，0，1，，所以集合，0，1，具有“包容”性；（2）已知集合，，具有“包容”性，记，，，则，易得，，，从而必有，，，不妨令，则，0，，且，则，，0，，且，，0，，①当，0，时，若，得，此时，0，具有包容性；若，得，舍去；若，无解；②当，0，时，则，，0，，由且，可知无解，故，0，．综上，；（3）因为集合的子集有64个，所