2.3.4+两平行直线间的距离课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

学习目标1.探索并掌握两平行直线间的距离公式，体现逻辑推理能力

(

重

点

)2.能利用两平行直线间的距离公式解决相关问题，体现数学计算能力(

难

点

)新

课

导

入我们身处一个巨大的游乐场，其中有两组平行的滑梯.第一组滑梯是标准的直线滑梯，第二组滑梯则稍微倾斜，但始终保持与第一

组滑梯平行的状态.现在，我们想要测量这两组平行滑梯之间的最短

距离，以便安装安全护栏.这个“最短距离”就是我们今天要探索的—

平行直线间的距离.任取一点P

(x₀,y%),点

P(x₀,yo)

到直线

l的距离就是直线l₁

与直线l₂

间的距离.这样，求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离.新

课

学

习若已知两条平行直线

l₁

,l₂的方程，如何求

l₁

与

l₂

间的距离?根据两条平行直线间距离的含义，在直线

l₁

上7P(x₀,

yo)0

XL₂在直线

l₁:Ax+By+C₁=0上任取一点

P个点

P到直线l₂:Ax+

By+C₂=0

的距离是这两条平行直线间的距离，即新课学习若已知两条平行直线

l₁

,l₂的方程，如何求

l₁与

l₂

间的距离?因为点

P

(x₀

,yo)在直线Ax+By+C₁=0

上，所以Ax₀+Byo+C₁=0,即Ax₀+Byo=-C₁

,所以l₁P(x₀,yo)0A/

2X新

课

学

习两条平行直线间的距离的概念1

7

巨

7

GHJ已知两条直线l₁:Ax+By+C₁=0与

l₂:Ax+By+C₂=0(A,B不同

时

为

0

,C₁≠C₂)

平行，则它们之间的距离为1.当直线l:y=kx+b,l₂

:y=kx+b₂,且b¹b₂

时，

2.

当直线l:Ax+By+C₁=0,

l₂:Ax+By+C₂=0且C₁

¹C₂

时，.但必须注意两直线方程x,y的系数相对应相等.新

课

学

习对于上述公式的几点说明：新课学

习例

7

:已知两条平行直线

l₁:2x-7y-8=0,l2:6x-21y-1=0,求

l₁

与

l₂

间的距离

.分析：在

l₁上选取一点，如

l₁与坐标轴的交点，用点到直线的距离公式求这点到l的距离，即

l₁

与

l₂

间的距离.先求l₁

与x

轴的交点A

的坐标容易知道，点A的坐标为(4,

O)点

A到直线l₂

的距离

所以

l₁

与

l₂间的距离为

在直线

Ax+By+C₁=0上任取一点

P(x₀

,y%),

点

P(x₀,yo)+By+C₂=0

的距离就是这两条平行直线间的距离，即到直线Ax新

课

学

习例

8

:求证：两条平行直线Ax+By+C₁=0与

Ax+By+C₂=0间的距离为分析：两条平行直线间的距离即为这两条平行直线中的一条直线上的一点到另一条直线的距离.新课学习例8:求证：两条平行直线Ax+By+C₁=0与

Ax+By+C₂=0

间的距离为

因为点

P(x₀

,yo)

在直线

Ax+By+C₁=0

上，所以

Ax₀+Byo+C₁=0,即Ax₀+By₀=-C₁

,

因

此练一练

：已知直线l:2x-(a-1)y-2=0,l₂

:(a+2)x+(2a+1)y+3=0(a∈R).(1)若l⊥l₂,

求实数a

的值；由l⊥l₂,

得2(a+2)-(a-1)(2a+1)=0,即2a²-3a-5=0,所以(2a-5)(a+1)=0,解得a=-1

或

新

课

学

习由l//l₂

,得2(2a+1)=-(a-1)(a+2),即a²+5a=0,解得a=0

或

a=-5.当a=0时

，l₁:2x+y-2=0,l₂:2x+y+3=0,则l,l₂之间的距离为当a=-5时，l:x+3y-1=0,l₂

:x+3y-1=0,此时两直线重合，舍去.综上，若LI//L₂,

则L,l₂之间的距离为

√5.新课学习已知直线l:2x-(a-1)y-2=0,l₂

:(a+2)x+(2a+1)y+3=0(a∈R).(2)若l//l₂

,

求l,l₂之间的距离.由L₁IL₂,

则m²-3m·(4-m)=0,化简得4m²-12m=0,可得m=0或

m=3,当m=0

时，不成立，当

m=3

时

，l:x+3y-2=0,l₂:x+3y-3=0,此时l,l₂之间的距离为新

课

学

习设直线l:mx+3my-6=0与l₂:(4-m)x+my+m²-4m=0.(1)若l//l₂,

求l、l₂

之间的距离；新课学习设直线l:mx+3my-6=0

与l₂:(4-m)x+my+m²-4m=0.(2)当直线l₂

与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积最大时，求m的值.∵直线l

与两坐标轴的正半轴围成三角形，所以

则0<m<4,∴l₂与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为∴

当m=2时，S有最大值.的距离是(A)

D.11.直线l:x-y+1=0A与直线l:2x-2y+3=0B

课

堂

巩

固C.解析：直线l:2x-2y+3=0

化为x-y+³=0又直线l:x-y+1=0,所以L₁//2,所以直线l

与直线l₂的距离是故选：A.课

堂

巩

固课

堂

巩

固2.

设

a

为实数，若直线ax-4y+3=0与

x-2y+1=0平行，则它们之间的距离为(

A)A

B

C

D

课

堂

巩

固解析：由题意，

解得a=2,

所以直线2x-4y+3=0,即

与直线x-2y+1=0间的距离为故选：A.课

堂

巩

固3.M,N分别为直线3x-4y-12=0

与

6x-8y+5=0上任意一点，则

MN|

最小值为B

D

A.

C解析：

由

可得两条直线相互平行，所以|MN最小值为平行线之间的距离，6x-8y+5=0可化为所以，

.故选：A课

堂

巩

固课

堂

巩

固4.已知直线L1:6x+my+3=0与

l₂

:3x+(m-4)y-1=0,若l

与l₂

互相平行，则它们之间的距离是(D

AB.1课

堂

巩

固解析：若l

与l₂互相平行，则需满足

解得m=8,故直线l:6x+8y+3=0

与l₂:6x+8y-2=0,故两直线间距离为故选：C课

堂

巩

固5.两条平行直线2x-y+3=0和ax-y+5=0间的距离为d,

则

a,d分别为(

BD.a=-2,课

堂

巩

固解析：因

直线2x-y+3=0和ax-y+5=0

平行，所以2×(-1)-(-1)×a=0,解得a=2,所以两直线分别为2x-y+3=0和

2x-y+5=0,所以