物理大地测量学基础期末试卷A、B答案

武汉大学测绘学院

2005-2006学年度第二学期期末考试

《物理大地测量学》课程试卷（A卷）答案要点及评分标准

出题者罗志才审核人学生班级

一、名词解释（共20分，每小题4分）

1、扰动位：某点户的扰动位等于该点的重力位与正常重力位之差，即

T（P）^W（P）-U（P）o

2、重力垂线偏差：指某点的重力方向与该点的正常重力方向之间的夹角，垂线

偏差描述了大地水准面的倾斜。

3、大地水准面：如果在某曲面上重力位处处相等，则此曲面称为重力等位面，

又称为水准面。设想海洋面处于静止状态，则海洋面上的重力必然垂直于海洋面,

否则，海水必然会流动。因此，处于静止状态的海洋面与一个重力等位面重合。

这个假想的静止海洋面向整个地球大陆内部延伸形成的封闭曲而，称为大地水准

面。大地水准面是高程测量中正高系统的起算面。

4、GPS水准测量：在其点上实施GPS测量获取该点的大地高，同时在该点实施

精密水准测量获取该点的正常高或正高（考虑重力场改正），则可以获得该点的

大地水准面高或高程异常，即"二方-月'或，二方-月，

5、重力：（1）狭义定义：地球所有质量对任一质点所产生的引力与该点随地球

相对于惯性中心运动而引起的的离心力之合力；（2）广义定义：宇宙间全部物

质对任一质点所产生的引力与该点随地球相对于惯性中心运动而引起的的离心

力之合力。

二、简答题（共50分）

1、简述物理大地测量学的主要任务及学科内容。（5分）

答：主要任务：用物理方法研究和测定地球形体、地球重力场及各自随时间的变

化，又称地球（大地）重力学。

学科内容：（1）重力位理论：它是利用重力以及同重力有关的卫星观测资料确

定地球形状及其外部重力场的理论基础，主要研究重力位函数的数学特性和物理

特性；（2）地球形状及其外部重力场的基本理论：主要研究解算位理论边值问

题，例如按斯托克斯理论或莫洛坚斯基理论或布耶哈默尔理论等解算，以此推求

大地水准面形状或真正地球形状和地球外部重力场；（3）全球性地球形状：利

用全球重力以及同重力有关的卫星观测资料，按确定地球形状及其外部重力场的

基本理论，推求以地球质心为中心的平均地球椭球的参数，以此建立全球大地坐

标系，并在此基础上推求全球重力场模型、大地水准面差距、重力异常和重线偏

差等。（4）区域性地球形状：按确定地球形状及其外部重力场的基本理论，采

用局部地区的天文、大地和重力资料，将含有地球重力场影响的地面各种大地测

量数据归算到局部大地坐标系中，以此建立国家大地网和国家水准网。利用地面

重力资料、卫星测高资料、卫星跟踪卫星数据及其他重力场信息，推求高精度高

分辨率区域重力场和大地水准面模型。（5）重力探测技术：研究获取地球重力

场信息的技术和方法，包括地面重力测量、海洋重力测量、航空重力测量、卫星

雷达测高、卫星跟踪卫星、卫星重力梯度测量等的技术原理和数据处理方法。

2、简述地球引力位球喈展开式中零阶项、一阶项和二阶项的物理意义。（7分）

答：地球引力位球谐展开式为：

*Ir■

/=Z』4A（cos60♦Z（48睛4+*SinkX）片（cos0）

»-0PA4.

%=/（cos⑺史^

其中，P\P,这表示地球质量全部集中在地球质心上所产

生的引力位，因此零阶项与地球质量有关。

V==（4CQ§8+4'swScos4+8；sw8sin4）

x”,该项与地球质心坐标有关，如果将坐

标原点选在地球质心，则（=°。

4（gco$8-g）+匈（3$m&cos^cos4）+3；（3院口6co$2）+@（3sin’6co$24）

+£j（3sin26sin2A）

二阶项与地球的惯性积和地球形状有关，如果将坐标轴选在地球的主惯性轴上，

则尺=用=星=0；如果地球是一个旋转体，即赤道是圆，则对=。。

3、简述地球引力位的性质。（8分）

答：（1）引力位函数对任意方向的导数等于引力在该方向上的分力；（2）从

物理学的观点看，引力位与未能的数值相同，符号相反，相当于引力将单位质量

移到无穷远处所做的负功；（3）引力位是一个在无穷远处的正则函数；（4）

质面引力位是连续的、有限的和唯一的，而其一阶导数在经过层面时是不连续的；

（5）双层位在穿过层面时不连续；（6）质体的引力位及其一阶导数是处处连

续的、有限的和唯一的，而其二阶导数在密度发生突变时是不连续的；（7）质

体引力位在吸引质量外部满足拉普拉斯方程；（8）质体引力位在质体内部满足

泊松方程。

4、确定高精度高分辨率大地水准面的主要意义是什么？（7分）

答：在经典大地测量中，地球重力场对大地测量相对定位起辅助性作用，主要应

用于确定参考椭球及其定位、地面观测数据（距离、方向等）归算到参考椭球面

上、精密水准测量的地球重力场改正等。以空间技术为主要手段的现代大地测量

是三维地心定位的全球大地测量，精密的地球重力场信息在空间大地测量中起关

键性作用：（1）大地水准面或似大地水准面是获取地理空间信息的高程基准面;

（2）GPS技术结合高精度高分辨率大地水准面模型可取代传统的水准测量方法

测定正高或正常高，真正实现GPS技术在几何和物理意义上的三维定位功能；

（3）为卫星大地测量定位提供精细地球重力场模型的支持；（4）精细的地球

重力场时变信息有助于研究和认识某些地球动力学现象，从而为资源环境监测、

减灾防灾等提供重要的科学依据。

5、确定地球正常重力场的目的是什么？通常采用哪些方法和参数来确定正常重

力场？（8分）

答：主要目的：地球正常重力场是实际地球重力场的近似，将地球重力场的求解

归结为扰动场或异常重力场（微小量）的求解，保证了其解的存在性，并方便求

解。

方法：通常采用Stokes方法和Laplace方法确定地球正常重力场。

参数：正常重力场通常由参数1、4=加、4=/（力・@、匕、尸、o中

的任意四个参数确定。

6、基于Stokes理论和Molodensky理论确定地球重力场的主要区别是什么？（8

分）

答:基于Stokes边值问题和Molodensky边值问题确定地球重力场的主要区别为:

（1）边界面不同，前者为大地水准面，而后者为池球表面；（2）边值条件不同，

前者是已知大地水准面上的重力异常，而后者则是已知地球表面上的重力异常；

（3）解的结果不同，前者是求解大地水准面上及其外部的扰动位，而后者是求

解地球表面上及其外部的扰动位；（4）前者需要将地面上的重力观测值归算到

大地水准面上，必须进行地壳密度假设，因而所求得的大地水准面为调整后的大

地水准面\而后者无需进行这样的归算，只需将正常重力按严密公式归算到似地

球表面即可，不需要地壳密度假设；（5）前者为求解法向导数问题，相对较容

易，而后者为求解斜向导数问题，相对较难，并且为了求解高精度的大地水准面

需要更多的地形资料。

7、基于Stokes理论确定地球重力场时为什么要进行重力归算？通常采用哪些

归算方法？（7分）

答：为了利用Stokes理论确定地球重力场，必须进行重力归算，其目的是：（1）

使大地水准面（边界面）外部没有质量存在；（2）给出边界面上的边值，即将

重力观测值归算到大地水准面上。

主要归算方法：空间改正、布格改正、地形改正、均衡改正等。

三、推证题（共30分）

1、给出正高、正常高及力高的定义和性质，并证明大地水准面高/V与高程异常

7之间的关系为：s,其中g为实际重力平均值，y为正常重力平

均值，H为正常高。（15分）

答：正高：沿某点8的垂线方向到大地水准面的距离月L称为6点的正高，其

计算公式为：

5

式中C为位基数；g”为沿地面点B的垂线至大地水准面之间的平均重力值.因

不能准确知道用于计算g*的地面和大地水准面之间的岩层密度分布，因此只能

求得正高的近似值，同一重力等位面上正高不一定相等。

正常高：某点的正常高定义为该点沿正常重力线方向至似大地水准面的距离，即

7

式中心是平均正常重力。正常高可以精确计算，并且同一重力等位面上正常高

不一定相等。。

力高：力高按下式定义：

HJW

%

式中凡是适当选择的其一纬度环处（例如采用45°或某一地区的平均纬度）的

正常重力值。力高一般不作为国家的高程系统，只用于解决局部地区有关水利建

设的问题，同一水准面上各点的力高具有相同的高程值。

证明：正高、大地水准面高与正常高、高程异常具有如下关系：

即

_乙印

又根据正高和正常高的定义式可知：S

",=可上卬=三工H，

因此，gS

2、证明外部第一边值问题的解是唯一的。（提示：利用外部第一格林公式，即

14

+D（u,，匕）口7二.J"左da

）（15分）

证明：假设解不是唯一的.则在b外有两个调和并在无穷远处正则的函数％和6同时满足

。上的边界条件，记7=匕■匕，则丁也是在。外调和并在无穷远处正则的函数。

将外部第一格林公式应用于7,并在该式中令“=>=7,则有

dT

何7+0（7；7）收=-0da

dn

根据条件在工内AT=O及在。面上T|,二°,则上式为:

］。（匚加=0

要使上式成立，则必须在b外任意点上都满足下列条件：

名—=0

dxdydz

即T为常数。又根据T是在无穷远处的正则函数，则丁只能等于零，亦即匕=6,

这证明解是唯一的。

武汉大学测绘学院

2005-2006学年度第二学期期末考试

《物理大地测量学》课程试卷（B卷）答案要点及评分标准

出题者罗志才审核人学生班级

一、名词解释（共20分，每小题4分）

1、大地水准面高：大地水准面与平均椭球体表面之间的距离，即大地水准面沿

铅垂线方向到平均椭球体表面的距离。

2、重力垂线偏差：指某点的重力方向与该点的正常重力方向之间的夹角，垂线

偏差描述了大地水准面的倾斜。

3、扰动重力：某点尸的扰动重力是指该点的重力与正常重力之差，即

电⑺“⑺-心）。

4、高程异常，：似大地水准面与平均椭球体表面之间的距离，即似大地水准面沿

正常重力线方向到平均椭球体表面的距离。

5、重力：（1）狭义定义：地球所有质量对任一质点所产生的引力与该点随地球

相对于惯性中心运动而引起的的离心力之合力；（2）广义定义：宇宙间全部物

质对任一质点所产生的引力与该点随地球相对于惯性中心运动而引起的的离心

力之合力。

二、简答题（共50分）

1、简述确定地球重力场的主要意义。（6分）

答：地球重力场反映地球物质的空间分布、运动和变化，确定地球重力场的精细

结构及其时间相依变化将为现代地球科学解决人类面临的资源、环境和灾害等紧

迫课题提供基础地学信息。（1）地球重力场在测绘科学中主要应用于：各种大

地测量数据（如天文经纬度、方位角、水平角、高度角、距离和水准测量结果）

的归算、推求地球椭球或参考椭球的参数、建立全球高程基准、GPS测定正高

（或正常高）、精密定位及卫星精密定轨等；（2）在相关地球科学中应用于研

究地球深部结构及海洋洋流变化、固体地球均衡响应、冰后回弹、地幔和岩石圈

密度变化、地球物理勘探、海洋洋流和大气质量分布变化等；（3）在国防和军

事科学中为建立高技术信息作战平台和现代军事技术提供高分辨率高精度地球

重力场信息，如侦察低轨航天器轨道的设计和轨道确定、提高陆基远程战略武器

的打击精度及生存能力、提高水下流动战略武器（潜艇载战略导弹）打击精度、

对地观测干星的精密定轨等c

2、简述正高、正常高和力高的定义、性质及与水准测量高程的关系。（8分）

答：正高：沿某点8的垂线方向到大地水准面的距离月L称为6点的正高，其

计算公式为：

5

式中C为位基数；g”为沿地面点B的垂线至大地水准面之间的平均重力值。因

不能准确知道用于计算g。的地面和大地水准面之间的岩层密度分布，因此只能

求得正高的近似值，同一重力等位面上正高不一定相等。

%=空=汽曲+曲

与水准测量高程的关系为：。

正常高：某点的正常高定义为该点沿正常重力线方向至似大地水准面的距离，即

C

Hr=—

7

式中y*是平均正常重力。正常高可以精确计算，并且同一重力等位面上正常高

不一定相等。

%=空=£切+3J；（g-力必

与水准测量高程的关系为：八。丫1O

力高：力高按下式定义：

HJB

%

式中凡是适当选择的其一纬度的处（例如采用45c或某一地区的平均纬度）的

正常重力值。力高一般不作为国家的高程系统，只用于解决局部地区有关水利建

设的问题，同一水准面上各点的力高具有相同的高程值。

~A

_1犬一=工曲+上］：（g-八）曲

与水准测量高程的关系为：一〃。。

3、简述扰动位的定义、性质及作用。（8分）

答：定义：某点F的扰动位等于该点的重力位与正常重力位之差，即

T（P）=卬⑺-g

性质：在物理大地测量学中扰动位具有与地球引力位相同的性质，即（1）扰动

位对任意方向的导数等于扰动重力在该方向上的分力；（2）扰动位是一个在无

穷远处的正则函数；（3）扰动位及其一阶导数是处处连续的、有限的和唯一的,

而其二阶导数在密度发生突变时是不连续的；（4）扰动位在吸引质量外部满足

拉普拉斯方程；（5）扰动位在质体内部满足泊松方程。

作用：扰动位是微小量，在确定地球形状及外部重力场中起改正作用，其它重力

场参数均可表示成扰动位的泛函，一旦确定了扰动位，其它重力场参数即可确定。

4、举例说明GPS技术结合高精度大地水准面的主要应用？（7分）

答：大地水准面或似大地水准面是获取地理空间信息的高程基准面，GPS技术

结合高精度高分济率大地水准面模型可取代传统的水准测量方法测定正高或正

常高，真正实现GPS技术在几何和物理意义上的三维定位功能。如GPS技术

结合高精度大地水准面可研制GPS测图一体化系统，应用于平面和高程测量一

体化、地形图或地籍图测绘、竣工图测绘、GIS数据采集、施工放样及资源环

境监测等。

5、简述基于自由落体原理测定绝对重力的基本方法。（5分）

答：根据自由落体原理：勺"，其中以为自由落体的下落距掰，%为

自由落体的起始高度，：为从起始高度起算的下落时间，也是下落初速度，只要

测定了这些参数的值，则即可测定绝对重力8。为了提高测定绝对重力的精度，

通常可以采用自由落体二位置法和对称自由运动的方法（上抛法）来测定绝对重

力。

6、基于Stokes理论和Molodensky理论确定地球重力场的主要区别是什么？（8

分）

答:基于Stokes边值问题和Molodensky边值问题确定地球重力场的主要区别为:

（1）边界面不同，前者为大地水准面，而后者为池球表面；（2）边值条件不同，

前者是已知大地水准面上的重力异常，而后者则是已知地球表面上的重力异常；

（3）解的结果不同，前者是求解大地水准而上及其外部的扰动位，而后者是求

解地球表面上及其外部的扰动位；（4）前者需要将地面上的重力观测值归算到

大地水准面上，必须进行地壳密度假设，因而所求得的大地水准面为调整后的大

地水准面，而后者无需进行这样的归算，只需将正常重力按严密公式归算到似地

球表面即可，不需要地壳密度假设；（5）前者为求解法向导数问题，相对较容

易，而后者为求解斜向导数问题，相对较难，并且为了求解高精度的大地水准面

需要更多的地形资料。

7、简述空间改正、层间改正、地形改正和均衡改正的物理意义。（8分）

答：空间改正：归算时不去考虑地面与大地水准面之间的质量，只考虑高度对重

力的改正，被认为是将大地水准面外的质量压入到大地水准面内对地面重力观测

值的影响，不改变地球的总质量。

层间改正：设地球表面和大地水准面均为平面，去掉这两个平面之间的质量对地

面重力观测值的影响，使地球总质量减小。

地形改正：计算点周围地形起伏的质量对计算点重力值的影响，包括局部地形改

正和完全地形改正，局部地形改正始终为正值。

均衡改正：调整地壳的质量，使地壳的密度达到均衡状态，不改变地球的总质量。

三、推证题（共30分）

1、推导地球引力位的球函数展开式，分别解释其中零阶项、一阶项和二阶项的

物理意义，并说明利用Laplace方法确定地球正常重力场的基本原理。（15分）

答：地球引力位的定义为：

119

将尸展开并引入勒让德多项式，得：/MqZ

定义Stokes常数，得到地球引力位的球谐展开式如下：

42(8$与+X(dcos上4+父50%④Z(cos0)

A-

%=—|<5?Q（COS^^T=史^

零阶项：P\P,这表示地球质量全部集中在地球质心上所

产生的引力位，因此零阶项与地球质量有关。

Vx=丁（4co$6+4%n8cos4+4、nesin㈤

一阶项：P,该项与地球质心坐标有关，

如果将坐标原点选在地球质心，则（=°。

二阶项：

^(■|cos(3$mcos^cosa)+B；(3$in6cosSsma)+&(35in’8cos21)

1

+3；(3sm28sin24)

二阶项与地球的惯性积和地球形状有关，如果将坐标轴选在地球的主惯性轴上,

则固=禺=星=0；如果地球是一个旋转体，即赤道是圆，则氏二°。

利用Laplace方法确定地球正常重力场的基本原理：将地球的重力位展开成球

函数级数形式，然后在该展开式中取最大的前几项作为正常重力位，取多少项视

精度而定。

2、证明外部第二边值问题的解是唯一的。（提示：利用外部第一格林公式，即

（15分）

证明：假设解不是唯一的.则在b外有两个调和并在无穷远处正则的函数%和6同时满足

。上的边界条件（第二边值条件），记7=匕■匕，则丁也是在。外调和并在无穷远处正

则的函数。

将外部第一•格林公式应用于T,并在该式中令〃=?=7,则有

J[7^T+Z)(T,T)^=-J

根据条件在％内AT=O及在。面上7I二°,则上式为:

JZ)(7;TWT=0

要使上式成立，则必须在。外任意点上都满足下列条件：

—"=—"=—"=uc

dxdydz

即7为常数。乂根据7是在无穷远处的正则函数，则T只能等于零，亦即吟=匕,

这证明解是唯一的。

〃/分子运动论

1.一定量的理想气体贮于某一容器中，温度为了，气体分子的质量为根据理想气体的分子模型和统计假设，分子速度

在X方向的分量平方的平均值()

「=3k「m

c吠=

U.汗kTfm

答案:D

2.一个容器内贮有1摩尔氢气和1摩尔甄气，若两种气体各自对器壁产生的压强分别为“和小，则两者的大小关系是()

A.pi>p2

B.p(<p2

C./?!=p2

D.不确定的

答案:C

3.{

关于温度的意义，有下列几种说法：

(1)与体的温度是分子平均平动动能的量度.

(2)气体的温度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计意义.

(3)温度的高低反映物质内部分子运动剧烈程度的不同.

(4)从微观上看，气体的温度表示每个气体分子的冷热程度.

这些说法中正确的是()

)

A.(l)、(2)、(4)

B.(lk(2)、(3)

C.⑵、(3)、(4)

D.(l)、(3)、(4)

答案:B

4.Imol刚性双原子分子理想气体.当温度为7时,其内能为()(式中/?为普适气体常量,〃为玻尔兹曼常量)

3

-RT

A.2

-kT

B.2

-RT

C.2

-kT

D.2

答案:C

5.在标准状态下，若氧气(视为刚性双原子分子的理想气体)和氮气的体积比=1/2,则其内能之比4//为()

3/10

A.

1/2

B.

5”

C.

5/3

D.

答案:C

6.压强为P、体积为V的氮气(视为刚性分子理想气体)的内能为()

5

A.2pv

3

B.2pV

C.pV

J

D.2pV

答案:A

7.在容积V=4xl03m,的容器中，装有压强P=5xlO，Pa的理想气体，则容器中气体分子的平动动能总和为（）

A.2J

B.3J

C.5J

D.9J

答案：

8.•容器内装有M个单原子理想气体分子和M个刚性双原子理想气体分子，当该系统处在温度为7的平衡态时，其内能

为（）

（35、

（凶+超）-kT+-kT

A,、乙乙）

\(35、

5(M+M)5打+下7

35

叫-0+四一收

C.22

53

N-kT+N-kT

D.x222

答案:C

9.已知一定量的某种理想气体，在温度为7\与刀时的分子最概然速率分别为%和加，分子速率分祢函数的最大值分别为

4%）和次方）.若筋＞，，则（）

A.vr,>%2,4％)>人川)

B.vpl>5/(%)勺&2)

C.vpl<匕,2,1%)>/(%)

D.vpi<

答案:B

10.两种不同的理想气体，若它们的最概然速率相等，则它们的（）

A.平均速率相等，方均根速率相等

B.平均速率相等，方均根速率不相等

C.平均速率不相等，方均根速率相等

D.平均速率不相等，方均根速率不相等

答案:A

麦克斯韦速率分布曲线如图所示，图中A、B两部分面积相等，则该图表示（）

心）

A.%为最概然速率

B.%为平均速率

C.%为方均根速率

D.速率大于和小于心的分子数各占一半

答案:D

12.若人v）为气体分子速率分布函数，N为分子总数，m为分子质量，则乐2的物理意义是（）

A.速率为"2的各分子的总平动动能亏速率为％的各分子的总平动动能之差

B.速率为%的各分子的总平动动能与速率为％的各分子的总平动动能之和

C.速率处在速率间隔%0%之内的分子的平均平动动能

D.速率处在速率间隔%0%之内的分子平动动能之和

答案:D

13.设某种气体的分子速率分布函数为外，），则速率在VLS区间内的分子的平均速率为（）

A.

vV7vf^）dv

B.电

:「心）切/『徇切

c%/%

」:如加“加）也

答案:C

14.一定量的理想气体，在温度不变的条件下，当体积增大时，分子的平均碰撞频率Z和平均自由程冗的变化情况是（）

A.2减小而冗不变

B.Z减小而立增大

c.2增大而无减小

D.2不变而N增大

答案:B

15.容积为209L（升）的瓶子以速率u=2（）0mb匀速运动，瓶子中充有质量为100g的氮气.设瓶子突然停止，且气体的全

部定向运动动能都变为气体分子热运动的动能，瓶子与外界没有热量交换，求热平衡后氨气的温度、压强、内能及氨气分

子的平均动能各增加多少?（摩尔气体常量A=8.31Jmol'K',玻尔兹曼常量&=1.38x10W.K）

-Nynv2N-ikLT

解:定向运动动能2,气体内能增量2,i=3.按能量守恒应有：

-AWN-ikhT

2=2

2

Amv=iRLT/NA1分

⑴△丁二NA^^舷moM/做）=6.42K2分

⑵取=（人必决7叱=­Pa.2分

AE=（M/Mgi）%RAT

（3）2=2.00x1012分

（4）2=1.33X1O^J.2分

16.某理想气体的定压摩尔热容为29.1J-moHK'.求它在温度为273K时分子平均转动动能.（玻尔兹题常量

231

A;=1.38X10-J[K-）

答案:{

C.=—IR

解：22,

”2（-9一]=5

:.RI*1,2分

可见是双原子分子，只有两个转动自由度.

号=2kT/2=kT=3.77x10々1

rJ37T

17.（

埋想气体微观模型（分子模型）的主要内容是：

（1）：

（2）;

（3）•

答案:气体分子的大小与气体分子之间的距离比较，可以忽略不计.|除了分子碰撞的一瞬间外，分子之间的相互作用力可

以忽略.I分子之间以及分子与器壁之间的碰撞是完全弹性碰撞.

18.若某种理想气体分子的方均根速率夕）=450m/s,气体压强为p=7xl（?Pa,则该气体的密度为

答"案:].04kg*HT^

38.一定量的理想气体贮于某一容器中，温度为7,气体分壑