2.3.2两点间的距离公式+课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.3.2两点间的距离公式【知识梳理】条件点P1（x1，y1），P2（x2，y2）结论｜P1P2｜＝

⁠特例点P（x，y）到原点O（0，0）的距离｜OP｜＝

⁠

提醒：当A，B两点的连线平行x轴时，｜AB｜＝｜x1－x2｜；当两

点的连线平行y轴时，｜AB｜＝｜y1－y2｜.

A.2B.3

A（2）已知三角形的三个顶点A（2，4），B（3，－6），C（5，2），则

BC边上中线的长为

⁠.

【规律方法】求两点间距离的方法首先根据题目条件确定点的坐标，再代入到两点间的距离公式求值，代入

时注意点的坐标的对应位置要准确.训练1

（1）（2025·烟台月考）直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别

是1，5，则｜PQ｜＝（

B

）A.4C.2

B

（2）已知过A（m，2），B（－m，m－1）两点的直线的倾斜角是

45°，则｜AB｜＝（

C

）A.2C【例2】（1）在已知直线2x－y＝0上存在一点P，使它到点M（5，8）的

距离为5，则直线PM的方程为

⁠；

4x－3y＋4＝0或24x－7y－64＝0（2）已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，－1），B（－1，3），C

（3，0），试判断△ABC的形状.

变式

若本例（2）条件不变，试求△ABC的面积.

【规律方法】关于两点间距离公式的应用（1）已知距离求参数，一般通过两点间的距离公式建立方程求解，但是

求出的值需要检验；（2）判断三角形的形状，先根据两点间的距离公式分别求出三边的长，

再结合三角形的性质判断.

1.

原点O与点A（－6，8）之间的距离为（

）A.6B.8C.10D.14解析：因为｜OA｜2＝（－6）2＋64＝100，所以｜OA｜＝10.√2.

已知点A（1，2），B（3，4），C（5，0），若A，B，C是△ABC

的三个顶点，则△ABC是（

）A.

直角三角形B.

等腰三角形C.

等腰直角三角形D.

等边三角形

√3.

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，2）和B（0，b）满足｜

OB｜＝｜BA｜，那么b＝

⁠.

54.

（链接教材P79习题11题）已知等腰三角形ABC的顶点是A（3，

0），｜BC｜＝4，BC边的中点是D（5，4），则此三角形的腰长

为

⁠.

课堂小结1.理清单（1）两点间的距离公式；（2）两点间距离公式的应用；（3）坐标法的应用.2.应体会利用两点间距离公式解决平面几何问题时，要注意数形结合思想与坐标

法的应用.3.避易错（1）已知距离求参数问题时易漏解；（2）利用坐标法判断几何图形的形状不仅考察平行、垂直等位置关系，

同时不要忽视边长之间的相等关系.

A.

－5B.

－9C.

－5或9D.

－9或5

123456789101112131415√2.

已知直线l1：x＋2y－5＝0，直线l2：3x－y－1＝0的交点为A，O为坐

标原点，则点A到原点的距离为（

）A.1B.2

√1234567891011121314153.

到点A（1，3），B（－5，1）的距离相等的动点P满足的方程是（

）A.

3x－y－8＝0B.

3x＋y＋4＝0C.

3x－y＋6＝0D.

3x＋y＋2＝0

√1234567891011121314154.

光线从点A（－3，5）射到x轴上，经反射后经过点B（2，10），则光

线从A到B经过的路程为（

）

√1234567891011121314155.

若点A（－3，4）与坐标轴上的点P的距离等于5，则点P的个数是

（

）A.1B.2C.3D.4

√1234567891011121314156.

〔多选〕在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，若点A，C的坐标分

别为（0，4），（3，3），则点B的坐标可能是（

）A.

（6，4）B.

（2，0）C.

（4，6）D.

（0，2）

√√123456789101112131415

A.

可看作点（x，0）与点（1，2）的距离B.

可看作点（x，0）与点（－1，－2）的距离C.

可看作点（x，0）与点（－1，2）的距离D.

可看作点（x，－1）与点（－1，1）的距离

√√√123456789101112131415

1234567891011121314159.

（2025·杭州月考）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x＋y＋a＝

0与点A（2，0）.若直线l上存在点M满足｜MA｜＝2｜MO｜（O为坐

标原点），则实数a的取值范围是

⁠.

12345678910111213141510.

已知A（－2，0），B（0，4），线段AB的垂直平分线为直线l.（1）求直线l的一般式方程；

123456789101112131415

123456789101112131415

11.

设m∈R，过定点A的直线x＋my－m＝0和过定点B的直线mx－y－

m＋3＝0交于点P，则｜PA｜2＋｜PB｜2＝（

）A.5D.

与m的取值有关解析：

直线x＋my－m＝0过定点A（0，1），直线mx－y－m＋3＝0

过定点B（1，3），且直线x＋my－m＝0和直线mx－y－m＋3＝0满足

1×m－m×1＝0，故两直线垂直，故｜PA｜2＋｜PB｜2＝｜AB｜2＝12

＋22＝5.故选A.

√123456789101112131415

√123456789101112131415

12345678910111213141513.

〔多选〕已知点A（－2，－1），B（2，2），直线l：ax＋y＋3a－

3＝0上存在点P满足｜PA｜＋｜PB｜＝5，则实数a的取值可能为（

）A.

－2B.0C.1D.3√√123456789101112131415

12345678910111213141514.

在△ABC中，D是BC边上的任意一点（D与B，C不重合），且｜

AB｜2＝｜AD｜2＋｜BD｜｜DC｜.求证：△ABC为等腰三角形.证明：作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在的直线为x

轴，OA所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐

标系.设A（0，h），B（b，0），C（c，0），D（d，0）.因为｜AB｜2＝｜AD｜2＋｜BD｜｜DC｜，则由两点间的距离公式得b2＋h2＝d2＋h2＋（d－b）·（c－d），整理得－（d－b）（b＋d）＝（d－b）（c－d）.123456789101112131415因为点D与点B，C不重合，所以d－b≠0，所以－b－d＝c－d，即－b＝c.所以｜OB｜＝｜OC｜，于是｜AB｜＝｜AC｜，即

△ABC为等腰三角形.123456789101112131415

15.

如图，梯形ABCD在平面直角坐标系中，AD∥BC，∠ADC＝

90°，｜AB｜＝｜DA｜＋｜CB｜.腰DC在x轴上，O是线