2.3.3点到直线的距离公式+课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.3.3点到直线距离公式学习目标核心素养1.

经历用坐标法、几何法以及向量法推导点到直线的距离公式的过程（重点）逻辑推理数学运算2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活利用公式计算距离或证明几何命题（难点）数学运算直观想象导问题

（1）如图，在平面直角坐标系中，已知点P（x0，y0），直线l：

Ax＋By＋C＝0（A≠0，B≠0），怎样求出点P到直线l的距离呢？学问题1：如图，已知点P

(x0,y0)

，直线l:Ax+By+C=0，如何求点P到直线l的距离呢?xyOQPl

学问题1：如图，已知点P

(x0,y0)

，直线l:Ax+By+C=0，如何求点P到直线l的距离呢?xyOQPl

学【知识梳理】1.

定义：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，

其中Q是

⁠.2.

公式：点P（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）

的距离d＝

⁠.

提醒：（1）利用公式时直线的方程必须是一般式；（2）若直线方程

为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊

直线（与坐标轴垂直），故也可用数形结合求解.垂足

学【例1】（链接教材P77例5）已知点P（－1，2），则点P到直线l1：y＋3

＝0，l2：3x－4y＋6＝0的距离分别为（

）A.5，1B.1，1C.5，3D.3，1

√展+评【规律方法】点到直线距离的求法（1）求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用

点到直线的距离公式求解即可；（2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距

离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝｜x0－a｜或d

＝｜y0－b｜.

（2）已知直线l经过点P（－3，1），倾斜角为直角，则点Q（2，－3）

到l的距离为

⁠.

解析：直线l经过点P（－3，1），倾斜角为直角，则直线l的方程为x＝

－3，则点Q（2，－3）到l的距离为d＝｜－3－2｜＝5.5练【例2】（1）（2025·苏州月考）点P在x轴上，且到直线3x－4y＋6＝0的

距离为6，则点P的坐标为

⁠；

（8，0）或（－12，0）展+评（2）已知直线l经过点（－2，3），且原点到直线l的距离等于2，则直线

l的方程为

⁠.

x＋2＝0或5x＋12y－26＝0展+评【规律方法】1.

若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程

求解参数即可.2.

根据距离求方程时先设出方程，然后由题意列方程求参数，也可以综合

应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l的特征，

然后由已知条件写出l的方程.训练2

（1）已知坐标平面内两点A（3，2）和B（－1，4）到直线mx＋

y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为

⁠；

练（2）已知△ABC的三个顶点分别为A（－1，3），B（－3，0），C

（1，2），则△ABC的面积S＝

⁠.

4练【例3】（1）已知点P（－2，3），若点Q是直线l：3x＋4y＋3＝0上的

动点，则｜PQ｜的最小值为（

B

）A.2

B展+评（2）当点P（3，2）到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，实数m

＝

⁠.

－1展+评【规律方法】1.

点在直线上运动时，与直线外一点最小距离为垂线段长度；直线围绕点

转动时，与直线外一点最大距离为两定点距离.2.

注意画图，数形结合在此类问题求解中至关重要.训练3

（1）（2025·韶关月考）动点P（x，y）在直线x＋y－4＝0上，

O为原点，则｜OP｜最小时点P的坐标为

⁠；

（2，2）练（2）已知直线l：

（3m＋2）x＋（2m＋1）y＝m＋2，则点A（－1，

－1）到直线l的距离的取值范围为

⁠.

[0，5]练

A.1B.2C.3D.4

√练2.

到两条坐标轴距离相等的点（x，y）的坐标满足的方程是（

）A.

x－y＝0B.

x＋y＝0C.

｜x｜－y＝0D.

｜x｜－｜y｜＝0解析：到两条坐标轴距离相等的点（x，y）的坐标满足的方程是｜x｜＝｜y｜，即｜x｜－｜y｜＝0.√练3.

若点（－2，2）到直线3x＋4y＋c＝0的距离为3，则实数c＝

⁠

⁠.

4.

点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）距离的最大值为

⁠.

13或－

17

练课堂小结1.理清单（1）点到直线的距离公式；（2）点到直线距离公式的简单应用；（3）点到直线距离的最值问题.2.应体会（1）应用点到直线的距离公式解决问题时，常利用数形结合思想；（2）求解点到直线距离的最值问题要注意特殊到一般及分类讨论思想的

应用.3.避易错在应用点到直线的距离公式时，特别注意直线的方程应为一般式.04PART课时作业1.

点P（1，－1）到直线x＝－2的距离是（

）A.1B.2C.3D.4解析：因为直线x＝－2平行于y轴，所以所求距离d＝｜－2－1｜＝3.123456789101112131415√2.

已知点P（x0，y0）到直线x＝1的距离为1，则x0＝（

）A.0或2B.1或2C.0D.2解析：因为点P（x0，y0）到直线x＝1的距离为1，所以｜x0－1｜＝

1，解得x0＝0或x0＝2.故选A.

√1234567891011121314153.

已知A（－2，4），B（－4，6）两点到直线l：ax－y＋1＝0的距离

相等，则a＝（

）B.3或4C.3D.4

√1234567891011121314154.

已知O为原点，点P在直线x＋y－1＝0上运动，那么｜OP｜的最小值

为（

）B.1

√1234567891011121314155.

经过两直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直

线的条数为（

）A.0B.1C.2D.3√

1234567891011121314156.

〔多选〕已知直线l经过点（3，4），且点A（－2，2），B（4，－

2）到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为（

）A.

2x＋3y－18＝0B.

2x－y－2＝0C.

x＋2y＋2＝0D.

2x－3y＋6＝0√√123456789101112131415

1234567891011121314157.

〔多选〕（2025·焦作月考）已知在△ABC中，A（3，2），B（－1，

5），点C在直线3x－y＋3＝0上.若△ABC的面积为10，则点C的坐标可

以为（

）A.

（－1，0）C.

（1，6）√√123456789101112131415

1234567891011121314158.

已知O为坐标原点，在直线y＝k（x－4）上存在点P，使得｜OP｜＝

2，则k的取值范围为

⁠.

1234567891011121314159.

（2025·南阳月考）过点P（1，2）且与原点距离最大的直线方程为

⁠

⁠.

x

＋2y－5＝012345678910111213141510.

在平面直角坐标系中，四边形OABC为等腰梯形，OA∥BC，点A

（4，2），B（1，4）.求：（1）点C的坐标；

123456789101112131415

123456789101112131415（2）等腰梯形OABC的面积.

123456789101112131415

11.

已知直线l：（a－2）x＋y－2a＋1＝0，直线l1：2x＋y＝6与直线

l2：x－y＋3＝0的交点为A，则点A到直线l的距离最大时，a＝（

）A.1B.

－1C.2D.

－2√123456789101112131415

123456789101112131415

√

12345678910111213141513.

若a，b为正实数，直